2023年高考數(shù)學(xué)第45講 橢圓及其與直線的位置關(guān)系

第45講橢圓及其與直線的位置關(guān)系

一、知識(shí)聚焦

1直線與橢圓位置關(guān)系的判定

聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去y整理得關(guān)于x的一元二次方程，即加+/+。=0（/*0）,

△=8?-4AC.直線與橢圓的位置關(guān)系見表45-1.

表45-1直線與橢圓的位置關(guān)系

直線與橢圓的位置關(guān)系

△>0直線與楠H1相交,有兩個(gè)公共點(diǎn)

A=0直線與橢圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)

△<0直線與橢圓相離，無公共點(diǎn)

2直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式

設(shè)直線與橢圓交于A（%，x）,8（%,%）兩點(diǎn)，則

2

\AB\=\l\+k|x,-X2\=Jl+[2J（X]+工2）2―4中2

IA8|=Jl+p-|y,-y2|=Jl+公+（々為直線斜率）.

3解決直線與橢圓位置關(guān)系問題時(shí)的方法

解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時(shí)常利用數(shù)形結(jié)合法、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、整

體代入、設(shè)而不求等思想方法.

二、精講與訓(xùn)練

核心例題1

v-22

(1)求過橢圓丁+Jv=1內(nèi)一點(diǎn)^1,1)且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.

42

22

(2)求橢圓亍+5=1上的點(diǎn)到直線小六2六16=0的最短距離，并求取得最短距離時(shí)橢

圓上的點(diǎn)的坐標(biāo).

2

⑶已知直線%質(zhì)+4交橢圓?+)'=1于Z,6兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，若3+壇3=2,

求該直線方程.

X2y2

(4)在直線上/+9=0上取一點(diǎn)M,過點(diǎn)例且與橢圓丁+==1共焦點(diǎn)作橢圓C,

問點(diǎn)M在何處時(shí)，橢圓。的長(zhǎng)軸最短?并求此時(shí)的橢圓方程.

解題策略第(1)問，求符合條件的直線方程，由于直線過點(diǎn)H1,1),則只需要求出另一

個(gè)條件，通常求直線的斜率，設(shè)所求直線的點(diǎn)斜式方程，則可聯(lián)立方程組，運(yùn)用方程理論(韋

達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等)求解.第⑵問，與橢圓上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)，故可利用橢圓的參數(shù)方程(實(shí)

質(zhì)也是三角換元法)，把關(guān)于XJ的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的一元函數(shù),將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三

角問題處理，從而化繁為簡(jiǎn)，當(dāng)然本題也可以用幾何方法求出與已知直線平行，又與橢S］相

切的直線方程，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系問題.第⑶問，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元

轉(zhuǎn)化為關(guān)于X或J的二次方程,由自，+生&=2,可以聯(lián)想到上的二次方程的兩根之和形式，

X

從而把關(guān)于*和"的二次方程轉(zhuǎn)化為上的二次方程，這是整體思想的巧妙應(yīng)用.第⑷問，顯

X

然橢圓的兩焦點(diǎn)分別為樂-1,0),6(1.0),所求橢圓經(jīng)過點(diǎn)M,并且長(zhǎng)軸最短，即I恤|+|例用

最小，可通過求片關(guān)于直線匕/+9=0的對(duì)稱點(diǎn)修，連接4色尸石與直線戶'+9=0的交點(diǎn)

即為例點(diǎn)，當(dāng)然也可以運(yùn)用與已知橢共焦點(diǎn)的橢B］系/一；+丁三=1,當(dāng)例為橢圓系

4+23+2

與直線產(chǎn)j/+9=0的切點(diǎn)時(shí)滿足條件，消元后用△=()求得R的值從而得到所求的橢［?方程,

后一解法讀者可試著自行探究.

解Q）設(shè)滿足題設(shè)要求的直線/的方程為y-l=k（x-i）.

y-\=^（x-l）

由方程組＜%2y2,得（1+242卜2一4電一1）尢+2[（1一女）2-2]=0,

T+T-

7

設(shè)直線/與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（再,y）,B（x2,y2）,+x2=\,2.

