版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
第45講橢圓及其與直線的位置關(guān)系
一、知識(shí)聚焦
1直線與橢圓位置關(guān)系的判定
聯(lián)立橢圓方程和直線方程,消去y整理得關(guān)于x的一元二次方程,即加+/+。=0(/*0),
△=8?-4AC.直線與橢圓的位置關(guān)系見表45-1.
表45-1直線與橢圓的位置關(guān)系
直線與橢圓的位置關(guān)系
△>0直線與楠H1相交,有兩個(gè)公共點(diǎn)
A=0直線與橢圓相切,有一個(gè)公共點(diǎn)
△<0直線與橢圓相離,無公共點(diǎn)
2直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式
設(shè)直線與橢圓交于A(%,x),8(%,%)兩點(diǎn),則
2
\AB\=\l\+k|x,-X2\=Jl+[2J(X]+工2)2―4中2
IA8|=Jl+p-|y,-y2|=Jl+公+(々為直線斜率).
3解決直線與橢圓位置關(guān)系問題時(shí)的方法
解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時(shí)常利用數(shù)形結(jié)合法、韋達(dá)定理(根與系數(shù)的關(guān)系)、整
體代入、設(shè)而不求等思想方法.
二、精講與訓(xùn)練
核心例題1
v-22
(1)求過橢圓丁+Jv=1內(nèi)一點(diǎn)^1,1)且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.
42
22
(2)求橢圓亍+5=1上的點(diǎn)到直線小六2六16=0的最短距離,并求取得最短距離時(shí)橢
圓上的點(diǎn)的坐標(biāo).
2
⑶已知直線%質(zhì)+4交橢圓?+)'=1于Z,6兩點(diǎn),。是坐標(biāo)原點(diǎn),若3+壇3=2,
求該直線方程.
X2y2
(4)在直線上/+9=0上取一點(diǎn)M,過點(diǎn)例且與橢圓丁+==1共焦點(diǎn)作橢圓C,
問點(diǎn)M在何處時(shí),橢圓。的長(zhǎng)軸最短?并求此時(shí)的橢圓方程.
解題策略第(1)問,求符合條件的直線方程,由于直線過點(diǎn)H1,1),則只需要求出另一
個(gè)條件,通常求直線的斜率,設(shè)所求直線的點(diǎn)斜式方程,則可聯(lián)立方程組,運(yùn)用方程理論(韋
達(dá)定理,中點(diǎn)坐標(biāo)公式等)求解.第⑵問,與橢圓上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān),故可利用橢圓的參數(shù)方程(實(shí)
質(zhì)也是三角換元法),把關(guān)于XJ的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的一元函數(shù),將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三
角問題處理,從而化繁為簡(jiǎn),當(dāng)然本題也可以用幾何方法求出與已知直線平行,又與橢S]相
切的直線方程,轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系問題.第⑶問,直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元
轉(zhuǎn)化為關(guān)于X或J的二次方程,由自,+生&=2,可以聯(lián)想到上的二次方程的兩根之和形式,
X
從而把關(guān)于*和"的二次方程轉(zhuǎn)化為上的二次方程,這是整體思想的巧妙應(yīng)用.第⑷問,顯
X
然橢圓的兩焦點(diǎn)分別為樂-1,0),6(1.0),所求橢圓經(jīng)過點(diǎn)M,并且長(zhǎng)軸最短,即I恤|+|例用
最小,可通過求片關(guān)于直線匕/+9=0的對(duì)稱點(diǎn)修,連接4色尸石與直線戶'+9=0的交點(diǎn)
即為例點(diǎn),當(dāng)然也可以運(yùn)用與已知橢共焦點(diǎn)的橢B]系/一;+丁三=1,當(dāng)例為橢圓系
4+23+2
與直線產(chǎn)j/+9=0的切點(diǎn)時(shí)滿足條件,消元后用△=()求得R的值從而得到所求的橢[?方程,
后一解法讀者可試著自行探究.
解Q)設(shè)滿足題設(shè)要求的直線/的方程為y-l=k(x-i).
y-\=^(x-l)
由方程組<%2y2,得(1+242卜2一4電一1)尢+2[(1一女)2-2]=0,
T+T-
7
設(shè)直線/與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(再,y),B(x2,y2),+x2=\,2.
1+2%
4Z(A—1)i
由Rl,1)是線段力8的中點(diǎn),得芯+々=2,故];2父'=2,解得任務(wù).
,直線/的方程為x+2片3=0.
