新高考數(shù)學二輪復習圓錐曲線專題突破提升練習第2講 圓錐曲線第二定義與焦半徑公式（解析版）

第2講圓錐曲線第二定義與焦半徑公式參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．已知點SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為該雙曲線的左右焦點，SKIPIF1<0為坐標原點，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：由題意，分子最大且分母最小時，即SKIPIF1<0在頂點處取得最大值，不妨取頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．2．已知雙曲線SKIPIF1<0的右支上的點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是雙曲線的左右焦點），則SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的半焦距）的取值范圍是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解答】解：由雙曲線的第二定義可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0右支上的點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在右支上，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．3．已知點SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是其左、右焦點，SKIPIF1<0為坐標原點，若SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，則此雙曲線的離心率是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【解答】解：不妨設SKIPIF1<0為右支上的一點，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，取得最大值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：SKIPIF1<0．4．已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的焦點，過SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則當SKIPIF1<0取得最小值時，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．32 B．16 C．24 D．8【解答】解：因為SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0最小，而SKIPIF1<0，由拋物線的對稱性可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，所以可得直線SKIPIF1<0的斜率為1，又過拋物線的焦點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．5．過橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【解答】解：由橢圓SKIPIF1<0，得橢圓的右焦點為SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題知，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0為定值．故選：SKIPIF1<0．二．填空題（共3小題）6．已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是其左右焦點，SKIPIF1<0是坐標原點，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解答】解：設SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得橢圓的準線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0作出橢圓的右準線，設SKIPIF1<0在右準線上的射影為SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<07．已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的焦點，過SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0．【解答】解：根據(jù)題意可得，拋物線SKIPIF1<0的焦點坐標為SKIPIF1<0，準線方程為SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則分別將直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程與拋物線方程聯(lián)立組成方程組可得，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由韋達定理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由拋物線性質(zhì)可知，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．8．已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的焦點，過SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的最小值為36．【解答】解：拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，準線方程為SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由拋物線的定義可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可將上式中的SKIPIF1<0換為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當且僅當SKIPIF1<0時，上式取得等號，則SKIPIF1<0的最小值為36．故答案為：36．三．解答題（共6小題）9．已知斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的右焦點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【解答】解：（1）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，兩式相減可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在橢圓內(nèi)，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．①（2）由題意得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）及題設得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0．同理SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．設改數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0②將SKIPIF1<0代入①得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0的方程，并整理得SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入②解得SKIPIF1<0．所以該數(shù)列的公差為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．10．已知斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）證明：SKIPIF1<0；（Ⅱ）設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的右焦點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0（2分）（1）SKIPIF1<0（2）得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（3分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）由題設可知點SKIPIF1<0在橢圓內(nèi)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（5分）（Ⅱ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（6分）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在橢圓上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（7分）又SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（8分）由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（9分）由直線SKIPIF1<0的方程與橢圓方程聯(lián)立，得SKIPIF1<0消SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（10分）從而得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（11分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．SKIPIF1<0（12分）11．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，且離心率SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓上的一個動點，△SKIPIF1<0的內(nèi)切圓面積的最大值為SKIPIF1<0．（1）求橢圓的方程；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓上不重合的四個點，滿足向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解答】解：（1）由幾何性質(zhì)可知，當，△SKIPIF1<0的內(nèi)切圓面積的最大值時，即，SKIPIF1<0取最大值，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由△SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0定值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓方程為SKIPIF1<0，（2）①當直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中有一條垂直SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0，②當直線SKIPIF1<0的斜率存在但不為0時，設SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入弦長公式得，SKIPIF1<0，同理由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，代入弦長公式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由①②可知SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．12．已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，且橢圓的離心率SKIPIF1<0，過橢圓的右焦點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：SKIPIF1<0為定值；（Ⅲ）求SKIPIF1<0的最小值．【解答】解：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1），SKIPIF1<0（1分）由橢圓過點SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0（2分）聯(lián)立（1）、（2）式解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（3分）故橢圓的方程是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0（5分）證明：橢圓的右焦點為SKIPIF1<0，分兩種情況．SKIPIF1<0當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（6分）SKIPIF1<0當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（7分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8分）由題知，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0（9分）所以SKIPIF1<0為定值．SKIPIF1<0（10分）（Ⅲ）解：由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（11分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（12分）當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號SKIPIF1<0（13分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（14分）13．已知橢圓SKIPIF1<0的長軸長為4，離心率為SKIPIF1<0，一動圓SKIPIF1<0過橢圓SKIPIF1<0右焦點SKIPIF1<0，且與直線SKIPIF1<0相切．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程及動圓圓心軌跡SKIPIF1<0的方程；（2）過SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．【解答】解：（1）由已知可得SKIPIF1<0，則所求橢圓方程SKIPIF1<0．由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，準線方程為SKIPIF1<0，則動圓圓心軌跡方程為SKIPIF1<0．（2）當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0的長即為橢圓長軸長，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．設直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，S