2023年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

2023年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(5月份)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合時={劃―4<工<2},乂={幻X2一%-6<0},則“0%=()

A.{x|-4<%<3]B.{x|-4<%<—2}

C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}

2.歐拉公式6漢=。”》+5加：。€/?)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為數(shù)學(xué)

中的天橋.若復(fù)數(shù)，,二，,,則Z/2=()

3.設(shè)向量,與向量B的夾角為。，定義百與B的向量積：4XB是一個向量，它的模

L、八1〃若沅=(1,0),o,Iv11,則>ii'?"()

A.—1B.1C.—V3D.V3

4.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬

優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中

各隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為()

C.EF

D.GH

6.已知la,0為銳角,且tana=2,sin（a+夕）=?,則cos/?=（）

A3<1QBQ\TToD

?ib-*io?--io?

7.已知點P在棱長為2的正方體的表面上運動，則萬.雨的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

8.設(shè)Q=22?b=ee9c:，則（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列各式中能夠說明隨機事件4與隨機事件B相互獨立的是（）

A.P（4|B）=P（BM）B.p\n川

C.P（4）=PG4|B）D.PlA/7l

10.C/iatGPT是OpenA/公司推出的一種人工智能聊天機器人，不僅能流暢對話，還能寫詩、

撰文、編碼等.一經(jīng)推出，便受到廣泛關(guān)注，并產(chǎn)生了豐富的社會應(yīng)用.某調(diào)查機構(gòu)為了解美國

大學(xué)生用C/iatGPT代寫作業(yè)的學(xué)生比例，對8所高校進行了調(diào)查，其中6所學(xué)校給出了代寫作

業(yè)的學(xué)生占比，將數(shù)據(jù)從小到大依次排列為：71%、75%、77%、80%、82%、85%,另外

兩所學(xué)校以侵犯隱私為由拒絕給出調(diào)查數(shù)據(jù)，那么這8所學(xué)校使用ChatGPT'代寫作業(yè)的學(xué)生比

例的中位數(shù)可能是（）

A.76%B.77.5%C.80%D.81.5%

11.已知函數(shù)/（x）=關(guān)于x的方程/-2/，”?“II,下列結(jié)論正確的是（）

e

A.存在aeR使方程恰有2個不相等的實根

B.存在aGR使方程恰有4個不相等的實根

C.存在aGR使方程恰有5個不相等的實根

D.存在aeR使方程恰有6個不相等的實根

12.已知圓C：',■.."i1,貝比）

A.存在兩個不同的a,使得圓C經(jīng)過坐標原點

B.存在兩個不同的a,使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等

C.存在唯一的a,使得圓C的面積被直線y="平分

D.存在三個不同的a,使得圓￡;與工軸或y軸相切

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.設(shè)%>-1,丫>0且％+2丫=1,則擊+：的最小值為.

14.從0,1,2,9這10個數(shù)字中任取三個數(shù)，使這三個數(shù)的和是3的倍數(shù)，則不同的取

法有種.（用數(shù)字作答）

15.在△ABC中，AB1BC,X=。是4c邊的中點，且"=2.將△ABD沿BD折起，使平

面48。1平面BCD,形成四面體4—BCD.則該四面體外接球的表面積為.

16.點4是雙曲線E：=1。>0,b>0）的左、右頂點.若直線了”上存在點P，

使得-AO,則該雙曲線的離心率取值范圍為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為矩形，E是CD的中點，AE與BD交于點F,6是4PAD

的重心.

（1）求證：GF〃平面PCD；

（2）若平面PAD，平面力BCD,APAD為等腰直角三角形，且P.I尸。-.10入2，求直

線4G與平面PBD所成角的正弦值.

18.（本小題12.0分）

記又為數(shù)列｛斯｝的前幾項和，已知2Sn=nan,且a?=1.

（1）求證：數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列，并求也工的通項公式；

（2）從下列三個條件中選一個填在橫線上，并完成下列問題.

若—，求數(shù)列｛為｝的前n項和

惘?%2"；酬=（一】廣/+2"；酬-總'.

