專訓12.2.4 用HL判定全等+綜合應用-簡單數(shù)學之2021-2022學年八年級上冊考點專訓（解析版）（人教版）

專訓12.2.4用HL判定全等+綜合應用一、單選題1．下列各組條件中，不能使兩個直角三角形全等的是（）A．一條直角邊和一銳角分別相等 B．斜邊和一銳角分別相等C．斜邊和一條直角邊分別相等 D．兩個銳角分別相等【答案】D【分析】依據(jù)全等三角形的判定定理進行判斷即可．【詳解】解：A、根據(jù)AAS或ASA都可以證得這兩個直角三角形全等，故本選項不符合題意；B、根據(jù)AAS或ASA都可以證得這兩個直角三角形全等，故本選項不符合題意；C、根據(jù)HL可以證得這兩個直角三角形全等，故本選項不符合題意；D、判定兩個直角三角形是否全等，必須有邊的參與，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．2．如圖，在中，于點，分別交，于點，，，若依據(jù)“”說明，則下列所添條件合理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“HL”進行判斷即可．【詳解】解：由題意得，和中，有一組直角邊對應相等，即缺少斜邊對應相等，即，故選：D．【點睛】此題主要考查了“HL”的應用，熟練掌握直角三角形的判定方法是解答此題的關鍵．3．如圖，在中，，于點D，．如果，那么（）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過HL判定定理可證Rt?BDE?Rt?BCE，得到ED=EC，即可求解．【詳解】在和中，，，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的對應邊相等.4．如圖，已知在和中，，，下列條件中不能判定的是（）A． B． C．且 D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定條件可直接排除選項．【詳解】解：A、若，則根據(jù)“SSS”可判定，故不符合題意；B、若，則根據(jù)“SAS”可判定，故不符合題意；C、若且，則根據(jù)“HL”可判定，故不符合題意；D、若，則不能判定，故符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的條件是解題的關鍵．5．如圖，，，，則能直接判斷的理由是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解答．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握判定方法．6．如圖所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)已知條件與全等三角形的判定定理即可分別判斷求解．【詳解】∵∠C＝∠D＝90°，AB=AB，∴①AC＝AD，可用HL判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；②∠ABC＝∠ABD，可用AAS判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；③∠BAC＝∠BAD，可用AAS判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；④BC＝BD，可用HL判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；故選：D．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定定理．7．如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，則兩個木樁離旗桿底部的距離與的距離間的關系是（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)“兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上”可以判斷，又，，所以，所以．【詳解】解：，，由，，，．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的應用；充分運用題目條件，圖形條件，尋找三角形全等的條件．本題關鍵是證明．8．用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知兩邊上分別取，再分別過點，作，的垂線，兩垂線交于點，畫射線，則平分．作圖過程用了，那么所用的判定定理是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由OM⊥MP，ON⊥NP，可得∠OMP=∠ONP=90°，結(jié)合證明Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），從而可得答案．【詳解】解：∵OM⊥MP，ON⊥NP，∴∠OMP=∠ONP=90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）．故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關鍵．二、填空題9．如圖，在ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BF＝AC，CD＝DF，證明圖中兩個直角三角形全等的依據(jù)是定理__．【答案】HL．【分析】由題意知，兩個直角三角形的一條斜邊，一條直角邊分別對應相等，根據(jù)HL即可證明Rt△ACD≌Rt△BFD．【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△ACD和Rt△BFD中，，∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）．故答案為：HL．【點睛】本題考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．10．結(jié)合如圖，用符號語言表達定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”的推理形式：在和中，，，_______．【答案】【分析】根據(jù)判斷兩個直角三角形全等的條件“HL”即可填空．【詳解】AC和DF為直角邊．再利用“HL”，可知兩個直角三角形的斜邊相等即可證明這兩個三角形全等．∴填AB=DE．故答案為：AB=DE．【點睛】本題考查直角三角形全等的判定條件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本題的關鍵．11．如圖，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，點B的坐標為，C點坐標為（2，-2），則A點坐標為_______．【答案】【分析】過A，C向過B點的y軸作垂線，構造可得，進而可求得A點坐標；【詳解】作軸于點M，∵，，∴，在Rt△AOB和Rt△BMC中，，∴，∴，∴；故答案是．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，準確利用HL定理是解題的關鍵．12．如圖，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，點P和點Q從A點出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運動，且AB＝PQ，當點P運動到AP＝___________，△ABC與△APQ全等．【答案】8或【分析】分兩種情況：①當AP=BC=8時；②當AP=CA=時；由HL證明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出結(jié)果．【詳解】∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，分兩種情況：①當AP=BC=8時，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②當AP=CA=10時，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；綜上所述：當點P運動到AP=8或時，△ABC與△APQ全等；故答案為：8或．【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；熟練掌握直角三角形全等的判定方法，本題需要分類討論，難度適中．13．如圖所示，在ΔABC中，AD平分∠BAC，點E在DA的延長線上，且EF⊥BC，且交BC延長線于點F，H為DC上的一點，且BH=EF，AH=DF，AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，則__________．【答案】【分析】由“HL”可證Rt△ABH≌Rt△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的數(shù)量關系可求解．【詳解】解：在Rt△ABH和Rt△DEF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL），∴∠EDF=∠BAH，∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD，∴∠B=∠DAH，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，設∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y，∴∠ACB=90°-∠CAH=3y，∵∠DAC+n∠ACB=90°，∴x+3ny=90°，∴3n=2，∴n=，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關鍵．三、解答題14．如圖，是的角平分線，，，．求證：．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以證明DE=DF，再根據(jù)BD=CD，可以得到≌，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】證明：∵是的角平分線，，，∴，．∴與是直角三角形．在與中∵∴≌（）．∴．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定和性質(zhì)，熟悉以上性質(zhì)和判定是解題關鍵．15．如圖，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，AE=CF．求證：∠D=∠B．【答案】見解析【分析】用斜邊、直角邊證明Rt△ABF≌Rt△CDE全等即可．【詳解】證明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=EC．又∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°．在Rt△ABF與Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠D=∠B．【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，解題關鍵是熟練運用斜邊、直角邊證明兩個直角三角形全等．16．如圖，已知AB＝CD，CE＝BF，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：CD∥AB．【答案】見解析．【分析】先根據(jù)AE⊥BC，DF⊥BC得到∠DFC＝∠AEB＝90°，再根據(jù)CE＝BF求到CF＝BE，易證Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），即可求解本題．【詳解】證明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，又∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，在Rt△DFC和Rt△AEB中，，∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），∴∠C＝∠B，∴CD∥AB．【點睛】本題考查的是平行線的判定，解決本題的關鍵是判定直角三角形的全等從而得到內(nèi)錯角相等．17．如圖：已知，，，垂足分別為點、，若，求證：．【答案】見解析【分析】利用已知條件證明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到∠B=∠D，進而得出結(jié)論．【詳解】證明：∵DE=BF，

