2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（黑卷）試題（含答案解析）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(黑卷)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若Z1=l+2i,z2=-i,則憶目=()

A.MB.75

C.2D.I

2.已知集合A={y|y=2x-l,xeZ},B=|x|5x2-4x-l<0|,則Ap|8=()

A.{1}B.{0,1}

C.{0,1,2}D.{1,3,5}

3.2021年全運(yùn)會(huì)的吉祥物以四個(gè)國(guó)寶級(jí)動(dòng)物“朱鶻、大熊貓、羚牛、金絲猴”為創(chuàng)意原

型，分別取名“朱朱”"熊熊羚羚”“金金某同學(xué)共有5個(gè)吉祥物娃娃，其中2個(gè)“朱

朱“，"熊熊羚羚""金金''各1個(gè)，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)送給同學(xué)，則抽取的吉祥物中含

“朱朱''的概率為()

A.—B.-C.—D.-

105105

4.我國(guó)第七次人口普查的數(shù)據(jù)于2021年公布，將我國(guó)歷次人口普查的調(diào)查數(shù)據(jù)整理

A.從人口普查結(jié)果來(lái)看，我國(guó)人口總量處于遞增狀態(tài)

B.2000-2020年年均增長(zhǎng)率都低于1.5%

C.歷次人口普查的年均增長(zhǎng)率逐年遞減

D.第三次人口普查時(shí)，人口年均增長(zhǎng)率達(dá)到歷史最高點(diǎn)

5.已知sine-x)=；,且0<xg,則sin(2x-0)=(

)

V15

B.

~S~

后

D.

4

6.中國(guó)是全球最大的光伏制造和應(yīng)用國(guó)，平準(zhǔn)化度電成本（LCOE）也稱(chēng)度電成本,

是一項(xiàng)用于分析各種發(fā)電技術(shù)成本的主要指標(biāo)，其中光伏發(fā)電系統(tǒng)與儲(chǔ)能設(shè)備的等年

值系數(shù)/CRF對(duì)計(jì)算度電成本具有重要影響.等年值系數(shù)LRF和設(shè)備壽命周期N具有如

0.05（1+八

下函數(shù)關(guān)系/CRF=,\N，r為折現(xiàn)率，壽命周期為10年的設(shè)備的等年值系數(shù)約

（1+「）T

為0.13,則對(duì)于壽命周期約為20年的光伏-儲(chǔ)能微電網(wǎng)系統(tǒng)，其等年值系數(shù)約為

（）

A.0.03B.0.05C.0.07D.0.08

7.+的展開(kāi)式中/的系數(shù)為（）

A.-23B.23C.-27D.27

8.設(shè)甲：實(shí)數(shù)。<0；乙：方程/+：/__r+3y+a=0是圓,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.在長(zhǎng)方體A8C。-44CQ］中，點(diǎn)N,P,。分別為片￡,CQ,AD,AR

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）

A.AM//PNB.平面明時(shí)〃平面PQN

C.直線AG與平面PM。的夾角為￡D.平面平面CMG

4

10.己知函數(shù)〃X）=cos（<yx+e）［0>0,|同的最小正周期為萬(wàn)，且其圖象關(guān)于直

線X=?對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)/（X）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（）

22

11.已知雙曲線C：T-春■=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、尸2,點(diǎn)尸在雙曲線

的右支上，過(guò)點(diǎn)尸作漸近線y=2、的垂線，垂足為Q,若歸@+|助|的最小值為4a,

則雙曲線的離心率為()

A.6B.6C.2D.20

12.已知函數(shù)〃X+1)的圖象關(guān)于直線x=-l對(duì)稱(chēng)，對(duì)VxeR,都有“x—3)=/(x+l)

恒成立，當(dāng)xe[0,2]時(shí)，/(x)=1x2,當(dāng)4>0時(shí)，若函數(shù)/(x)的圖象和直線

y=k(x+4)有5個(gè)交點(diǎn)，則人的取值范圍為()

二、填空題

13.已知拋物線C：>2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-g,若C上有一點(diǎn)A位于第一象

限，且點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為g,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

14.已知向量￡,坂均為單位向量，a-b=^,m=a+b<n=a-2b>則而與3的夾角

為.

15.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,。，面積為20，cosC=g,且

c=2,則a+8=.

