相似整章復(fù)習(xí)(教師版)

相似整章復(fù)習(xí)【常考題型及輔助線添加】1．已知a2=b3=c4，abcA．12 B．35 C．42．若2a＝3b，則ab的值為（DA．23 B．25 C．533．下列四組線段中，不成比例線段的是（C）A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cm C．2cm，12cm，12cm，4cm D．2cm，5cm，25cm，54．四條線段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，則a＝（A）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm5．已知線段a＝2，線段b＝8，線段c是a和b的比例中項(xiàng)，則c等于（B）A．2 B．4 C．±4 D．86．已知線段a＝2，b＝3，線段c是a、b的比例中項(xiàng)，那么c等于．7．已知線段AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則PA的長(zhǎng)為（A）A．25-2 B．6﹣2√5 C．5-128．點(diǎn)P是長(zhǎng)度為1的線段上的黃金分割點(diǎn)，則較短線段的長(zhǎng)度為（C）A．5-12 B．3-5 C．3-9．如圖，已知線段AB，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，并在垂線上取BC=12AB；連接AC，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)D；再以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)P，則APABA．5-12 B．5+12 C．10．一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比是黃金比，書(shū)的寬為14cm，則它的長(zhǎng)為（B）cm．A．75-7 B．75+7 C．21﹣75 D．711．如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F．已知ABBC=32，則A．32 B．23 C．2512．如圖，在橫格作業(yè)紙（橫線等距）上畫(huà)一條直線，與橫格線交于A，B，C三點(diǎn)，則BC：AC等于（C）A．2：3 B．2：5 C．3：4 D．3：513．下列命題中正確的是（D）A．所有等腰三角形都相似 B．兩邊成比例的兩個(gè)等腰三角形相似 C．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似 D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似14．如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②AEAB=DEBC；③ADAC=AEA．①② B．②③ C．①③ D．①②③15．如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個(gè)條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（C）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．ABAD=BC16．給出4個(gè)命題：①三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似；④一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似，其中正確的命題是（A）A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④17．如圖，由下列條件不能判定△ABC與△ADE相似的是（C）A．AEAD=ACAB B．∠B＝∠ADE C．AEAC18．如圖，D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，BD=43，AB＝3，（1）△BCD與△BAC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【相似】（2）若CD=53，求AC的長(zhǎng)．【19．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則BECE的值是（AA．33 B．32 C．1 20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC，AD＝1，BD＝2，那么AEAC的值為（BA．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：321．已知CD是Rt△ABC斜邊上的高，則下列各式中不正確的是（D）A．BC2＝BD?AB B．CD2＝BD?AD C．AC2＝AD?AB D．BC?AD＝AC?BD22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AC＝43，AD＝6，則AB的值為（C）A．10 B．103 C．8 D．8323．如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB＝6，BC＝9，則圖中線段的長(zhǎng)BD＝4，AD＝，AC＝．24．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，則EF的長(zhǎng)是（C）A．4 B．5 C．13 D．1525．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，若CD＝2，AC＝6，且△CDB∽△CBA，則BC的值為（B）A．3 B．23 C．6 D．1226．如圖，∠ABC＝∠CDB＝90°，BC＝3，AC＝5，如果△ABC與△CDB相似，那么BD的長(zhǎng)（D）A．125 B．154 C．95 D．27．如圖，AB?AE＝AD?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△ADE．28．如圖，BD、CE是△ABC的高，△ADE與△ABC相似嗎？為什么？29．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）△ABD與△CBE相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）△ABC與△DBE相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．30．若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積之比為4：25，則△ABC與△DEF周長(zhǎng)之比為（B）A．4：25 B．2：5 C．5：2 D．25：431．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DEBC=23，△ADE的面積是8，則四邊形A．10 B．18 C．8 D．432．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是邊AD上的一點(diǎn)，射線CF和BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，如果S△EAFS△EBC=1A．13 B．14 C．1933．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是邊AD上的一點(diǎn)，射線CF和BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，如果C△EAFC△CDF=1A．12 B．13 C．1434．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，則S△ABC為（D）A．9 B．12 C．24 D．2735．如圖，已知AB、CD、EF互相平行，且AB＝1，CD＝4，那么EF的長(zhǎng)是（D）A．13 B．23 C．3436．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，在下面的比例式中，正確的有（D）①ADDB=BFFC；②ADDB=DEBC；③ADAB=A．①③ B．①②③ C．④⑤⑥ D．①③⑤37．如圖矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，F(xiàn)E交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若△AFE的面積為2，則△BCF的面積等于（A）A．8 B．4 C．2 D．138．如圖矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若△AFE的面積為2，則四邊形CDEF的面積等于（A）A．10 B．8 C．6 D．439．如圖，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝2：1，且BF＝2．則DF的長(zhǎng)為（D）A．4 B．3 C．4 D．640．如圖，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，則DF的長(zhǎng)為（D）A．53 B．73 C．10341．