高考物理大一輪復(fù)習(xí) 第四章 曲線運(yùn)動 萬有引力與航天 課時達(dá)標(biāo)13 萬有引力與航天試題

第13講萬有引力與航天[解密考綱]考查解決天體問題的兩條基本思路，衛(wèi)星各參量與半徑的關(guān)系、天體質(zhì)量和密度的計算、衛(wèi)星變軌分析．1．登上火星是人類的夢想，“嫦娥之父”歐陽自遠(yuǎn)透露：中國計劃于2020年登陸火星．地球和火星公轉(zhuǎn)視為勻速圓周運(yùn)動，忽略行星自轉(zhuǎn)影響．根據(jù)下表，火星和地球相比(B)行星半徑/m質(zhì)量/kg軌道半徑/m地球6.4×1066.0×10241.5×1011火星3.4×1066.4×10232.3×1011A．火星的公轉(zhuǎn)周期較小B．火星做圓周運(yùn)動的加速度較小C．火星表面的重力加速度較大D．火星的第一宇宙速度較大解析設(shè)公轉(zhuǎn)半徑為r，星球半徑為R，太陽的質(zhì)量為M，由公式eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，由題可知火星軌道半徑大于地球公轉(zhuǎn)軌道半徑，所以火星公轉(zhuǎn)周期大于地球公轉(zhuǎn)周期，所以選項(xiàng)A錯誤；由公式eq\f(GMm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，所以火星運(yùn)行時的向心加速度小于地球公轉(zhuǎn)時的加速度，所以選項(xiàng)B正確；由公式eq\f(Gm,R2)＝g，表格中數(shù)據(jù)估算可知m火≈eq\f(1,10)m地，R火≈eq\f(1,2)R地，所以g火≈eq\f(2,5)g地，即火星表面重力加速度小于地球表面重力加速度，所以選項(xiàng)C錯誤；又由第一宇宙速度公式v＝eq\r(G\f(m,R))，可得v火≈eq\r(\f(1,5))v地即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，所以選項(xiàng)D錯誤．2．(多選)如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動，星球相對飛行器的張角為θ，下列說法正確的是(AC)A．軌道半徑越大，周期越長B．軌道半徑越大，速度越大C．若測得周期和張角，可得到星球的平均密度D．若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度解析根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,T2)，可知半徑越大則周期越大，故選項(xiàng)A正確；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可知軌道半徑越大則環(huán)繞速度越小，故選項(xiàng)B錯誤；若測得周期T，則有M＝eq\f(4π2R3,GT2)，如果知道張角θ，則該星球半徑為r＝Rsineq\f(θ,2)，所以M＝eq\f(4π2R3,GT2)＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Rsin\f(θ,2)))3ρ，可得到星球的平均密度，故選項(xiàng)C正確，而選項(xiàng)D無法計算星球半徑，則無法求出星球的平均密度，選項(xiàng)D錯誤．3．(2017·吉林長春調(diào)研)(多選)我國志愿者王躍曾與俄羅斯志愿者一起進(jìn)行“火星－500”的實(shí)驗(yàn)活動．假設(shè)王躍登陸火星后，測得火星的半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,9).已知地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，王躍在地面上能向上豎直跳起的最大高度是h，忽略自轉(zhuǎn)的影響，下列說法正確的是(ABD)A．火星的密度為eq\f(2g,3πGR)B．火星表面的重力加速度是eq\f(4,9)gC．火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度相等D．王躍以與在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能達(dá)到的最大高度是eq\f(9,4)h解析由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得到g＝eq\f(GM,R2)，已知火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，則火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的eq\f(4,9)，即為eq\f(4,9)g，選項(xiàng)B正確．設(shè)火星質(zhì)量為M′，由萬有引力等于重力可得Geq\f(M′m,r2)＝mg′，解得M′＝eq\f(gR2,9G)，密度為ρ＝eq\f(M′,V)＝eq\f(\f(gR2,9G),\f(4π·\f(1,8)R3,3))＝eq\f(2g,3πGR)，故選項(xiàng)A正確；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得到v＝eq\r(\f(GM,R))，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的eq\f(\r(2),3)倍，故選項(xiàng)C錯誤；王躍以v0在地球起跳時，根據(jù)豎直上拋的運(yùn)動規(guī)律得出可跳的最大高度是h＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)，由于火星表面的重力加速度是eq\f(4,9)g，王躍以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度h′＝eq\f(9,4)h，故選項(xiàng)D正確．4．如圖所示，搭載著“嫦娥二號”衛(wèi)星的“長征三號丙”運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，衛(wèi)星由地面發(fā)射后，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)多次變軌最終進(jìn)入距離月球表面100千米、周期約為118分鐘的工作軌道，開始對月球進(jìn)行探測(B)A．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運(yùn)行速度比月球的第一宇宙速度大B．