16.已知菱形A8C。中AB=2,沿對(duì)角線3。進(jìn)行翻折，當(dāng)三棱錐A-8CD的體積最

大時(shí)，BD=

三、解答題

17.設(shè)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足6=2,a“—2?,z=2—”(“wN*).

(1)求證：｛%-小為等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=(an-n)-n,求數(shù)列｛乙｝的前〃項(xiàng)和。.

18.如圖，四棱錐尸-A8CD中，四邊形A8C￡>為菱形，NBA。=60,且3尸=D尸,

BC1CF.

⑴求證：CF，平面A3C￡>；

(2)若BC=2,CF=&，求二面角8-AF-C的余弦值.

19.自中國(guó)共產(chǎn)黨第十九屆中央委員會(huì)第五次全體會(huì)議提出“堅(jiān)持創(chuàng)新在我國(guó)現(xiàn)代化建

設(shè)全局中的核心地位”的發(fā)展戰(zhàn)略以來(lái)，某公司一直致力于創(chuàng)新研發(fā)，并計(jì)劃拿出100

萬(wàn)對(duì)A,8兩種芯片進(jìn)行創(chuàng)新研發(fā)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研及經(jīng)驗(yàn)得到研發(fā)A芯片后一年內(nèi)的

收益率與概率如下表所示：

收益率-10%10%20%30%

概率0.20.50.20.1

研發(fā)8芯片的收益w(萬(wàn)元)與投資額x(萬(wàn)元)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系w=J-當(dāng);.

(1)若對(duì)研發(fā)A芯片投資60萬(wàn)，8芯片投資40萬(wàn)，求總收益不低于18萬(wàn)元的概率；

(2)若研發(fā)8芯片收益不低于投資額的10%,則稱(chēng)B芯片“研發(fā)成功”，否則為“研發(fā)失

敗”，若要使總收益的數(shù)學(xué)期望值不低于10.5萬(wàn)元，能否保證B芯片“研發(fā)成功”，請(qǐng)說(shuō)

明理由.(參考數(shù)據(jù)：/1。6.4)

22

20.已知橢圓E東+方=1(〃>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，鳥(niǎo)，過(guò)心作直線

〃?：丁=》的垂線，垂足為A,若tanNA耳工且橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2vL

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/：y=Mx+l)(14Z4a)與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)，求△8CD面積的取值范

圍.

21.已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx-3x+8(aN0).

(1)從下列條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求〃力的單調(diào)區(qū)間;

①〃x)在(1,/(1))處的切線與直線x-2y-2=o垂直;

②/'(X)的圖象與直線x=e交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1.

(2)若“X)存在極值，證明：當(dāng)xNe時(shí)，〃x)N8-et

fx=—14-2COS6?

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，c.(。為參數(shù)).

[y=-l+2sin^

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方

程；

(2)過(guò)。的直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，求A8中點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程.

23.已知函數(shù)〃要)=|2工_2|一卜一曰.

(1)若％=2,解關(guān)于x的不等式/(x)>4；

⑵若對(duì)Vxe[l,3],不等式2x恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

先計(jì)算Z0，再求|z聞.

【詳解】

*.*Z1=1+萬(wàn)，z2=-i,

二z,z2=(l+2i)(—i)=2-i,

故上㈤=石.

故選：B.

2.A

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求出集合B,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得：

【詳解】

解：由5/-4》-140,即(5x+l)(x—1)40,解得-(4x41,

所以8={申/-4x-l<0|=1x|-^-<x<l|,

又A={y|-xeZ}={…

所以AcB={l}；

故選：A

3.C

【解析】

【分析】

利用古典概型，組合數(shù)公式，即可求解.

【詳解】

兩個(gè)都是“朱朱”，有I種方法，若有1個(gè)“朱朱”，則有C；C；=6種方法,

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

77

所以抽取的吉祥物含“朱朱”的概率P=^7=—,

故選：C

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖分析即可；

【詳解】

解：由折線統(tǒng)計(jì)圖可得，所有的增長(zhǎng)率均為正數(shù)，

所以從人口普查結(jié)果來(lái)看，我國(guó)人口總量處于遞增狀態(tài)，故A正確；

2000-2020年年均增長(zhǎng)率都低于1.5%,其中2000最高，增長(zhǎng)率為1.07%,故B正確;

年均增長(zhǎng)率在1964-1982是逐年遞增，1982-2020是逐年遞減，故C錯(cuò)誤；

第三次(1982年)人口普查時(shí)，人口年均增長(zhǎng)率達(dá)到歷史最高點(diǎn)，故D正確；

故選：C

5.A

【解析】

【分析】

根據(jù)$皿仁7)>0可確定77的范圍，由此可得3仁7)；利用二倍角正弦公式可求

得sin(9-2x)由此可得結(jié)果.