22
⑵設(shè)橢圓?+'=1上的任意一點(diǎn)為M(2cos,,0加,)。€[-萬,萬).則點(diǎn)例到直
6cos6—2^7sin—16||8sin(*-9)-16]
線/的距離心(P=arctan—
???當(dāng)9-。=工時(shí),d有最小值
2713
也打八V7337
此時(shí)0=(p——.s\nO=—cos=——,cos0=sin^?=—,M—
Q(37、
,橢圓到直線的最短距離為4=,此時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為匚,一二.
24
y=kx+4,
⑶設(shè)A&yjM3%),由21徂/2(y-kx
『-=1,得彳+廠[丁
整理得15/+2g+(4-k2)/=0
QxH0,方程兩邊同除以V得15[2)+2d+4-爐=0,由韋達(dá)定理知
竺=2,得人=一5
x}x215
???所求直線方程為y=-15%+4.
(4)己知橢圓焦點(diǎn)分別為£(一1,0),6(1,0),設(shè)所求橢圓方程為
與+多■=1,2。=w用+阿周,耳關(guān)于直線,=尤+9的對(duì)稱點(diǎn)為£(一9,8),如圖所示
..4/、
直線"F2與直線X—y+9=()的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M.直線耳鳥的方程為y=,
41
尸T"t)'解缺V—_________
。'4140
由:...點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一一,—)
4099
y-x+9.
這時(shí)2a=|町|+|"|=卜司+|知用=忖聞=2歷.
則。=如,。=1,故從=40..?.橢圓方程為土+匕=1.
4140
【變式訓(xùn)練(1)】
22
已知橢圓卷+二=1上的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)和橢圓內(nèi)一定點(diǎn)A(2,2),鳥為其右焦點(diǎn),求
+|g的最大值和最小值.
【變式訓(xùn)練(2)】
x22
設(shè)耳,K是橢圓'=1的左、右焦點(diǎn),弦AB過尸2,求VABF;的面積的最大值.
【核心例題2】
已知直線/:丁=丘+1與橢圓3f+y2=a相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于例題點(diǎn)C.
(1)若攵=1,且恒兇=乎,求實(shí)數(shù)a的值.
UUU1UUL
(2)若AC=2CB,求VAOB面積的最大值,及此時(shí)橢圓的方程.
【解題策略】
第(1)問,直線/的涂率&確定,直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則△>0,|的長(zhǎng)可用弦長(zhǎng)
公式表示,運(yùn)用韋達(dá)定理使=半轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的方程,解方程即可求得。的值.第(2)
UUUlUII
問,由AC=2CB求出A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間關(guān)系并用參數(shù)人表示,而
SvAOB=SvAOC+SvcOB)進(jìn)一步表示為人的函數(shù),運(yùn)用基本不等式求SyAOB的最大值,由此時(shí)
的上值確定參數(shù)a的值,從而得到橢圓方程.
【解】
y=x+L
⑴設(shè)A(±,X),3(工2,%)?由"得+2x+l-a=0,
3x2+y2-a
ii—a
/.%1+x2=--,Xj%2=—^~,判別式△=4_]6(1_Q)=4(4Q_3).
二.J%—々|=QJ4a-3,又|AB\=V2ki—々I.
V2x,解得a=2.
2k
…=中,
y=x+l,0
(2)由<?,得4x+2x+l—a=(),.J
3x+y-a1—Cl
UUUluu
由條件知點(diǎn)。(0,1).從而AC=(-X1,l-M),C8=(芻,y2-l),
uuaiuu2k
代入得大
AC=2CB+x2=—x2=--------即
3+/C
%=藐記」百一引=3昆I,
顯然攵H0.
QSVAOB=SvAC+Sv*B=;|OC|M+g|OC||工2I=;|OC|R-*2I
//I3網(wǎng)_33_—
W"
當(dāng)且僅當(dāng)我2=3取等號(hào).故VA03的面積最大值為坐,此時(shí)橢圓的方程為
2
3x2+y2=5.
變式訓(xùn)練已知橢圓。的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在X軸上,左右焦點(diǎn)分別為£,工,且陽6|=2,
點(diǎn)[1,1)在橢圓C上.
(1)求橢圓。的方程.
(2)過點(diǎn)耳的直線/與橢圓C相交于A,3兩點(diǎn),且VAK8的面積為丹旦,求以乙為圓心
且與直線/相切的圓的方程.
【核心例題3]
22
已知南圓£+(=1,6,6分別為其左、右焦點(diǎn),直線/過點(diǎn)K,交橢圓于A,
B兩點(diǎn).
(1)若直線/垂直于x軸,求|AB|.
(2)當(dāng)/4A8=90"且點(diǎn)A在x軸上方時(shí),求A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)若直線A6交y軸于點(diǎn)直線交y軸于點(diǎn)N,則是否存在直線/,使得
Sv4AB=若存在,求出直線’的方程;若不存在,說明理由?