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能比在軌道Ⅱ上大C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點(diǎn)的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時大D．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時大解析第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，等于近月衛(wèi)星的速度，大于所有衛(wèi)星的速度，選項(xiàng)A錯誤；衛(wèi)星由Ⅰ軌道進(jìn)入Ⅱ或Ⅲ軌道，需減速做近心運(yùn)動，機(jī)械能減小，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯誤；衛(wèi)星在軌道Ⅲ或Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時，到月心的距離相等，根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝ma可知，加速度應(yīng)相等，選項(xiàng)D錯誤．5．一人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，假如該衛(wèi)星變軌后做勻速圓周運(yùn)動，動能減小為原來的eq\f(1,4)，不考慮衛(wèi)星質(zhì)量的變化，則變軌前后衛(wèi)星的(C)A．向心加速度大小之比為4∶1B．角速度大小之比為2∶1C．周期之比為1∶8D．軌道半徑之比為1∶2解析由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，衛(wèi)星動能減小為原來的eq\f(1,4)，速度減小為原來的eq\f(1,2)，則軌道半徑增加到原來的4倍，故選項(xiàng)D錯誤；由an＝eq\f(v2,r)可知向心加速度減小為原來的eq\f(1,16)，故選項(xiàng)A錯誤；由ω＝eq\f(v,r)可知，角速度減小為原來的eq\f(1,8)，故選項(xiàng)B錯誤；由周期與角速度成反比可知，周期增大到原來的8倍，故選項(xiàng)C正確．6．(多選)已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m，引力常量為G.有關(guān)同步衛(wèi)星，下列表述正確的是(BD)A．衛(wèi)星距地面的高度為eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B．衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度C．衛(wèi)星運(yùn)行時受到的向心力大小為Geq\f(Mm,R2)D．衛(wèi)星運(yùn)行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析天體運(yùn)動的基本原理為萬有引力提供向心力，地球的引力使衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，即F引＝F向＝meq\f(v2,r)＝eq\f(4π2mr,T2).當(dāng)衛(wèi)星在地表運(yùn)行時，eq\f(GMm,R2)＝mg，設(shè)同步衛(wèi)星離地面高度為h，則eq\f(GMm,R＋h2)＝ma向<mg，所以選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確；由eq\f(GMm,R＋h2)＝eq\f(mv2,R＋h)得，v＝eq\r(\f(GM,R＋h))<eq\r(\f(GM,R))，選項(xiàng)B正確；由eq\f(GMm,R＋h2)＝eq\f(4π2mR＋h,T2)，得R＋h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，即h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，選項(xiàng)A錯誤．7．(多選)為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r1的圓軌道上運(yùn)動，周期為T1，總質(zhì)量為m1.隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運(yùn)動，此時登陸艙的質(zhì)量為m2，則(AD)A．X星球的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2r\o\al(3,1),GT\o\al(2,1))B．X星球表面的重力加速度為gX＝eq\f(4π2r1,T\o\al(2,1))C．登陸艙在r1與r2軌道上運(yùn)動時的速度大小之比為eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(m1r2,m2r1))D．登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運(yùn)動的周期為T2＝T1eq\r(\f(r\o\al(3,2),r\o\al(3,1)))解析探測飛船做圓周運(yùn)動時有Geq\f(Mm1,r\o\al(2,1))＝m1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)))2r1，解得M＝eq\f(4π2r\o\al(3,1),GT\o\al(2,1))，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)閄星球半徑未知，所以選項(xiàng)B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))，選項(xiàng)C錯誤；根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，T2＝T1eq\r(\f(r\o\al(3,2),r\o\al(3,1)))，選項(xiàng)D正確．8．(2017·重慶調(diào)研)(多選)如圖所示，a為地球赤道上的物體，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星．關(guān)于a、b、c做勻速圓周運(yùn)動的說法中正確的是(BC)A．