∴DE+EF=BF+EF；

∴DF=BE；

在Rt△ADF和Rt△BCE中，

∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），

∴∠B=∠D，∴．【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；由DE=BF通過等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的證明中經(jīng)常用到，應注意掌握應用．18．如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于點O．求證：△ABC≌△DCB．【答案】見解析【分析】利用判定“HL”證明兩個三角形全等．【詳解】解：∵，∴和是直角三角形，在和中，，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理．19．如圖，AB＝AC，直線l過點A，BM⊥直線l，CN⊥直線l，垂足分別為M、N，且BM＝AN．（1）求證△AMB≌△CNA；（2）求證∠BAC＝90°．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）由HL可證△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性質(zhì)得∠BAM＝∠ACN，再由余角關系∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵BM⊥直線l，CN⊥直線l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【點睛】本題考查垂直定義，直角三角形全等判定，互為余角的性質(zhì)，平角定義，掌握垂直定義，直角三角形全等判定，互為余角的性質(zhì)，平角定義是解題關鍵．20．如圖所示，有兩個長度相同的滑梯和，，，垂足分別為，，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等．問：兩個滑梯的傾斜角和的大小有什么關系？【答案】，理由見解析【分析】由圖可得，△ABC與△DEF均是直角三角形，由已知可根據(jù)HL判定兩三角形全等，再根據(jù)全等三角形的對應角相等，不難求解．【詳解】解：；理由如下：由題意可得：與均是直角三角形，且，．在和中，，，，，．【點睛】此題考查了全等三角形的應用．做題時要注意找已知條件，根據(jù)已知選擇方法得出全等三角形是解題關鍵．21．如圖，四邊形中，點、點分別在、上，且，分別過點、向作垂線，垂足分別為點、點，且．求證：．【答案】見解析【分析】證明Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），推出∠AEG=∠CFH，可得結(jié)論．【詳解】證明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，∴∠G=∠H=90°，在Rt△AGE和Rt△CHF中，，∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），∴∠AEG=∠CFH，∵∠AEG=∠BEF，∴∠BEF=∠CFH，∴AB∥CD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．22．在中，于點D，點E為AD上一點，連接CE，CE＝AB，ED＝BD．（1）求證：；（2）若，則的度數(shù)為．【答案】（1）理由見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）由SAS證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，在與中，，∴；（2）∵，∴AD＝CD，∴是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，∴∠B＝∠CED＝67°，【點睛】本題考查了三角形全等的判定、幾何圖形中角度的計算、等腰直角三角形的性質(zhì)；關鍵在于熟練掌握證明三角形全的方式方法、運用等腰直角三角形的性質(zhì)．23．如圖，已知∠C＝∠D＝90°，BC與AD交于點E，AC＝BD，求證：AE＝BE．【答案】見解析【分析】根據(jù)HL定理證明全等即可；【詳解】證明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．【點睛】本題主要考查了三角形全等證明，準確利用已知條件證明是解題的關鍵．24．如圖，與的頂點A，F(xiàn)，C，D共線，與交于點G，與相交于點，，，．（1）求證：；（2）若，求線段的長．【答案】（1）見詳解；（2）1【分析】（1）先證明AC=DF，再根據(jù)HL證明；（2）先證明∠AFG=∠DCH，從而證明?AFG??DCH，進而即可求解．【詳解】（1）∵，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在與中，∵，∴?（HL）；（2）∵?，∴∠A=∠D，∠EFD=∠BCA，∵∠AFG=180°-∠EFD，∠DCH=180°-∠BCA，∴∠AFG=∠DCH，又∵，∴?AFG??DCH，∴HC=GF=1．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握HL和ASA證明三角形全等，是解題的關鍵．25．如圖，、相交于點O，，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）26°【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAD=32°，再求解即可．