【詳解】

Q八八0<x<—冗,——n<——兀x<—71

2366

=2x—x

4

/.sinf2x-y

故選：A.

6.D

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

【解析】

【分析】

0.05(1+r)10

=0.13,解出（1+4°=號(hào)，然后將N=20代入計(jì)算即可得解.

由己知可得出

(1+r)-1O

【詳解】

0.05(1+“°

由己知可得解得+

(1+『1O

0.05(1+4。_米,I8)

當(dāng)N=20時(shí)，則&F=

0+4113

故選：D.

【解析】

【分析】

將代數(shù)式變形為（1一：1X+5）5=（X+5）5-：?（X+5）S,利用展開(kāi)式的通項(xiàng)即得.

【詳解】

=(x+5)5---(x+5)5,

由（x+5）5展開(kāi)式的通項(xiàng)為乙二C；..5'=,

（l-：）（x+5）s的展開(kāi)式中/的系數(shù)為5C；-2x5°C；=23.

故選：B.

8.A

【解析】

【分析】

由方程表示圓可構(gòu)造不等式求得。的范圍，根據(jù)推出關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】

,5

若方程/+/一x+3y+o=0表示圓，貝+32—4。=10—4。>0,解得：〃<j；

?.?a<0=a<[,a<0,..?甲是乙的充分不必要條件.

故選：A.

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

9.D

【解析】

【分析】

由題可得4M//PG可判斷A,由QN與AM不平行可判斷B,由題可知NACQ即為直線

AC與平面OCG。的夾角，且tan乙40。=#可判斷C,由面面垂直的判定定理可判斷

【詳解】

連接PG，由正方體的性質(zhì)可得AP//BC,AP=gBC,MCJ/BC,MC^^BC,

所以AP//MC1,AP=MC1,

所以四邊形AMG尸為平行四邊形，AMIIPC、,所以AM與PN不平行，故A錯(cuò)誤;

若平面A41M〃平面PQV,

因?yàn)槠矫嫫矫鍭B|GR=AM,平面PQNI平面ABCQ=QN,

則。N〃A〃，由題可知QN與AM不平行，故B錯(cuò)誤；

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

由題可知P。//。，，「。仁平面以：02,O"u平面。CCQ,

進(jìn)而可得PQ//平面。CG2,同理QM〃平面。CGA,

而PQn。加=Q,所以平面PMQU平面DCC,4,

故直線AC,與平面PMQ的夾角和直線AC,與平面OCGQ的夾角相等,

由正方體的性質(zhì)可知，N4CQ即為直線AG與平面OCGR的夾角，且tanN4Go=等,

故C錯(cuò)誤；

B

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

由題可知平面CMC|,QMu平面FMQ,所以平面尸河。，平面CMG，故D正確.

故選：D.

10.B

【解析】

【分析】

根據(jù)f(x)的最小正周期以及對(duì)稱(chēng)性，即可求得公夕；再求/(x)的對(duì)稱(chēng)中心即可.

【詳解】

?函數(shù)的最小正周期為萬(wàn)，

27r

T=—=7i,則G=2,

CD

則/(X)=COS(2X+8),

?.?圖像關(guān)于直線X對(duì)稱(chēng)，

TT24

/.2Xy4-^7=k7T,keZf(p=k7T--,k6Z,

,.Id告*

二當(dāng)％=］時(shí)，9=〃一爺=?,

TT

則/(x)=cos(2x+§),

I-冗冗.Anzrak兀TC.—

由2xd———F攵4，角牟x----1---,k￡Z,

32212

當(dāng)k=0時(shí)，x=—,

12

即函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(帝0).

故選：B.

11.B

【解析】

【分析】

連接出"計(jì)算出點(diǎn)尸2到直線y=，x的距離d,分析可得|PQ|+|P6|Nd+2a,可得出

b=2a,進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率的值.

【詳解】

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

連接P&由雙曲線的定義可得歸用-歸用=2%

所以，|尸@+歸用=|P@+|P段+2aWd+勿=4o,

當(dāng)且僅當(dāng)尸、Q、瑪三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，故b+2a=4",可得6=2°,

所以，c=yla2+b2=y[5cr因此，該雙曲線的離心率為0=：=石?

故選：B.

12.C

【解析】

【分析】

分析可知函數(shù)/（x）為偶函數(shù)，且函數(shù)/（x）是以4為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)/（x）與

y=Z（x+4）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)k的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)左的取值范

圍.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/（X+1）的圖象關(guān)于直線x=—l對(duì)稱(chēng)，

將函數(shù)/（X+1）的圖象向右平移1個(gè)單位，可得到函數(shù)“X）的圖象，

則函數(shù)f（X）的圖象關(guān)于）'軸對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，

由/（x—3）=〃x+l）可得/（x）=.f（x+4）,故函數(shù)“X）是以4為周期的周期函數(shù)，

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

如下圖所示:

因?yàn)橹本€丫=女（》+4）過(guò)定點(diǎn)（Y,0）,

/、/、[6k<2

當(dāng)k>0時(shí)，要使得函數(shù)“X）的圖象和直線y=Z（x+4）有5個(gè)交點(diǎn)，則,解得

1u/c>，

53

故選：C.

13.（2,2）

【解析】

【分析】

由題可得C：V=2x,利用拋物線的定義可得乙=2,進(jìn)而可得4（2,2）.

【詳解】

因?yàn)閽佄锞€C：V=2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為x=-g,

:,一與=一二,即0=1,

22

；.C:y2=2x,又點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為

.??4+:=|,即4=2,又點(diǎn)A位于第一象限，

.?.*=2x2,%=2,即A（2,2）.

故答案為：（2,2）.

14.120°

【解析】

【分析】

—\IYI?n

根據(jù)cosg,〃片麗，結(jié)合向量的模的求法及數(shù)量積的運(yùn)算律求出而與n的夾角的余弦

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

值，從而可得出答案.

【詳解】

解:b+2ah=Jl+1+1=A/3,

+4b-4。?b—Jl+4—2=5/3?

in-n-a-b-2b=\---2=--

22

/----\mn1

所以8Ms?麗=一5'

又0。4限.180。,

所以百與百的夾角為120。.

故答案為：120。.

15.2不

【解析】

【分析】

由三角形面積公式可得改=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】

由cosC=；,Ce(0,i),可得sinC=3,

又SD=-ahsinC=-ahx—=2y/3，

AC222

所以a〃=8,又c=2,

c2=/+護(hù)-2abeosC=(a+b)2-3ab,

I.4=(a+Z?)~—24,解得Q+/?=2>/7.

故答案為：2療.

16.433##433

【解析】

【分析】

當(dāng)A--C為直二面角時(shí)，三棱錐A-3C。的體積最大，取8。的中點(diǎn)R,接4?,/?。,

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

2

由面面垂直的性質(zhì)得到4?_L面BCD,設(shè)BD=2a,Vt.flCD=1-w(4-a),令

/(X)=1X(4-X2)=^X-1X\對(duì)/(x)求導(dǎo)，求出“X)的單調(diào)性，即可求出三棱錐

A-58的體積最大時(shí)3。的值.

【詳解】

因?yàn)樵诜圻^(guò)程中，三棱錐A-88的底面為三角形88是不變的，所以當(dāng)A-BQ-C為

直二面角時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大.

如圖，取BD的中點(diǎn)R,連接AR,RC,則4?_L3￡),因?yàn)槊?由。_L面8c。，且面A3CD

^\BCD=BD,所以4?，面88,所以4?，RC,菱形A8C3中

AB=AD=BC=CD=2,設(shè)8r>=2a,所以4?=RC=’

%s=g*；xB￡>xCRxAR=g*；?2a.("^)=-a(4-a2),

令f(x)=；x(4-x2)=:x-；x3j，(x)=g-x2=(),x=竺或x=-羋(舍去)

當(dāng)xe[o,竽)時(shí)，/(x)>0,當(dāng)xeR^,+<?時(shí)，/(A)<0,

所以/.(X)在，，羋)上單調(diào)遞增，在[.，+8上單調(diào)遞減，所以當(dāng)X=不時(shí)，/(%)

有最大值，所以當(dāng)〃=2叵時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大，此時(shí)30=2"=生亙.

33

故答案為：勺叵.

3

17.(1)證明見(jiàn)解析，a?=T-'+n

(2)4=("-1)x2"+1

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

【解析】

【分析】

(1)由遞推公式可得4,-〃=即可得到｛%-“｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的

等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)可得2="X2"T,再利用錯(cuò)位相減法求和即可；

(1)

解：因?yàn)椋?2,an-2an_t=2-/7(neN*),

所以q=+2-〃，即％-〃=2[*一(〃-1)]

又q-l=2-l=l,所以｛%-〃｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以凡-〃=lx2"T,所以為=2"、〃

(2)

解：由⑴可得d=(4-〃>〃=〃x2"T,

所以7；=1x20+2x2/3x22+...+〃X2"T①，

^^27；,=lx21+2x22+3x23+---+nx2,,(2),

①一②得T,=1+1x2,+1x2?+1x2、+...+1x2"-'-"x2"

即一Z,=*-〃x2",所以7；,=("-l)x2"+l；

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵叵

10

【解析】

【分析】

(1)連接AC交33于點(diǎn)。，連接。尸，證明出80,平面ACR,可得出再由

結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)取BC的中點(diǎn)E,連接OE,分析得出。E_L5C,然后以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CF.

BC.前的方向分別為X、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求

得二面角3-AF-C的余弦值.

⑴

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

證明：連接AC交8。于點(diǎn)0,連接。尸，則。為8。的中點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅蜛8CO為菱形，^BDIAC,

因?yàn)?尸=￡>尸，。為8。的中點(diǎn)，則0F_L8￡>,

■.■OFr\AC=O,平面ACF,QCFu平面ACF,則CF_L8￡),

■.■CFA.BC,BCC\BD=B,..b_L平面ABC。.

(2)

解：取BC的中點(diǎn)E,連接。E,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，/84。=60,則/88=60,且8C=8,

故△3。為等邊三角形，

因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，則。EL8C,

因?yàn)镃FJ.平面ABCD,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，存、BC.防的方向分別為x、八z軸的

正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則3（（）,—2,0）、C（0,0,0）、A（0,-3,6）、F（友,0,0）,

設(shè)平面A3F的法向量為碗=a，%zj,麗=(0,-1,b)，BF=(72,2,0),

m-BA=—y,+#>z、=0

,取y=G，則“=卜>/^,6,1）,

fn-BF=5/2%,+2yl=0

設(shè)平面Ab的法向量為3=（電,必,Z2）,CF=（V2,0,0）,CA=（0,-3,>/3）,

n-CF=\jlx-,-0

則［無(wú)逐=一3%+GZ2=0

?。?1則石=(0,1,石),

mn_2>/3_\/30

cos<m,n>=

|/7i|-|/t|V10x210

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

由圖可知，二面角8-AF—C為銳角，則二面角8—A尸—C的余弦值為典.

10

19.（1）0.3；

（2）能，詳見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

（1）由題可得對(duì)B芯片投資的收益，進(jìn)而可得投資A芯片的收益率不低于結(jié)合條件可

得；

（2）若對(duì)8芯片投資x萬(wàn)元，則可得X227,然后可得投資A芯片獲得收益的分布列，進(jìn)

而可得投資總收益的數(shù)學(xué)期望值，結(jié)合條件列出不等式，即可判斷.

（1）

設(shè)“總收益不低于18萬(wàn)元”為事件M,

對(duì)8芯片投資40萬(wàn)的收益為卬=當(dāng)-=6（萬(wàn)元），

要使總收益不低于18萬(wàn)元，則投資A芯片的收益不低于12萬(wàn)元，即收益率不低于

12_1

60-51

由表可知尸（M）=0.2+01=0.3,

即總收益不低于18萬(wàn)元的概率為0.3；

⑵

若對(duì)8芯片投資x萬(wàn)元，則0<x<100,

要保證8芯片?“研發(fā)成功“，需滿(mǎn)足x」1冬00之去x，

解得*25q-5*27或x4-5而-5（舍去），

故x二27,

對(duì)研發(fā)A芯片投資（100-力萬(wàn)元，則投資A芯片獲得收益的分布列為

收益-O.l-(lOO-x)O.l-(lOO-x)02(1007)0.3-(100-x)

概率0.20.50.20.1

對(duì)研發(fā)A芯片投資收益的數(shù)學(xué)期望為

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

E'(x)=-0.1-(100-x)x0.2+0.1(100-x)x0.5+0.2-(100-x)x0.2+0.3(100-x)x0.1

=0.1(100-x),

則投資總收益的數(shù)學(xué)期望值為丫=0.卜（100-力+1-黑吒-提+10,

由左-半可得XN30（負(fù)值舍去），

10x+10

滿(mǎn)足xN27,

所以能保證8芯片“研發(fā)成功”.

