第一章章末總結(jié)

章末總結(jié)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)知識辨析×√判斷下列說法是否正確.(請在括號中填“√”或“×”)1.“x>0”是命題.(

)2.一個命題的逆命題和這個命題的否命題是互為逆否命題.(

)3.互逆、互否的兩個命題真假性沒有關(guān)系.(

)4.若A是B的充分條件,C是B的必要條件,則A是C的必要條件.(

)5.設(shè)命題p,q對應(yīng)的集合分別為A,B,若p是q的充分不必要的條件,則BA.(

)6.“若p,則q”的否定為“若﹁p,則﹁q”.(

)7.“三角形都存在一個外接圓”中的“存在”為特稱量詞.(

)√××××題型一命題的關(guān)系及其真假判定題型歸納素養(yǎng)提升【典例1】(1)(2018·洛陽高二期中)已知命題“若{an}是常數(shù)列,則{an}是等差數(shù)列”,在其逆命題、否命題和逆否命題中,假命題的個數(shù)是

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(1)解析:若{an}是常數(shù)列,則{an}是等差數(shù)列正確,即原命題正確,則逆否命題也正確.命題的逆命題為若{an}是等差數(shù)列,則{an}是常數(shù)列,當公差d≠0時,{an}不是常數(shù)列,故逆命題為假命題,則否命題為假命題,故假命題的個數(shù)為2.答案:2(2)已知a,b,c∈R,寫出命題“若ac<0,則方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷這三個命題的真假.(2)解:逆命題“若方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有兩個不相等的實數(shù)根,則ac<0”,是假命題.如當a=1,b=-3,c=2時,方程x2-3x+2=0有兩個不等實根x1=1,x2=2,但ac=2>0.否命題“若ac≥0,則方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)沒有兩個不相等的實數(shù)根”,是假命題.這是因為它和逆命題互為逆否命題,而逆命題是假命題.逆否命題“若方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)沒有兩個不相等的實數(shù)根,則ac≥0”,是真命題.因為原命題是真命題,而逆否命題與原命題等價.規(guī)律方法(1)對四種命題的真假判斷,一般先改寫成“若p,則q”的形式,再判斷或利用等價命題進行判斷.(2)對于特稱或全稱命題真假的判斷,涉及指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)和三角函數(shù)等知識點,但難度不大,處理此類問題的關(guān)鍵是準確利用所學知識逐個進行判斷,靈活采用各種判斷方法.題型二充分必要條件的判定(A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件(C)非充分非必要條件 (D)充要條件(2)(2018·武漢二中高二期末)“a=-2”是“直線(a+2)x+3ay+1=0與直線(a-2)x+(a+2)y-3=0相互垂直”的(

)(A)充要條件 (B)充分非必要條件(C)必要非充分條件 (D)既非充分也非必要條件規(guī)律方法

判斷充分必要條件時關(guān)鍵是要分清命題的條件與結(jié)論,如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時,可以通過舉出恰當?shù)奶乩齺碚f明.題型三含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題(A)p為真 (B)﹁p為假(C)p∧q為假 (D)p∨q為真(1)解析:p假,q假,故選C.(2)設(shè)集合A={x|-2-a<x<a,a>0},命題p:1∈A,命題q:2∈A.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求a的取值范圍.規(guī)律方法判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的方法(1)先確定簡單命題p,q.(2)分別確定簡單命題p,q的真假.(3)利用真值表判斷所給命題的真假.題型四命題的否定與否命題(2)寫出下列各命題的否定及其否命題,并判斷它們的真假.①若x,y都是奇數(shù),則x+y是偶數(shù);②若一個數(shù)是質(zhì)數(shù),則這個數(shù)是奇數(shù).(2)解:①命題的否定:x,y都是奇數(shù),則x+y不是偶數(shù),為假命題.原命題的否命題:若x,y不都是奇數(shù),則x+y不是偶數(shù),是假命題.②命題的否定:若一個數(shù)是質(zhì)數(shù),則這個數(shù)不是奇數(shù),是假命題.原命題的否命題:若一個數(shù)不是質(zhì)數(shù),則這個數(shù)不是奇數(shù),為假命題.規(guī)律方法

(1)命題的否定只否定結(jié)論;(2)否命題對條件和結(jié)論都要否定.題型五等價轉(zhuǎn)化思想【典例5】

設(shè)集合A={x|-x2+x+6≤0},關(guān)于x的不等式x2-ax-2a2>0的解集為B(其中a<0).(1)求集合B;解:(1)x2-ax-2a2>0?(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a或x<2a.故集合B={x|x>-a或x<2a}(a<0).(2)設(shè)p:x∈A,q:x∈B,且﹁p是﹁q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.規(guī)律方法本題通過“﹁q?﹁p”(若﹁q,則﹁p)得到p?q(若p,則q),用到了等價轉(zhuǎn)化的思想,利用命題的等價性解題,在求一些參數(shù)的范圍問題時,顯得簡單快捷.題型六易錯辨析1.不能準確判斷充要條件【典例6】

判斷下列各題中的條件p是結(jié)論q的什么條件.條件p:ax2+ax+1>0的解集是R.結(jié)論q:0<a<4.錯解:因為當0<a<4時,Δ<0,所以當0<a<4時,ax2+ax+1>0恒成立,故q?p.當ax2+ax+1>0的解集是R時,有0<a<4,所以p是q的充要條件.糾錯:此類題目的易錯點是在用定義判斷時,忽略了無論是p?q,還是q?p,均要認真考慮是否有反例,這一點往往是判斷充分性和必要性的關(guān)鍵和難點.題中,根據(jù)一元二次不等式的解法考慮此題,忽略了a=0時原不等式變?yōu)?>0這一絕對不等式的情況.2.對命題的否定不全面真題體驗1.(2015·全國Ⅰ卷)設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則﹁p為(

)(A)?n∈N,n2>2n (B)?n∈N,n2≤2n(C)?n∈N,n2≤2n (D)?n∈N,n2=2nC解析:由特稱命題的否定為全稱命題知選C.2.設(shè)m,n為非零向量,則“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(

)(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件解析:若λ<0,不妨取λ=-1,則m=λn表示非零向量m,n反向共線,必有m·n<0;反之,若m·n<0,非零向量m,n不一定反向共線(可能夾角為鈍角),也就是不一定有m=λn,所以“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件,故選A.A3.已知命題p:?x>0,ln(x+1)>0;命題q:若a>b,則a2>b2.下列命題為真命題的是(

)(A)p∧q (B)p∧﹁q (C)﹁p∧q (D)p∧﹁qB解析:因為x>0,所以+1>1,所以ln(x+1)>ln1=0.所以命題p為真命題,所以﹁為假命題.因為a>b,取a=1,b=-2,而12=1,(-2)2=4,因此a2<b2,所以命題q為假命題,所以﹁q為真命題.所以q∧q為假命題,p∧﹁q為真命題,﹁p∧q為假命題,﹁p∧﹁q為假命題.故選B.4.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的(

)(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件解析:因為S4+S6>2S5?S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)?a6>a5?a5+d>a5?d>0,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要條件.故選C.C5.命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是(

)(A)?x∈R,?n∈N*,使得n<x2(B)?x∈R,?n∈N*,使得n<x2(C)?x∈R,?n∈N*,使得n<x2(D)?x∈R,?n∈N*,使得n<x2解析:?的否定是?,?的否定是?,n≥x2的否定是n<x2.故選D.D①若點A的“伴隨點”是點A′,則點A′