19.（本小題12.0分）

銳角A/IBC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2,仆

?>

⑴求4

（2）若b+c=6,求BC邊上的高力D長的最大值.

20.（本小題12.0分）

晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源，其中有保存完好的大院人文景觀（如王

家大院，常家莊園等），也有風(fēng)景秀麗的自然景觀（如介休綿山，石膏山等）.某旅行團帶游客來

晉中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽.若每位游客選擇人文景觀的概

率是多選擇自然景觀的概率為全游客之間選擇意愿相互獨立.

(1)從游客中隨機選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為X,求X的均值與方差：

(2)現(xiàn)對游客進行問卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過的累計

得分為n分的概率為4,求匕.

21.(本小題12.0分)

橢圓今+'=l(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,過左焦點F(-l,0)的直線與橢圓交于C,

D兩點(其中C點位于x軸上方)，當(dāng)CD垂直于無軸時，|CD|=3.

(1)求橢圓的方程；

(2)記直線4C,8。的斜率分別為的，k2,求，’的最小值.

K'2

22.(本小題12.0分)

"廣2/n.r“/''.

az

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

?：2H7?TI/-rI?廠,若9(%)有兩個極值點看,%?且%1<%2，試求上…I的

(U2

最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了一元二次不等式的解法，交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

利用一元二次不等式的解法和交集的運算即可得出.

【解答】

解：vM={%|-4<%<2},N={x\x2—%—6<0}={%|-2<%<3},

AMn/V={%|-2<%<2}.

故選：C.

2.【答案】B

【解析】解：二?.二一一，

則,

3366222

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及歐拉公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：?.?|麗-，O2.■/(-I)，.75’.2,

mHI°

力…。.「又。E[0,7r],

Irn||FI|2

MIHO1co-1)'J，

iri-liin\A.

故選：D.

先求|沅I，|五I，即可求出cos。，即可求出sin。，代入即可求解.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：分別用4,8,C表示齊王的上，中，下等馬，用a,b,c表示田忌的上，中，下等馬,

現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機選一匹進行一場比賽，分別為Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,Ca,Cb,Cc,

共9種，

其中田忌的馬獲勝的樣本點為Ba,Ca,Cb,共3種，

故田忌獲勝的概率為1

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解.

本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)P(x,y),貝比，…1)-/，

因為tana>sina>cosa,

所以"r,

T

所以x,y同號，且y>x,則AB錯誤；

由于則于錯誤.

X

故選：C.

由三角函數(shù)的定義結(jié)合>sina>cosa,即可判斷.

本題主要考查任意角三角函數(shù)的定義，考查了三角函數(shù)的符號判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：因為tcma=2,

所以sina=2cosa,

又sin?。+cos2a=a為銳角，

所以5譏1=今巨，cosa=一,

又sin(a+0)二?，

所以/'>即一、「，，.、」''"，

2AS2

又cos??+siM夕=1,0為銳角，

mu.vzio.

HIl(i

故選：D.

由條件，結(jié)合同角關(guān)系求sina,cosa,再將sin(a+0)=?展開求cos￡.

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及和差角公式的運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：取AB中點。，連接P。，如圖,

則FM=(用+況)(而-刑)=阿-況’=國2-1，

當(dāng)P在正方體表面上運動時，運動到5或G處時，P0最大，

所以廣aI)_I)i)\”，

所以兩?麗的最大值為8.

故選：C.

取4B中點0,連接P0,利用向量的線性運算及數(shù)量積的運算性質(zhì)可得.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：2」，，：|1>23<32,

>則a<c,

構(gòu)造函數(shù)/Xx)=?，則［(x)=號竺，

易知函數(shù)/Xx)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

則處>即-hi-i<則」.「，即b>c,

e3

綜上，b>c>a.

故選：A.