地球?qū)、c兩星的萬有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c兩星不受重力B．周期關(guān)系為Ta＝Tc>TbC．線速度的大小關(guān)系為va<vc<vbD．向心加速度的大小關(guān)系為aa>ab>ac解析a、b、c都受到萬有引力作用，選項(xiàng)A錯誤；赤道上的物體a、同步衛(wèi)星c的周期相同，所以角速度一樣，根據(jù)eq\f(r3,T2)＝k，所以c的周期大于b的周期，所以選項(xiàng)B正確．v＝eq\r(\f(GM,r))，c的半徑大于b，所以vc<vb，a、c的角速度相等，c的半徑大，vc>va，所以選項(xiàng)C正確；a＝eq\f(GM,r2)，所以ab>ac，又根據(jù)a＝rω2可知．a(chǎn)c>aa，所以選項(xiàng)D錯誤．9．如圖所示，人造衛(wèi)星A、B在同一平面內(nèi)繞地心O做勻速圓周運(yùn)動，已知A、B連線與A、O連線間的夾角最大為θ，則衛(wèi)星A、B的線速度之比為(C)A．sinθ B．eq\f(1,sinθ)C．eq\r(sinθ) D．eq\r(\f(1,sinθ))解析本題的關(guān)鍵是審出A、B連線與AO連線間何時夾角最大，經(jīng)分析是OB垂直AB時，設(shè)A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2，當(dāng)OB⊥AB時，sinθ＝eq\f(r2,r1).衛(wèi)星繞地心做圓周運(yùn)動時，萬有引力提供向心力，eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以A、B的線速度之比eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(sinθ)，故選項(xiàng)C正確．10．2002年四月下旬，天空中出現(xiàn)了水星、金星、火星、木星、土星近乎直線排列的“五星連珠”的奇觀．假設(shè)火星和木星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，周期分別是T1和T2，而且火星離太陽較近，它們繞太陽運(yùn)動的軌道基本上在同一平面內(nèi)，若某一時刻火星和木星都在太陽的同一側(cè)，三者在一條直線上排列，那么再經(jīng)過多長的時間將第二次出現(xiàn)這種現(xiàn)象(C)A．eq\f(T1＋T2,2) B．eq\r(T1T2)C．eq\f(T1T2,T2－T1) D．eq\r(\f(T\o\al(2,1)＋T\o\al(2,2),2))解析根據(jù)萬有引力提供向心力得eq\f(GMm,r2)＝eq\f(m4π2r,T2)，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，火星離太陽較近，即軌道半徑小，所以周期小．設(shè)再經(jīng)過時間t將第二次出現(xiàn)這種現(xiàn)象，此為兩個做勻速圓周運(yùn)動的物體追及相遇的問題，雖然不在同一軌道上，但是當(dāng)它們相遇時，運(yùn)動較快的物體比運(yùn)動較慢的物體多運(yùn)行2π弧度．所以eq\f(2π,T1)t－eq\f(2π,T2)t＝2π，解得t＝eq\f(T1T2,T2－T1)，選項(xiàng)C正確．11．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(A)A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．(eq\f(R－d,R))2 D．(eq\f(R,R－d))2解析物體在地面上時的重力加速度可由g＝eq\f(GM,R2)得出，根據(jù)題中條件，球殼對其內(nèi)部物體的引力為零，礦井底部可以等效為地面，設(shè)礦井以下剩余部分地球的質(zhì)量為M′，礦井底部處重力加速度可由g′＝eq\f(GM′,R－d2)得出，而eq\f(M′,M)＝eq\f(R－d3,R3)，所以g′＝(1－eq\f(d,R))g.選項(xiàng)A正確．12．如圖為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運(yùn)行的軌道近似為圓．天文學(xué)家觀測得到A行星運(yùn)動的軌道半徑為R0，周期為T0.長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實(shí)際運(yùn)動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且每隔t0時間發(fā)生一次最大偏離，天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B(假設(shè)其運(yùn)動軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同)，它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離，由此可推測未知行星B的運(yùn)動軌道半徑為(C)A．eq\f(t0,t0－T0)R0 B．R0eq\r(3,\f(t0－T0,t0)2)C．R0eq\r(3,\f(t0,t0－T0)2) D．R0eq\r(\f(t0,t0－T0)3)解析對A行星有Geq\f(MmA,R\o\al(2,0))＝mAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))2R0，對B行星有Geq\f(MmB,R\o\al(2,1))＝mBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)))2R1，由A、B最近到A、B再次最近，有eq\f(2π,T0)t0－eq\f(2π,T1)t0＝2π，求得R1＝R0eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t0,t0－T0)))2).選項(xiàng)C正確．13．(多選)中國新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來自火星．某同學(xué)想根據(jù)平時收集的部分火星資料(如圖所示)計算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較．下列計算火星密度的公式，正確的是(引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響)(ACD)A．ρ＝eq\f(3g0,2πGd) B．ρ＝eq\f(g0T2,3πd)C．ρ＝eq