20.（1）—+y2=l

2

【解析】

【分析】

（1）由題意可知44。心為等腰直角三角形，從而可得從而求得tanNA耳心，再

根據(jù)tanZA耳鳥(niǎo)=—v求得從，結(jié)合長(zhǎng)軸長(zhǎng)即可得出答案；

（2）設(shè)。（石方）,。（天,必），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得％+々，中2,再根據(jù)

s“=jKE||yf|=J（x+y2）2-4yj2，分析運(yùn)算從而可得出答案.

（1）

解：由題意可知AA。鳥(niǎo)為等腰直角三角形，|。6|=c,

CC)

則A292)f

511

2,

所以從=1,

又因橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2&,即2〃=20，

所以“2=2，

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+>2=1；

2

⑵

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

解：設(shè)(?(%,%),￡)(孫力)，

X2

5+y2=1

聯(lián)立y^(2k2+1]x2+4k2x+2k2-2=0,

y=Z(x+1)

-4k22k2-2

則辦+當(dāng)2F7T,X|X2=2F7T,

所以Sgc。=g歸用E-必|=J(x+yj-4yM

=:兇,+々+2)}―4公(工[%2+%+/+1)

令r=2Z2+1,貝!JM=-?-,/G[3,5],

因?yàn)椤癧3,5],

所以《，除乎

rrrlc「44行

所以％--.

21.(1)〃X)的單調(diào)減區(qū)間為(Od),單調(diào)增區(qū)間為(e2,+8)；

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

(2)詳見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)由題可得尸(x)=lnx+2-2,結(jié)合條件可得a=0,進(jìn)而可得/'(x)=lnx-2,然后利

用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即得；

(2)令g(x)=xlnx+“-2x,分類(lèi)討論利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)OVa<e時(shí)，

f(x)存在極值，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的極小值，結(jié)合條件即證.

(1)

/(x)=(x+6z)lnx-3x+8(6Z>0),定義域?yàn)?0,?)，

/./7x)=lnx+--2,

x

選①，由/(X)在(IJ(l))處的切線與直線x-2y-2=o垂直，

；?/'(1)=々-2=-2,故〃=0,

所以/(x)=xlnx—3x+8J'(x)=lnx-2,

由r(x)=0,可得X=e2,

所以當(dāng)x?0,e2)時(shí)，r(x)<0,當(dāng)“€仔,+8)時(shí),/(x)>0,

故函數(shù)〃x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,/),單調(diào)增區(qū)間為付,+8)；

選②，f'(x\=InxH---2,令矛=€,可得Inen----2=—1,即a=0,

xe

所以/(x)=xlnx—3x+8,/'(x)=lnx-2,

由/'(x)=0,可得x=e2,

所以當(dāng)x?0,e2)時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)4付,+8)時(shí),/(x)>0,

故函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間為(0，/),單調(diào)增區(qū)間為?,+8)；

(2)

由上可知/(x)=Inx+}2=*M2%>0),

令g(x)=xlnx+a-2x,則g'(x)=lnx-l,

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

由g'(x)=O,可得x=e,

當(dāng)0<x<e時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>e時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以8(力2“=8傘)=。一6，

當(dāng)a*e時(shí)，g(x)>g(e)=O,/'(x)20,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，/(x)沒(méi)有極值，

當(dāng)OVa<e時(shí)，g(e)<0,且8電)=心0,

因?yàn)閤Ne,故g(x)有唯一的零點(diǎn)％,且XoC(e,e)，

由g(%)=0可得/111%+4-2%=0,即％In%=2%-a,

當(dāng)e<x<xO時(shí)，g(x)<0,/'(x)<0,當(dāng)x>x。時(shí)，g(x)>0,f'(x)>0,

所以f(x)在(e,x())上單調(diào)遞減，在(%,+oo)上單調(diào)遞增，

故f(x)在x=x0處取得極小值，

/(3)=(%+a)ln%-3Ao+8=