中考數(shù)學幾何模型重點突破講練：專題31 幾何變換之翻折模型（學生版）

專題31幾何變換之翻折模型【理論基礎】翻折和折疊問題其實質就是對稱問題，翻折圖形的性質就是翻折前后圖形是全等的，對應的邊和角都是相等的。以這個性質為基礎，結合圓的性質，三角形相似，勾股定理設方程思想來考查。那么碰到這類題型，我們的思路就要以翻折性質為基礎，結合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設方程來解題。對于翻折和折疊題型分兩個題型來講，一類題型就是直接計算型，另一類是涉及到分類討論型，由淺入深難度逐步加大，，掌握好分類討論型的翻折問題，那么拿下中考數(shù)學翻折題型就沒問題了。解決翻折題型的策略1.利用翻折的性質：①翻折前后兩個圖形全等。對應邊相等，對應角相等②對應點連線被對稱軸垂直平分2.結合相關圖形的性質(三角形，四邊形等)3.運用勾股定理或者三角形相似建立方程。翻折折疊題型(一)，直接計算型，運用翻折的性質，結合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設方程來解題。一般難度小，我們要多做一些這些題型，熟練翻折的性質，以及常見的解題套路。翻折折疊題型(二)，分類討論型，運用翻的性質，結合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設方程來解題。般難度較大，需要綜合運用題中的條件，多種情況討論分析，需要準確的畫圖，才能準確分析?！纠?】如圖，在中，點是線段上的一點，過點作交于點，將沿翻折，得到，若點恰好在線段上，若，：：，，則的長度為（

）A． B． C． D．【例2】如圖，點E是菱形ABCD的邊CD上一點，將沿AE折疊，點D的對應點F恰好在邊BC上，設．（1）若點F與點C重合，則__________．（2）若點F是邊BC的中點，則__________．【例3】（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點，求證：△BFG≌△BCG．（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH＝CH，直接寫出AE的長．一、單選題1．一張正方形的紙片，如圖進行兩次對折，折成一個正方形，從右下角的頂點，沿斜虛線剪去一個角剪下的實際是四個小三角形，再把余下的部分展開，展開后的這個圖形的內角和是（

）度．A． B． C． D．2．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，若將△ACB沿對角線AC翻折得到△ACE，連接ED，則圖中與∠CAD度數(shù)一定相等（除∠CAD外）的角的個數(shù)有（）A．2個 B．4個 C．5個 D．7個3．如圖，點D，E是正△ABC兩邊上的點，將△BDE沿直線DE翻折，點B的對應點恰好落在邊AC上，當AC＝5AF時，的值是（

）A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點D在AC上運動，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點E，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．5．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長DC到點F（0＜CF＜4），在線段CB上截取點P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線DP折疊得到△DEP．下列結論：①若延長DP，則DP⊥FB；②若連接CE，則；③連接PF，當E、P、F三點共線時，CF＝4﹣4；④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4﹣4；其中正確有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，點N是邊AC的中點，點M是射線BC上的一動點（不與B，C重合），連接MN，將△CMN沿MN翻折得△EMN，連接BE，CE，當線段BE的長取最大值時，sin∠NCE的值為（

）A． B． C． D．7．如圖，中，對角線AC與BD相交于點E，，，將沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面內，若點B的落點記為，恰好，若點F為BC上一點，則的最短距離是（

）A．1 B． C． D．8．如圖，將四邊形紙片沿過點的直線折疊，使得點落在上的點處，折痕為；再將，分別沿，折疊，此時點，落在上的同一點處．下列結論不正確的是（

）A．是的中點 B．C．當四邊形是平行四邊形時， D．二、填空題9．如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A，與y軸相交于點B．將沿直線翻折得到．若點C在反比例函數(shù)的圖象上，則____________．10．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點D是AB的中點，點E是邊BC上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長為______．11．如圖，將沿對角線折疊，使點落在點處，若，，則___．12．如圖，，定長為的線段端點A，分別在射線，上運動（點A，不與點重合），為的中點，作關于直線對稱的，交于點，當是等腰三角形時，的度數(shù)為______．13．如圖，拋物線y＝﹣2x﹣3與x軸相交于A，B兩點，點C在對稱軸上，且位于x軸的上方，將△ABC沿直線AC翻折得到△AC，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，則點C的坐標為_____．14．四邊形ABCD為平行四邊形，己知AB＝，BC＝6，AC＝5，點E是BC邊上的動點，現(xiàn)將△ABE沿AE折疊，點B′是點B的對應點，設CE長為x，若點B′落在△ADE內（包括邊界），則x的取值范圍為____________．15．如圖，點A、B分別在平面直角坐標系xOy的y軸正半軸、x軸正半軸上，且OA=4，OB=3，將△AOB沿AB折疊，O的落點為P，若雙曲線y=過點P，則k=________．16．如圖，過點A折疊邊長為2的正方形ABCD，使B落在，連接D，點F為D的中點，則CF的最小值為_____．三、解答題17．如圖，四邊形ABCD中，，，．(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，過點A作，垂足為F，求證：；(3)在（2）的條件下，連接DE，若四邊形ABCD的面積為45，，求DE的長．18.（1）[初步嘗試]如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點B與點C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關系為____18____；（2）[思考說理]如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點B與點C重合，折痕為MN，求的值；（3）[拓展延伸]如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過頂點C的直線折疊，使點B落在邊AC上的點處，折痕為CM．①求線段AC的長；②若點O是邊AC的中點，點P為線段上的一個動點，將△APM沿PM折疊得到，點A的對應點為點，與CP交于點F，求的取值范圍．19．綜合與實踐在數(shù)學教學中，教師和學生都學習到了新知識，掌握了許多新技能．例如教材八年級下冊的數(shù)學活動——折紙，就引起了許多同學的興趣．在經歷圖形變換的過程中，進一步發(fā)展了同學們的空間觀念，積累了數(shù)學活動經驗．實踐發(fā)現(xiàn)：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF，把紙片展平：再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點N處，并使折痕經過點B，折痕為BM，把紙片展平，連接AN，如圖①；(1)折痕BM所在直線是否是線段AN的垂直平分線？請判斷圖中是什么特殊三角形？請寫出解答過程．(2)繼續(xù)折疊紙片，使點A落在BC邊上的點H處，并使折痕經過點B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖②，求∠GBN的度數(shù)．(3)拓展延伸：如圖③，折疊矩形紙片ABCD，使點A落在BC邊上的點處，并且折痕交BC邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平，連接交ST于點O，連接AT；求證：四邊形是菱形．20．圖，一張矩形紙片ABCD，點E在邊AB上，將△BCE沿直線CE對折，點B落在對角線AC上，記為點F．(1)若AB＝4，BC＝3，求AE的長．(2)連接DF，若點D，F(xiàn)，E在同一條直線上，且DF＝2，求AE的長．21．如圖1，在△ABC中，BC＝6，P是BC邊的一點，且不與B，C重合，將△APB沿AP折疊得，過點C作AP垂線，垂足為D，連接．(1)AB和的數(shù)量關系是，AP與的位置關系是；(2)如圖2，當四邊形是平行四邊形時，求BP的長；(3)在（2）的條件下，若BD＝CD，求證：．22．矩形ABCD滿足BC＝2AB，E、F分別為AD、BC邊上的動點，連接EF，沿EF將四邊形DEFC翻折至四邊形GEFH．(1)①如圖1，若點G落在矩形ABCD內，當∠BFE＝57°時，直接寫出∠AEG＝．②如圖2，若點G落在AB邊上，當G為AB中點時，直接寫出sin∠BFH＝．(2)如圖3，若點G落在AB邊上，且滿足AB＝nAG，①求的值（用含n的代數(shù)式表示）；②在E、F運動的過程中，直接寫出的值（用含n的代數(shù)式表示）23．小紅根據(jù)學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．(1)問題解決：如圖①，當，將沿翻折后，使點與點重合，則______；(2)問題探究：如圖②，當，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時的最小值；(3)拓展延伸：當，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．24．【問題情境】：數(shù)學活動課上，同學們開展了以折疊為主題的探究活動，如圖1，已知矩形紙片，其中寬．(1)【動手實踐】：如圖1，威威同學將矩形紙片折疊，點落在邊上的點處，折痕為，連接，然后將紙片