由”，，可得a<c,構(gòu)造函數(shù)〃>)=等，判斷其單調(diào)性可得，.；，綜合即可得到答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

P(AD\p(AR\

【解析】解：?Pd-b〃-P<BA]-,

P(4)=P(B),不能說明隨機事件4與隨機事件B相互獨立，故A不正確：

c.iP(AB)cP[AB)_-

?.P(A|QP(川打)

片")P(R)

..PiAK\'lPH)]f\fl/'■Vi/'，：山川，化簡得P(AB)=P(4)P(8),故B正確;

rr(,“n.iiB)一坐祟，即P(4B)=P(4)P(B),故c正確；

/if)

pBiPt.llDi'；,；：，./0AWlPl/Ji,由于P(4),P(B)不一定相等，不能說

明A,B事件相互獨立，故。不正確.

故選：BC.

根據(jù)條件概率公式及事件相互獨立的意義判斷選項求解即可.

本題主要考查條件概率公式及事件相互獨立的意義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：當(dāng)另外兩所學(xué)校都小于或等于71%時，中位數(shù)為7；'.7?，此時中位數(shù)最

2

小，

當(dāng)另外兩所學(xué)校都大于或等于85%時，中位數(shù)為、「；、’；、1?，此時中位數(shù)最大，

2

故中位數(shù)的取值區(qū)間7"、「.

故選：ABC.

分別求出另外兩所學(xué)校都小于或等于71%時和另外兩所學(xué)校都大于或等于85%時的中位數(shù)，即可

得解.

本題主要考查了中位數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

1L【答案】AB

【解析】解：令/(%)=3則，''?aI),

f

因為/(%)=\xlnx\f

所以當(dāng)%>1時，/(%)=xlnx,

f(x)=Inx4-1>0,

所以f(x)在(L+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0VV%<1,/(x)=-xlnx,

尸(x)=-Inx—1,

令/'(%)=0可得%=

所以在(03)上(。)>0,單調(diào)遞增，

在(；，+8)上/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

又f(；)=/⑴=。,

又當(dāng)x>0時，/(%)>0；%->+8時，/(x)t4-00,

Inl

又當(dāng)0V%<1時，,

x

所以XT0時，/'(%)T0,

所以/(%)的大致圖象是：

所以當(dāng)tv0時，方程/(x)=t沒有實數(shù)根,

當(dāng)"0或t>；時，方程/(乃=t有1個實數(shù)根，

當(dāng)t=；時，方程/(X)=t有2個實數(shù)根，

當(dāng)0<t<；時，方程/(x)=t有3個實數(shù)根，

因為方程卜匕1>U的判別式為'1I”,

er*

所以當(dāng)a>去，/<0,方程M■/?“啜有實數(shù)根，

所以方程f，”u無實數(shù)根，

e

當(dāng)a=4，4=0,止匕時￡=工，

eze

所以方程.S"*/?；,〃u有2個實數(shù)根口，t,

c2

當(dāng)Q<a1，J>0,此時￡=15方程〃2Jd”有兩個不等實數(shù)根口，0，

不妨取。<12，則‘1，匚"，=訪則必有，|,/j',

ffc

若aVO,則0VO,f(%)=ti沒有實數(shù)根,/(%)=12有1個實數(shù)根，

所以方程廣，，l2/.zi-a”有1個實數(shù)根，

e

若0<a<去，貝Ijo<tj<i,f(x)="有3個實數(shù)根，/(x)=t2有1個實數(shù)根，

所以方程尸2/3，”n有4個實數(shù)根，

C

若a=0,則q=0,/(%)=口有1個實數(shù)根，/(%)=t2有1個實數(shù)根，

所以方程/yIHII有2個實數(shù)根，

綜上所述，當(dāng)a<0時，方程廣⑺"’，門“n有1個實數(shù)根，

C

當(dāng)a>那■，方程r，~br\■HI)有1個實數(shù)根，

當(dāng)a=0或a=白時，方程J1⑺…。有2個實數(shù)根.

故選：AB.

令/(%)=3則，"??n,分析/(%)=|x"的單調(diào)性，極值，作出f(%)的大致圖像,分析

V

方程/a)=t,"■1'"II的根，即可得出答案.

本題考查函數(shù)的零點，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：圓一「,>1'I的圓心坐標為(a,ea),半徑為1,

對于4設(shè)圓C過原點(0,0),則“(1,

方程小-1的解的個數(shù)等價于函數(shù)丫=峭的圖象與曲線/+丫2=1的交點個數(shù),

作函數(shù)y=e*與圓/+y2-1的圖象可得：

所以函數(shù))=e，的圖象與曲線=1的交點個數(shù)為2,

所以存在兩個不同的a，使得圓C經(jīng)過坐標原點，A正確；

對于B：圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等等價于八1,，■八I,■,

即(T?'I',即r'_“I),

方程，'一“II的解的個數(shù)函數(shù)g(x)=ex+X和九(x)=靖-x的零點的個數(shù)和相等,

因為g'(x)=靖+1>0,又g(-1)=e-i-1<0,q*hI(I：0,

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上存在一個零點，即函數(shù)g(x)存在一個零點，

因為h'(x)=ex-1,

當(dāng)x>0時，h'(x)>0,函數(shù)h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x<0時,h'(x)<0,函數(shù)<x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

又九(0)=1>0,所以九(工)>0,故函數(shù)九(%)沒有零點,

所以方程，’一“H的解的個數(shù)為1,

即存在一個a，使得圓C在無軸和y軸上截得的線段長相等，3錯誤；

對于C：圓C的面積被直線y=ex平分等價于y=ex過圓心，

所以r"ttl>令???ilt

求導(dǎo)可得"?<，令/''(a)=0,可得a=l,

當(dāng)a>1時，f'(a)>0,函數(shù)/'(a)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)。<1時，f'(a)<0,函數(shù)/'(a)在(一8,1)上單調(diào)遞減，

又/(1)=0,所以函數(shù)，“j只有一個零點，

即方程小小只有一解，

所以存在唯一的a,使得圓C的面積被直線y=ex平分，C正確；

對于D：圓C與x軸或y軸相切等價于|a|=1或，I,

則a=±1或a=0,共3解，

所以存在三個不同的a,使得圓C與4軸或y軸相切，。正確；

故選：ACD.

對于4,等價于判斷方程”-■1,的解的個數(shù)，等價于判斷y=蜻與/+y2=i交點個數(shù)，

結(jié)合圖象判斷即可，

對于8,由弦長公式可得等價于判斷方程小工”的解的個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)判斷即可,

對于C,等價于判斷方程，一.“的解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，

對于D,等價于判斷|a|=l或，I的解的個數(shù)，解方程即可判斷.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，方程與函數(shù)的綜合問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點等知識，考查

數(shù)形結(jié)合，邏輯推理的能力.

13.【答案】過等

【解析】解：因為%>-1,y>0,

所以x+1>0,"''10,

1+IX

因為％+2y=l,所以％+l+2y=2,

所以:tJ?L)(z+1+2y)?!(3+?i+——)》)(3.2^/5),

J\y2x*1y2/+1y1

當(dāng)且僅當(dāng)"?,即」?2\23,y=2-C時取得最小值.

故答案為：乏等.

2

由已知條件可知x+1>0,且x+l+2y=2,再展開1.'''.1<'?

-1v-1-I

并利用基本不等式求其最小值.

本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】42

【解析】解：將這些數(shù)字分組，記.1(0.3,8={1,4,7},(|2.5.用，

從而和為3的倍數(shù)的情況共有(?：C(C(叱種.

故答案為：42.

根據(jù)被3除的余數(shù)分三組，則三個數(shù)的和為3的倍數(shù)的情況分四類，即可得解.

本題主要考查組合及簡單的計數(shù)問題，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】yTF

【解析】解:設(shè)ABC。和AABO的外心分別為G,F,過G作平面BCD的垂線，,

過F作平面的垂線n,則四面體4-BCD的外接球的球心。為直線2和n的交點.

因為47，。是4c邊的中點，且4c=2.

所以△ABD為等邊三角形，

所以FM1BD,

設(shè)B。中點為M,則四邊形”“(〃為矩形，且GM=?,FM=華,

26

四面體4-BC。的外接球的半徑

I廠廠r

R-OD-y/OAP-DAP-y/GNP+FAF+DAP-/爭'+(、’1'-您?

故四面體外接球的表面積為S=4TTR2=畀.

故答案為：苧兀?