【詳解】解：（1）證明：∵∠D=∠C=90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC=∠BAD=32°，∵∠C=90°，∴∠BAC=58°，∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=26°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的對應邊相等．26．如圖，．（1）求證：；（2）試判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）先根據(jù)AB⊥BC，DC⊥BC，得出∠B=∠C=90°，再由HL可證Rt△ABE≌Rt△ECD；（2）根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠AEB+∠DEC=90°，故∠AED=90°，由此可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，在Rt△ABE與Rt△ECD中，，∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），∴△ABE≌△ECD；（2）AE⊥DE．理由如下：∵△ABE≌△ECD，∴∠AEB=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥DE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的對應角相等是解答此題的關鍵．27．已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關系，并證明你的結(jié)論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1），見解析；（2）成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析【分析】（1）先用判斷出，得出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）理由如下：∵，，∴在和中∴，∴∵，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；（3）成立，理由如下：∵，，∴在和中，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，判斷出是解本題的關鍵．28．在學習了“等邊對等角”定理后，某數(shù)學興趣小組的同學繼續(xù)探究了同一個三角形中邊與角的數(shù)量關系，得到了一個正確的結(jié)論：“在同一個三角形中，較長的邊所對的角較大”，簡稱：“在同一個三角形中，大邊對大角”．即，如圖：當AB＞AC時，∠C＞∠B．該興趣小組的同學在此基礎上對等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的一般情況，繼續(xù)進行了深入的探究，請你補充完整：（1）在△ABC中，AD是BC邊上的高線．①如圖1，若AB=AC，則∠BAD=∠CAD；②如圖2，若AB≠AC，當AB＞AC時，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）證明：∵AD是BC邊上的高線，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一個三角形中，大邊對大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC邊上的中線．①如圖1，若AB=AC，則∠BAD=∠CAD；②如圖3，若AB≠AC，當AB＞AC時，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）證明：【答案】（1）①見解析，②∠B<∠C，>；（2）①見解析；②＜【分析】（1）①由HL證明Rt△ABD≌Rt△ACD可得結(jié)論；②由AB＞AC得∠C＞∠B即可得出結(jié)論；（2）①由SSS證明△ABD≌△ACD可得結(jié)論；②作輔助線證明△，得，∠，證得∠，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①證明：∵AD是BC邊上的高線∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB和Rt△ADC中∴Rt△ABD≌Rt△ACD∴∠BAD=∠CAD；②證明：∵AD是BC邊上的高線，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴∠B<∠C（在同一個三角形中，大邊對大角）．∴∠BAD>∠CAD．故答案為：∠B<∠C，>；（2）①證明：∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如圖，延長AD至點E，使AD=ED，連接BE，∵AD是△ABC的BC邊上的中線，∴在△BDE和△CDA中，∴△∴，∠，

又，則∴∠∴∠．故答案為：＜．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構造全等三角形是解答此題的關鍵．29．如圖①，平分，可得．（1）如圖②，平分，參照圖①，過點D作于點交的延長線于點F，求證：；（2）如圖③，在四邊形中，，過點D作，垂足為點E，若，則的值是多少？（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）2a【分析】（1）證明△DFC≌△DEB，可得DB=DC；（2）連接AD，作DF⊥AC于F，證明△DFC≌△DEB，得到DF=DE，CF=BE，再證明Rt△ADF≌Rt△ADE，得到AF=AE，再根據(jù)線段的和差可得AB=AC．【詳解】解：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖2所示，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠ABD=∠FCD