中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專題32 幾何變換之旋轉(zhuǎn)模型（教師版）

專題32幾何變換之旋轉(zhuǎn)模型【理論基礎(chǔ)】1.旋轉(zhuǎn)的概念：將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.2.旋轉(zhuǎn)三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方形和旋轉(zhuǎn)角度.3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(2)兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度相等.注：圖形在繞著某一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，既可以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，也可以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).4.旋轉(zhuǎn)作圖：在畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先要確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形.具體步驟如下：(1)連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求(順/逆時(shí)針)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角)；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連接所得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn).5.旋轉(zhuǎn)中的全等變換.(1)等腰直角三角形中的半角模型(2)正方形中的半角模型6.自旋轉(zhuǎn)模型：有一組相鄰的線段相等，可以通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.(1)60o自旋轉(zhuǎn)模型(2)90o自旋轉(zhuǎn)模型(3)等腰旋轉(zhuǎn)模型(4)中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型(倍長(zhǎng)中線模型)7.共旋轉(zhuǎn)模型(1)等邊三角形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型(2)正方形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型8.旋轉(zhuǎn)相似【例1】如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF．下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°，③BE+DC＝DE；④∠ADC+∠AFE＝180°．其中結(jié)論正確的序號(hào)為（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∠FAD＝90°，AF＝AD，BF＝DC，∠ABF＝∠C，從而證明△FAE≌△DAE，∠FBE＝90°，進(jìn)而可得EF＝DE，然后在Rt△BFE中，利用勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可判斷①②④正確．【解析】解：由旋轉(zhuǎn)得：∠FAD＝90°，AF＝AD，BF＝DC，∠ABF＝∠C，∵∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠FAD﹣∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△FAE≌△DAE（SAS），∴EF＝DE，∠AFE＝∠ADE，∵∠ADC+∠ADE＝180°，∴∠ADC+∠AFE＝180°，∴上列結(jié)論，一定正確的是：①②④，故選：C．【例2】如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADF，DF的延長(zhǎng)線交BE于H點(diǎn)，若BH＝7，BC＝13，則DH＝_____．【答案】17【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出有關(guān)相等的角、相等的邊，從而證明四邊形AEHF為正方形，再根據(jù)勾股定理求出EH的長(zhǎng)，就可得到DH．【解析】解：∵將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADF，∠AEB＝90°，∴AF＝AE，BE=DF，∠DFA＝∠E＝∠AFH＝90°，∠EAF＝90°，∴四邊形AEHF為正方形，∴AF＝EH，設(shè)EH＝x，BH＝7，BE＝7+x，AF＝EF＝x，在正方形ABCD中，AD＝BC＝13，在Rt△AFD中，根據(jù)勾股定理，得，解得＝﹣12（舍去），＝5，∴DH＝17．故答案為：17．【例3】如圖，由繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC的延長(zhǎng)線上，AD，EC相交于點(diǎn)P．(1)求∠BDE的度數(shù)；(2)F是EC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．①判斷和的數(shù)量關(guān)系，并證明；②求證：．【答案】(1)(2)①，理由見(jiàn)詳解；②證明見(jiàn)詳解【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，得出，可求出的度數(shù)；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，證得，由三角形外角的性質(zhì)可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，得出，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．【解析】（1）解：由繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，，，，在中，，，．（2）①．證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，在中，，∵，∴，，∵，∴．②證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，又，，，又，，（ASA），，，又，．一、單選題1．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接PQ．由題意△PQA是等邊三角形，利用勾股定理的逆定理證明∠PQB＝90°即可解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，連接PQ．∵△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等邊三角形，∴PQ＝PA＝2，∵PB＝4，∴，∴∠PQB＝90°，∴，故選：B．2．如圖，在中，，若M是邊上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C．平分 D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解析】解：∵將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，∴AB=AC，∠ACN=∠B，AM=AN，故選項(xiàng)A不符合題意；∴，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴∠B=∠ACB，∵∠ACN=∠B，∴∠ACN=∠ACB，∴平分，故選項(xiàng)C不符合題意；∵CN與CM不一定相等，∴不一成立，故故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC中點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)，把△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（

）A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)【答案】B【分析】連接，，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)作軸于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明△AOE和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解析】解：如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)作軸于，則，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)，∴．∵OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（?4，3）．故選：B4．如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊的中心，將AB、BC、CA分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到、、，連接、、、、．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【分析】連接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，則有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等邊三角形，當(dāng)O、C、共線時(shí)，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時(shí)，O最長(zhǎng)，此時(shí)＝?（+1）＝1+，α＝150°．【解析】解：如圖，連接OA、OB、OC、．∵O是等邊三角形△ABC是中心，∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，∵∠BA＝∠AC＝α，∴∠OA＝∠OC，在△OA和△OC中，，∴△OA≌△OC（SAS），∴∠AO＝∠CO，O＝O，∴∠O＝∠AOC＝120°，同理可證∠O＝∠O＝120°，O＝O，則有△O≌△O≌△O，∴＝＝，∴△是等邊三角形，在△O中，∵∠O＝120°，O＝O，∴當(dāng)O最長(zhǎng)時(shí)，最長(zhǎng)，∵O≤OC+C，∴當(dāng)O、C、共線時(shí)，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時(shí)，O最長(zhǎng)，此時(shí)＝?（+1）＝1+，α＝150°，∴△的周長(zhǎng)的最大值為3+3．故選：D5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，點(diǎn)E是直線CM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到BF，連接DF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BD，在BD上截取BG＝BC，連接FG，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H．利用正方形的性質(zhì)、勾股定理得出，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，再證明，得出，可知點(diǎn)F在直線GF上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DF的值最小，進(jìn)而求出DH的值即可．【解析】解：如圖，連接BD，在BD上截取BG＝BC，連接FG，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為4，∴，，，∴，，∴，∵線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到BF，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)F在直線GF上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DF的值最小，∵，，∴，∴DF的最小值為．故選B．6．如圖，在中，，，，，O為AC的中點(diǎn)，M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】B【分析】如圖：由題意知當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上且AC與垂直時(shí)，的長(zhǎng)度最??；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得，由中點(diǎn)的定義可求得OA,最后計(jì)算即可．【解析】解：由題意知當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上且AC與垂直時(shí)，的長(zhǎng)度最?。弧邔⒗@點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角∴∵AC⊥，∴∵O為AC的中點(diǎn)∴AO==3.5∴．故選B．7．如圖，矩形ABCD中，，BC＝3，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA＋PB＋PC的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長(zhǎng)即為所求．【解析】解：將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長(zhǎng)即為所求．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△PFC是等邊三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴當(dāng)A、P、F、E共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故選：D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△OAB位置如圖，∠OBA=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），每一次將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)得到△OA1B1，第二次旋轉(zhuǎn)得到△OA2B2，…，以此類推，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)是（

）A．(22022，22022) B．(-22021，22021) C．(22021，-22021) D．(-22022，-22022)【答案】D【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得點(diǎn)A(1，1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后可得，同理，依次類推可求得，，，這些點(diǎn)所位于的象限為每4次一循環(huán)，根據(jù)規(guī)律即可求出A2022的坐標(biāo)．【解析】∵是等腰直角三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∴，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)．將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且，再將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且，依此規(guī)律，∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)所位于的象限為每4次一循環(huán)，即，，，．∵，∴點(diǎn)與同在一個(gè)象限內(nèi)．∵，，，∴點(diǎn)．故選：D．二、填空題9．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DE，DF．給出結(jié)論：①DE=EF；②∠CDF=45°；③若正方形的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)M在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CF有最小值．其中結(jié)論正確的是____．【答案】①②③【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由“”可證，可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，可判斷①；由四邊形內(nèi)角和定理可求，可得，可判斷②；連接，過(guò)點(diǎn)作于，由，知點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，即得當(dāng)時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)度，而，即有最小值為，可判斷③正確．【解析】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，又，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，故①正確；，，，，，，，故②正確；如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)度，，，，即有最小值為，故③正確，故答案為：①②③．10．如圖，四邊形ABCD，AB＝3，AC＝2，把△ABD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECD，此時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、C、E恰好在一條直線上，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】5【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°，則可判斷△ADE為等邊三角形，再利用點(diǎn)A、C、E在一條直線上得到AE=AC+CE，接著根據(jù)△ABD繞著點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECD得到CE=AB，所以AE=AC+AB=5．【解析】解：∵點(diǎn)A、C、E在一條直線上，而△ABD繞著點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E，∴△ADE為等邊三角形，∵點(diǎn)A、C、E在一條直線上，∴AE=AC+CE，∵△ABD繞著點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ECD，∴CE=AB，∴AE=AC+AB=2+3=5，∴AD=AE=5．故答案為：511．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，把△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在射線BA上的點(diǎn)E處（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)FA，若△AEF是直角三角形，且AF＝4，則BC＝_____．【答案】或【分析】分兩種情況討論，由勾股定理可求AE的長(zhǎng)，通過(guò)證明△AHC∽△CHB，可求CH的長(zhǎng)，由勾股定理可求解．【解析】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，由旋轉(zhuǎn)可知：BC=CE，AB=EF=5，∵∠EAF=90°，∴

∴BE=2，∵BC=CE，CH⊥AB，∴EH=BH=1，∴AH=4，∵∴∠B+∠BAC=90°=∠B+∠BCH，∴∠BCH=∠BAC，又∵∠AHC=∠BHC=90°，∴△AHC∽△CHB，∴，∴

∴CH=2（負(fù)值舍去）∴；當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，同理可求，∴，綜上所述：或．故答案為：或．12．如圖，在四邊形中，，，且，連接，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】將△ADB以D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使A與C點(diǎn)重合，B與E點(diǎn)重合，連接BE，可得到△DBE為等邊三角形，從而得到DB=BE，再由，，可得∠ECB=90°，然后可得，即可求解．【解析】解：如圖，將△ADB以D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使A與C點(diǎn)重合，B與E點(diǎn)重合，連接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60°，∴∠BDE=60°，∴△DBE為等邊三角形，∴DB=BE，∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=90°，∴△ECB為直角三角形，∴，∴，∴，故答案為：13．已知，⊙O的直徑BC＝2，點(diǎn)A為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，AD、BD分別平分△ABC的外角，AD與⊙O交于點(diǎn)E．若將AO繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°，則點(diǎn)D所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng)為_(kāi)____．（提示：在半徑為R的圓中，n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為）【答案】【分析】如圖，設(shè)∠ACB＝α，由BC是⊙O的直徑，可得：∠BAC＝90°，根據(jù)角平分線定義可得：∠DAB＝45°，∠ABD＝45°+α，進(jìn)而可得出：∠EDB＝∠EBD＝90°﹣α，得出：EB＝ED，再由等弧所對(duì)的圓周角相等，可得：∠ECB＝∠EAB＝45°，進(jìn)而推出EB＝EC＝ED，可得點(diǎn)D在半徑為2的⊙E上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，再利用弧長(zhǎng)公式即可得出答案．【解析】解：如圖，連接CE，設(shè)∠ACB＝α，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠DEB＝α，∠ABC＝90°-α，∵AD、BD分別平分△ABC的外角，∴∠DAB＝45°，∠ABD＝45°+α，∴∠EDB＝180°-∠DAB-∠ABD＝180°-45°-（45°+α）＝90°-α，∴∠EBD＝180°-∠DEB-∠EDB＝180°-α-（90°-α）＝90°-α，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED，∵，∴∠ECB＝∠EAB＝45°，∵∠CEB＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED，∴點(diǎn)D在半徑為2的⊙E上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，∴點(diǎn)D所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng)為：＝，故答案為：．14．如圖，在正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則下列結(jié)論：，；垂直平分；若，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值是．其中結(jié)論正確的序號(hào)有______．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，由已知可得為，的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)和圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得的結(jié)論正確；利用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算可得，由四邊形內(nèi)角和定理通過(guò)計(jì)算可得；利用平行線的性質(zhì)可得，則，可說(shuō)明的結(jié)論正確；通過(guò)證明點(diǎn)，，，在以點(diǎn)為圓心，為半徑的同一個(gè)圓上，利用圓周角定理可得，得到，，三點(diǎn)共線，得到為等腰直角三角形，則的結(jié)論正確；由題意點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小，連接，解直角三角形的知識(shí)可得的結(jié)論不正確．【解析】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，如圖，正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段，的垂直平分線．，．是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，≌，．．的結(jié)論正確；，．，．．，．，．≌，．，．，．，．即．，．．．的結(jié)論正確；，，，，，．．．，．點(diǎn)，，，在以點(diǎn)為圓心，為半徑的同一個(gè)圓上．．點(diǎn)在對(duì)角線上，．，為等腰直角三角形．平分，垂直平分．的結(jié)論正確；由以上可知：點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的值最小．此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，．的結(jié)論不正確．綜上，結(jié)論正確的序號(hào)有：，故答案為：．15．已知⊙O的半徑為4，A為圓內(nèi)一定點(diǎn)，AO＝2．M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，以AM為邊作等腰△AMN，AM＝MN，∠AMN＝108°，ON的最大值為_(kāi)____________．【答案】【分析】將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)108°得到線段OT，連接AT，NT，OM．延長(zhǎng)AO到K，使得AK＝AT，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有AO＝OT＝2，先證明△KOT∽△KTA，再證明△AOT∽△AMN，接著證明△OAM∽△TAN，利用相似三角形的性質(zhì)求出NT，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解決問(wèn)題即可．【解析】如圖，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)108°得到線段OT，連接AT，NT，OM．延長(zhǎng)AO到K，使得AK＝AT，即OM=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有AO＝OT＝2，∠AOT＝108°，∴∠OAT＝∠OTA＝(180°-∠AOT)＝36°，∴∠KOT＝∠OAT＋∠ATO＝72°，∵AK=AT，∴∠K＝∠ATK＝(180°?∠KAT)＝72°，∴∠K＝∠KOT，∴KT＝OT＝2，∵∠KOT＝∠KTA＝72°，∠K＝∠K，∴△KOT∽△KTA，∴，即，即，∴，（負(fù)值舍去），∴AT＝AK＝AO＋OK＝2＋＝，∵△AOT，△AMN都是頂角為108°的等腰三角形，∴∠OAT＝∠MAN＝36°，∠AOT＝∠AMN＝108°，∴△AOT∽△AMN，∴，∵∠OAT＋∠TAM＝∠OAM，∠MAN＋∠TAM＝∠TAN，∴∠OAM＝∠TAN，∴結(jié)合，可得△OAM∽△TAN，∴，即，∴，∵ON≤OT＋NT，∴，∴ON的最大值為，故答案為：．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角，得到矩形A′B′CD′，B′C與AD交于點(diǎn)E，AD的延長(zhǎng)線與A′D′交于點(diǎn)F．當(dāng)矩形A'B'CD'的頂點(diǎn)A'落在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則EF＝_____．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，再證明得，證明得，分別計(jì)算DF和DE的長(zhǎng)即可得解．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角，得到矩形A′B′CD′，∴，，，在中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴DF，同理可得，∴，∴，∴ED，∴EF＝ED+DF，故答案為：．三、解答題17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；(2)畫(huà)出和△A1B1C1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo)；(3)在（1）的條件下，求BC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積．【答案】(1)，圖見(jiàn)解析；(2)，圖見(jiàn)解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，由圖可得答案．（2）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖，由圖可得答案．（3）利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再結(jié)合扇形的面積公式求解即可．【解析】（1）解：如圖所示，由圖可知：．（2）解：如圖所示，由圖可知：．（3）解：∵BC，∴BC掃過(guò)的面積為．18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點(diǎn)G．(1)求證：EF＝BC；(2)若，，求∠FGC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AF，利用SAS證明，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出EF＝BC；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠BAE＝180°﹣63°×2＝54°，那么∠FAG＝54°．由△ABC≌△AEF，得出∠AFE＝∠ACB＝25°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠FGC＝∠FAG+∠AFG＝79°．【解析】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC與△AEF中，，∴（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，，∴∠AEB＝∠ABC，∴，∴．∵，∴，∴．19．如圖，正方形ABCD中，，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交BC、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．(1)如圖1，求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的面積；(3)當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明，即可得證；（2）利用全等得出，用正方形的面積減去即可求出的面積；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明，即可得證．【解析】（1）解：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則：，∴∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴（SAS），∴；（2）解：∵四邊形為正方形，∴，，∵∴，∴，∵∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則：，，∴∵，∴，∴，又∵，∴（SAS），∴，∴．20．閱讀下面材料：小巖遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度數(shù)；小巖是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造，連接，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決．(1)請(qǐng)你回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于____；（直接寫(xiě)答案）參考小巖同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：(2)如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，．求∠APB的度數(shù)；(3)如圖4，在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，若∠APB＝，直接寫(xiě)出PA，PB和PF的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)求出，再由勾股定理逆定理求出，求出，即為∠APB的度數(shù)；（2）把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，證出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即為∠APB的度數(shù)；（3）把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，可得，過(guò)點(diǎn)A作于M，設(shè)與AF相交于N，證明再利用勾股定理可得答案．【解析】（1）解：如圖2，把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∴是等邊三角形，∴∵∴