作出圖形，設(shè)△BC。和AABD的外心分別為G,F,過G作平面BCD的垂線I,過戶作平面4BD的垂

線n,則四面體A-BCD的外接球的球心0為直線1和n的交點.

然后利用勾股定理求出外接球半徑，進而求解.

本題考查四面體的結(jié)構(gòu)特征以及四面體外接球的表面積計算，考查空間想象能力以及運算求解能

力，屬于中檔題.

16.【答案】（1,4之

【解析】解：的外接圓半徑為

當(dāng)該圓與直線「「相切或相交時滿足題意，故

a

?f

二”，即1Ve4V2?

a

所以該雙曲線的離心率取值范圍為（1,「］.

故答案為：（1,，攵］.

先利用正弦定理求出△4人2「的外接圓半徑，再根據(jù)題意可得當(dāng)該圓與直線，'相切或相交時

a

滿足題意，即可得解.

本題考查雙曲線的離心率，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）證明：連接4G并延長交PD于H,為△PAC的重心，.?.券

Gn1

APAB24G4F

又△AFB-EFD，.口「.而和

..（；i///又GFU平面PCD,HEU平面PCD,

???GF〃平面PCD.

（2）連接PG并延長交4D于0,顯然。為力。的中點，

因為平面P4C，平面4BCD,平面PADn平面力BCD=AD,又P。1AD,

：.P01平面ABCD.

p

取BC中點M,以0為坐標原點，。力，OM,0P分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標

系，則P0=2,于是，

4(2,0,0),Z)(-2,0,0),P(0,0,2),(；i>,n'i,〃，2.2\，々.山，

于是前■(而--2)，7?75-(-2.0,-2).

?>

設(shè)平面PBD的法向量為if=(x.y,z),則

77?而=0.f2x4-2y/2y-2z",卜一不妨取z=l,

itP3O'I21r2:0

則元=(一1,121),

■J7*2+0+-

./JT%-iAG?"3

網(wǎng)同2VW.

111'-----x2

3

AG與平面PBD所成角的正弦值為強.

【解析】(1)連接4G并延長交PD于H,根據(jù)重心的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可得［；:“，進

而可證GF〃HE,從而利用線面平行的判斷定理即可證明；

(2)連接PG并延長交4。于0,建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法向量，利用

線面角的向量求法即可求解.

本題考查線面平行以及線面角相關(guān)知識，屬于中檔題.

18.【答案】解：.廣、小，，，2Sn+i=(幾+1)即+i，作差得：(n—l)an+i=幾即,

"1<l?<H

即心2時，"…，即;?

v2Sn=nan,.2f.a[9ar=0,又g=1，，。九=九一1，當(dāng)九=1時也滿足,

.,.{5}的通項公式為%=九—1,是首項為0,公差為1的等差數(shù)歹U;

!

(2)若選①，則，皿12",故/,II-1-2,-2-2--KI-2,

27,i>+1x21+2*2,------+(w-l)x2"^,

若選②,則611-2",

2(1-2°)

若n為偶數(shù)：1,II123(n-2)+(?

2(1-r)

若n為奇數(shù)：1,-0-12^3--(?-3)+(?-2)-(?i)+

2

-2+，當(dāng)”為停牧.

一j一歹.當(dāng)n為奇數(shù).

若選③，則%=舟=9焉，

.，.I1III

故靠=I—:+=—=+=—=++

3213-n-F1n“+2

2n+ln+22n+ln+2

【解析】(1)根據(jù)遞推公式以及sn與加的關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列，先求出新數(shù)列的通項公式，再推導(dǎo)出｛冊｝

的通項公式；

(2)將①②③條件分別代入，根據(jù)｛勾｝通項公式的特點確定求和的方法.

本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)因為C=兀-(4+8),

所以sinC=sin。+B)=sinAcosB+cosAsinB,

―I

又.inC.2co9Ann(B4--).2CXMJ4(-iv9n/??