【解題策略】
這是一道探究橢圓與直線位置關(guān)系的題目,涉及求弦長(zhǎng)、點(diǎn)的坐標(biāo)以及探究符合條件的
直線是否存在等一系列問題,通常解析幾何題的計(jì)算量一般都比較大,但如果方法得當(dāng),能較
UUUUUU
大減少計(jì)算量,比如第(2)問,若設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)A耳,人工,有AA?=0,展開
后與橢圓方程聯(lián)立解之,運(yùn)算量肯定大;若由/々AB=90°,利用勾股定理求解,會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)潔
一些;若能運(yùn)用橢圓的定義,則運(yùn)算量更小.第(3)問,己知直線:在x軸上的截距,相比將方
程設(shè)為y=k(x-2),方程設(shè)為x=my+2可避免分類討論,運(yùn)算量也小,如果能挖掘題中的
兒何特征,則解題過程更為簡(jiǎn)潔.
【解】
(1)由題意得。2=8-4=4,即c=2,.■.耳(―2,0),與(2,0).
22
直線的方程為把尤=2代入y+^-=l,求得43的坐標(biāo)為(2,⑹,(2,
-V2)..'.|AB|=2V2
(2)【解法一】
ULUIuuu
設(shè)A(x,y)(y>0),AR=(-2-x,-y),A鳥={2-x,-y),則
’22
三+二=1X—0
?84'解得<二二??A(0,2),直線AF2的方程為y=-x+2,
)=2.
(-2-x)(2—x)+y2-0,
x2y2i
---F——=18_2/Q2、
.故43兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,2),8(§,—]
由<84得83,-3
y=-x+2,7
【解法二】
222
設(shè)A(x,y)(>〉0),則|片=(x+2)2+y,\F2Af=(x-2)+y,
忻居『=16,Q/£AB=90",.??忻呢+后川2=忻馬『,代入化簡(jiǎn)得
/+};2=4,又三+匕=],.4(0,2),以下同【解法一】.
84
【解法三】
設(shè)田A|=m,優(yōu)A|=〃,則在RtVF;A鳥中,由橢圓定義可得解得
[m2+/?*■=16,
根=〃=20..?.為橢圓上頂點(diǎn),即A(0,2),以下同【解法一】
(3)如圖所示,設(shè)4&,兇),3(X2,%),加(0,,3),以0,%),顯然直線AB的方程不為
(22
土+匕=1
y=0,可設(shè)直線A5的方程為x=my+2,,聯(lián)立方程組{84一得
x=my+2.
-Am-4
,篦2+2)/+4my-4=0.yx+y2
由直線AFt的方程為=-^(x+2),得力=必工,,同理得以=必父.
玉+2'玉+2
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 單元定時(shí)檢測(cè)(十五)生態(tài)脆弱區(qū)及其綜合治理
- 承諾書之醫(yī)院服務(wù)承諾口號(hào)
- 成長(zhǎng)作文之成長(zhǎng)的腳步作文800字
- 2024年技術(shù)服務(wù)項(xiàng)目發(fā)展計(jì)劃
- 2024年保險(xiǎn)監(jiān)管相關(guān)保險(xiǎn)服務(wù)項(xiàng)目發(fā)展計(jì)劃
- 2024年油品脫砷特種催化劑項(xiàng)目建議書
- 2024年高性能特種合金材料合作協(xié)議書
- 2013年青海省西寧市中考英語試卷【解析版】
- 建筑施工現(xiàn)場(chǎng)臨時(shí)用電及臨建房屋管理培訓(xùn)課件
- 2022起重機(jī)產(chǎn)品驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)
- 電子產(chǎn)品維修合約三篇
- 人教版高一體育羽毛球大單元(正手發(fā)高遠(yuǎn)球技術(shù))教案
- 2023年廣州市教育系統(tǒng)招聘優(yōu)才計(jì)劃筆試真題
- 黑龍江省大慶市2025屆高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)語文試題(解析版)
- 2024分布式光伏電站技術(shù)方案
- 人教版(2024)數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)3.1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系第1課時(shí)《代數(shù)式》教學(xué)課件
- 部編小語五上《圓明園的毀滅》學(xué)習(xí)任務(wù)群教學(xué)設(shè)計(jì)
- 2024至2030年陜西省煤炭工業(yè)前景預(yù)測(cè)及投資研究報(bào)告
- 2024年國(guó)開電大 高級(jí)財(cái)務(wù)會(huì)計(jì) 形考任務(wù)4答案
- 國(guó)開2023秋《人文英語4》第1-4單元作文練習(xí)參考答案
- 六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)集體備課活動(dòng)記錄
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論