∴故；故答案為：．（2）如圖3，把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∴是等腰直角三角形，∴∵∴，∴，故．（3）如圖4，∵正六邊形的內(nèi)角為，∴把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，∴，過(guò)點(diǎn)A作于M，設(shè)與AF相交于N，設(shè)則∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：

∴∴∴21．在中，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（），連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段，連接．(1)依題意，補(bǔ)全圖形；(2)若，求的長(zhǎng)．(3)延長(zhǎng)交于，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)2(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）按照題意進(jìn)行畫(huà)圖即可；（2）根據(jù)已知條件得到，，然后得到≌，從而求出；（3）作關(guān)于所在直線的對(duì)稱圖形,并作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連接,,由題意可證得、是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)以及等量代換可證得≌、≌，最后得到．【解析】（1）解：如圖所示，（2）解：如圖所示，在中,∵,∴,∵,∴,∵,∴,在和中,,∴≌,則．（3）解：，理由如下，如圖所示，作關(guān)于所在直線的對(duì)稱圖形,并作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連接,,∵,∴是等邊三角形,,，∵，，∴是等邊三角形，，∵，∴,在和中，,∴≌，∴,,∵,∴,在和中，,∴≌，∴,∵,∴．22．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至的位置．(1)如圖1，連接與AB交于點(diǎn)M，則_____，_____；(2)如圖2，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)2，；(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得出，，即證明為等邊三角形，從而得出；連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出．又易證為等邊三角形，即得出，．由“SSS”可證，得出，即得出，，．最后根據(jù)，即可求出，最后由即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F．由等邊三角形的性質(zhì)可知．又易證，即得出為等腰直角三角形，從而得出．再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求出，，最后由求解即可．【解析】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∴為