3JJ

，八.1“心?\

所以、:h….1,1八。，

所以….、"、J！I\.????>1.II,

所以cos8=0或sin/->f~3cosA=0,

若cosB=0,則B=》與△ABC為銳角三角形矛盾，舍去，

從而sim4—yT^cosA=0,則tam4=

又054,所以4=*

⑵由⑴知心,11”7—(b+<?)'-2bc-『36-2bc-/

22br2fcr_2bc

化簡得。2=36—3bc,

所以、」“，

因為、|j：！yi.1〃.ID-

-22a

所以「。-^4：,

又b+cN2l而，所以beW9,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時取等號，

.73(he)13,327

所以1"M,:"，I，:拓31,

,1(H—*(S3*―力

(6rfbe1P9

所以4、故AO長的最大值為手.

22

【解析】(1)根據(jù)題意，利用兩角和差公式及三角形性質(zhì)化簡，分類討論，求解即可；

(2)利用余弦定理求得a2=36-3bc,通過等面積法建立高4D的函數(shù)，利用基本不等式及二次函

數(shù)求最值即可.

本題主要考查三角形中的幾何計算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題可知X?8(5,|),

于是E(X)=5x,=?

(2)法一：由題可知P】=《1乃2；+I」1.7,；?

0*>?>I"

1?

也即P...凱一

<>M

力匕.J為常數(shù)數(shù)列，且R?7一A--Pi:'山，32),

?t9

.P..-II.

035

..(〃，:>是以，::為首項、一,為公比的等比數(shù)列，

5515§

(一*

法二：由題可知Pl=1,P2':.

?>34>J

1o

心3時&=沔_1+衿_2,

也即匕—Pn-l=-|(Pn-l-Pn-2)，

???{4—Pn-1}是以/'，'為首項、一;為公比的等比數(shù)歹IJ,

二RPni'32),

?>

P?,P?1XI2：l"

?93

3

相加得：P?n：?.)J:..,；L,

91/4115Io.>

p?又Pl=J也滿足，

5JJ

所以上?.!?<2.>"l.

5153

【解析】(1)由題意可知X服從二項分布,利用E(X)=np,D(X)=np(l-p)求解即可;

(2)由題意可推出71>3時匕=gPn-l+|P"-2，

方法一：構(gòu)造出［，'，，』為常數(shù)數(shù)列，進而構(gòu)造出《匕'；是-號為公比的等比數(shù)列，利用

等比數(shù)列的通項公式求解即可；

方法二：｛6-Pn_J是-|為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求出其通項，再根據(jù)累加

法即可求解.

本題主要考查離散型隨機變量期望的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因為橢圓務(wù)*

所以。2-。2=1,

將x=1l代入冒+'=1,得曠=士。

故羽=3，

a

解得a?=4,b2=3,

橢圓方程為1+4=1;

43

(2)因為直線CD過點F(—1,0),且點C位于x軸上方，

所以直線CD斜率不為0,設(shè)直線CD的方程為x=my—1,

聯(lián)立)彳+至=>得(3爪2+4)y2-6my-9=0.

(%=my—1,

A=36m2+36(3*+4)=144m2+144>0,

設(shè)C(%i，yi),D(x2,y2V由已知%>0,

日(vn-9

于是汕-Ml-h二—'11-

Mil2+I+1

3

所以jnyiy?=一？(為+丫2)，72<0，

又橢圓3+1=1的左頂點4的坐標為(—2,0),右頂點B的坐標為(2,0),

所以自=含水2=含,

因為%>0，%<0，-2<%!<2,-2<x2<2,

所以的>0,k2>0,

因為：_訊皿+2)_ME+1)JFI+V2)+如

%-2)-3)―

niyiw3yiH-

xi+25(in+ih)-3y>

所以A-：^?+l>2v/3,當(dāng)且僅當(dāng)3A=1,即的=孕時等號成立，

A.卜:人.“3

所以當(dāng)期=一時，，1取最小值，最小值為2，3.

‘3A'

【解析】(1)由條件列出關(guān)于a，b的方程，解方程求a,b可得橢圓方程;

(2)設(shè)直線CD的方程為x=my-1,結(jié)合設(shè)而不求法證明七=36，利用基本不等式求/」的

最小值.

本題考查橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)而不求法與韋達定理的

應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.