1+2%

4Z（A—1）i

由Rl,1）是線段力8的中點(diǎn)，得芯+々=2,故]；2父'=2,解得任務(wù).

，直線/的方程為x+2片3=0.

22

⑵設(shè)橢圓?+'=1上的任意一點(diǎn)為M（2cos，,0加，）。€[-萬,萬）.則點(diǎn)例到直

6cos6—2^7sin—16||8sin（*-9）-16]

線/的距離心（P=arctan—

???當(dāng)9-。=工時(shí)，d有最小值

2713

也打八V7337

此時(shí)0=（p——.s\nO=—cos=——,cos0=sin^?=—,M—

Q（37、

，橢圓到直線的最短距離為4=,此時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為匚,一二.

24

y=kx+4,

⑶設(shè)A&yjM3％），由21徂/2（y-kx

『-=1,得彳+廠[丁

整理得15/+2g+（4-k2）/=0

QxH0,方程兩邊同除以V得15[2）+2d+4-爐=0,由韋達(dá)定理知

竺=2,得人=一5

x}x215

???所求直線方程為y=-15%+4.

（4）己知橢圓焦點(diǎn)分別為￡（一1,0）,6（1,0）,設(shè)所求橢圓方程為

與+多■=1,2。=w用+阿周,耳關(guān)于直線,=尤+9的對(duì)稱點(diǎn)為￡(一9,8),如圖所示

..4/、

直線"F2與直線X—y+9=()的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M.直線耳鳥的方程為y=,

41

尸T"t）'解缺V—_________

。'4140

由:...點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一一,—）

4099

y-x+9.

這時(shí)2a=|町|+|"|=卜司+|知用=忖聞=2歷.

則。=如,。=1,故從=40..?.橢圓方程為土+匕=1.

4140

【變式訓(xùn)練(1)】

22

已知橢圓卷+二=1上的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)和橢圓內(nèi)一定點(diǎn)A(2,2),鳥為其右焦點(diǎn)，求

+|g的最大值和最小值.

【變式訓(xùn)練(2)】

x22

設(shè)耳，K是橢圓'=1的左、右焦點(diǎn),弦AB過尸2，求VABF；的面積的最大值.

【核心例題2】

已知直線/:丁=丘+1與橢圓3f+y2=a相交于A,B兩點(diǎn)，與y軸相交于例題點(diǎn)C.

(1)若攵=1,且恒兇=乎，求實(shí)數(shù)a的值.

UUU1UUL

(2)若AC=2CB,求VAOB面積的最大值,及此時(shí)橢圓的方程.

【解題策略】

第(1)問，直線/的涂率&確定,直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則△>0,|的長(zhǎng)可用弦長(zhǎng)

公式表示,運(yùn)用韋達(dá)定理使=半轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的方程,解方程即可求得。的值.第(2)

UUUlUII

問，由AC=2CB求出A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間關(guān)系并用參數(shù)人表示，而

SvAOB=SvAOC+SvcOB)進(jìn)一步表示為人的函數(shù),運(yùn)用基本不等式求SyAOB的最大值，由此時(shí)

的上值確定參數(shù)a的值,從而得到橢圓方程.

【解】

y=x+L

⑴設(shè)A（±，X），3（工2,％）?由"得+2x+l-a=0,

3x2+y2-a

ii—a

/.%1+x2=--,Xj%2=—^~,判別式△=4_]6(1_Q)=4(4Q_3).

二.J%—々|=QJ4a-3,又|AB\=V2ki—々I.

V2x，解得a=2.

2k

…=中，

y=x+l,0

(2)由＜?，得4x+2x+l—a=(),.J

3x+y-a1—Cl

UUUluu

由條件知點(diǎn)。（0,1）.從而AC=（-X1,l-M）,C8=（芻,y2-l），

uuaiuu2k

代入得大

AC=2CB+x2=—x2=--------即

3+/C

%=藐記」百一引=3昆I，

顯然攵H0.

