專題08 解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線壓軸題三種模型全攻略（原卷版）

專題08解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】 1【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】 10【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 17【典型例題】【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】例題：如圖，在中，，，D為BC的中點，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．(1)若E點在線段AB上（非端點），則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；(2)若E點在線段AB的延長線上，請你作圖（用黑色水筆），此時線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是_____________，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等腰直角三角形中，，，點為邊上任意一點，點為的中點，過點作交于點．求證：為定值．2.如圖1，在中，，，點P是斜邊的中點，點D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點D，E分別在邊的延長線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出的度數(shù)（不用說理）；若不能，請說明理由．3．在中，，，點O為的中點．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在和的延長線上時，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】例題：如圖，點，在的邊上，，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時，過點作于點，如果，求的值．【變式訓(xùn)練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長線上一點，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．2．已知平分，如圖1所示，點B在射線上，過點B作于點A，在射線上取一點C，使得．

(1)若線段，求線段的長；(2)如圖2，點D是線段上一點，作，使得的另一邊交于點E，連接．①是否成立，請說明理由；②請判斷三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點，過點作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，D為內(nèi)一點，平分，，，若，，求：線段的長．

2．如圖，為的角平分線．(1)如圖，若于點，交于點，，則______．(2)如圖，若，點在上，且，，，求的長；用含、的式子表示(3)如圖，，點在的延長線上，連接，若的面積是，求的面積．3．中，，點D是邊上的一個動點，連接并延長，過點B作交延長線于點F．

(1)如圖1，若平分，，求的值；(2)如圖2，M是延長線上一點，連接，當(dāng)平分時，試探究之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)如圖3，連接，①求證：；②，，求的值．4．（2022春·河北石家莊·八年級?？计谥校?1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這