QSVAOB=SvAC+Sv*B=；|OC|M+g|OC||工2I=；|OC|R-*2I

//I3網(wǎng)_33_—

W"

當(dāng)且僅當(dāng)我2=3取等號(hào).故VA03的面積最大值為坐，此時(shí)橢圓的方程為

2

3x2+y2=5.

變式訓(xùn)練已知橢圓。的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，左右焦點(diǎn)分別為￡,工，且陽6|=2,

點(diǎn)［1,1）在橢圓C上.

(1)求橢圓。的方程.

(2)過點(diǎn)耳的直線/與橢圓C相交于A,3兩點(diǎn)，且VAK8的面積為丹旦，求以乙為圓心

且與直線/相切的圓的方程.

【核心例題3]

22

已知南圓￡+(=1,6,6分別為其左、右焦點(diǎn)，直線/過點(diǎn)K，交橢圓于A,

B兩點(diǎn).

(1)若直線/垂直于x軸，求|AB|.

(2)當(dāng)/4A8=90"且點(diǎn)A在x軸上方時(shí),求A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)若直線A6交y軸于點(diǎn)直線交y軸于點(diǎn)N,則是否存在直線/，使得

Sv4AB=若存在,求出直線’的方程;若不存在，說明理由?

【解題策略】

這是一道探究橢圓與直線位置關(guān)系的題目，涉及求弦長(zhǎng)、點(diǎn)的坐標(biāo)以及探究符合條件的

直線是否存在等一系列問題,通常解析幾何題的計(jì)算量一般都比較大，但如果方法得當(dāng),能較

UUUUUU

大減少計(jì)算量，比如第(2)問，若設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)A耳，人工，有AA?=0,展開

后與橢圓方程聯(lián)立解之,運(yùn)算量肯定大;若由/々AB=90°,利用勾股定理求解，會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)潔

一些;若能運(yùn)用橢圓的定義，則運(yùn)算量更小.第(3)問，己知直線：在x軸上的截距，相比將方

程設(shè)為y=k(x-2),方程設(shè)為x=my+2可避免分類討論,運(yùn)算量也小,如果能挖掘題中的

兒何特征,則解題過程更為簡(jiǎn)潔.

【解】

(1)由題意得。2=8-4=4,即c=2,.■.耳(―2,0),與(2,0).

22

直線的方程為把尤=2代入y+^-=l,求得43的坐標(biāo)為(2,⑹,(2,

-V2)..'.|AB|=2V2

(2)【解法一】

ULUIuuu

設(shè)A(x,y)(y>0),AR=(-2-x,-y),A鳥={2-x,-y),則

’22

三+二=1X—0

?84'解得<二二??A（0,2）,直線AF2的方程為y=-x+2,

）=2.

(-2-x)(2—x)+y2-0,

x2y2i

---F——=18_2/Q2、

.故43兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0,2）,8（§,—]

由＜84得83，-3

y=-x+2,7

【解法二】

222

設(shè)A(x,y)(＞〉0),則|片=(x+2)2+y,\F2Af=(x-2)+y,

忻居『=16,Q/￡AB=90",.??忻呢+后川2=忻馬『,代入化簡(jiǎn)得

/+｝；2=4,又三+匕=],.4（0,2）,以下同【解法一】.

84

【解法三】

設(shè)田A|=m,優(yōu)A|=〃，則在RtVF；A鳥中，由橢圓定義可得解得

[m2+/?*■=16,

根=〃=20..?.為橢圓上頂點(diǎn)，即A（0,2）,以下同【解法一】

（3）如圖所示，設(shè)4&,兇）,3（X2，%），加（0，，3），以0,%），顯然直線AB的方程不為

（22

土+匕=1

y=0,可設(shè)直線A5的方程為x=my+2,,聯(lián)立方程組｛84一得

x=my+2.

-Am-4

，篦2+2)/+4my-4=0.yx+y2

由直線AFt的方程為=-^（x+2），得力=必工，，同理得以=必父.

玉+2'玉+2