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE＝2CE，連接AE交BD于F，若BD＝10，則BF的長(zhǎng)為（C）A．2 B．3 C．4 D．642．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，M為AD中點(diǎn)，連接OM、CM，且CM交BD于點(diǎn)N，ND＝1．（1）證明：△MNO～△CND；（2）求BD的長(zhǎng)．【3】43．如圖：已知?ABCD，過(guò)點(diǎn)A的直線交BC的延長(zhǎng)線于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的長(zhǎng)；【1】（2）證明：AF2＝FG×FE．44．如圖1，△ABC的兩條中線BD、CE交于點(diǎn)F．（1）DFBF=（2）如圖2，若BE2＝EF?EC，且BEDF=32，EF=6，求（3）如圖3，已知BC＝4，∠BAC＝60°，當(dāng)點(diǎn)A在直線BC的上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出CE的最大值．【】45．△ABC的周長(zhǎng)為41cm，邊BC＝17cm，角平分線AD將△ABC分為面積比為3：5的兩部分，且AB＜AC，那么AB＝9，AC＝15．46．如圖，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，則AE與EC的比值是（D）A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：547．如圖，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置邊長(zhǎng)分別為3，4，x的三個(gè)正方形，則x的值為（C）A．5 B．6 C．7 D．1248．如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面積是6，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．49．如圖，小明為了測(cè)量一涼亭的高度AB（頂端A到水平地面BD的距離），在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階BC等高的臺(tái)階DE（DE＝BC＝0.5米，A、B、C三點(diǎn)共線），把一面鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)G處，測(cè)得CG＝15米，然后沿直線CG后退到點(diǎn)E處，這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃，測(cè)得EG＝3米，小明身高1.6米，則涼亭的高度AB約為（8.5）50．身高1.6米的小明利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖，當(dāng)他站在點(diǎn)C處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合在點(diǎn)A處，測(cè)量得到AC＝2米，CB＝18米，則旗桿的高度是（C）A．8米 B．14.4米 C．16米 D．20米51．如圖，小明周末晚上陪父母在錦江綠道上散步，他由燈下A處前進(jìn)4米到達(dá)B處時(shí)，測(cè)得影子BC長(zhǎng)為1米，已知小明身高1.6米，他若繼續(xù)往前走4米到達(dá)D處，此時(shí)影子DE長(zhǎng)為2米．52．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊CB的延長(zhǎng)線上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB?EC．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）延長(zhǎng)DB、AE交于點(diǎn)F，若AF＝AC，求證：AE＝BF．【隱含反A】53．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，內(nèi)部有6個(gè)全等的正方形，小正方形的頂點(diǎn)E、F、G、H分別落在邊AD、AB、BC、CD上，則DE的長(zhǎng)為2．54．如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AB＝15，BM＝8，則DE的長(zhǎng)為．55．如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E為AD中點(diǎn)，CF⊥BE，垂足為G，交BC邊于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為．56．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE＝3ED，DF＝CF，則AGGF的值是（C43 B．54 C．6557．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，AE：AD＝1：4，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，則AF：CF的值為（C）A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：758．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E．若AC＝6，BC＝8，則DEAD的最大值為（BA．12 B．13 C．3459．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)，D分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，且滿足AEEB=AFFC=13A．12 B．13 C．1460．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，E，F(xiàn)，D分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，且滿足AEEB=AFFC=13．若AB＝3，AC61．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△OAB放大，則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（C）A．（﹣2，﹣4） B．（4，2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）62．如圖，△ABC與△DFE是位似圖形，且位似中心為O，OB：OF＝2：1，若線段AC＝6，則線段DE為（D）A．2 B．4 C．6 D．363．已知點(diǎn)A（0，4），B（3，4），以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB縮短為原來(lái)的13，得到線段CD，其中點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)．則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為（CA．1 B．43 C．1或﹣1 D．4364．如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，兩個(gè)三角形是位似圖形，則它們的位似中心是（B）點(diǎn)O B．點(diǎn)P C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N65．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某點(diǎn)為位似中心，作出△AOB的位似△CDE，則位似中心的坐標(biāo)為（2，2）．66．如圖，△AOB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（5，0），O（0，0），B（3，6），以點(diǎn)O為位似中心，相似比為23，將△AOB縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（2，4）或（﹣2，﹣4）67．如圖，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原點(diǎn)O為位似中心，畫(huà)出一個(gè)三角形，使它與△ABO的相似比為12如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，我們把以格點(diǎn)間連線為邊的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形，圖中的△ABC就是格點(diǎn)三角形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，在坐標(biāo)系的方格紙中畫(huà)出△A1B1C1的圖形并直接寫(xiě)出點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（﹣9，﹣1）．（2）把△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△A2B2C，在坐標(biāo)系的方格紙中畫(huà)出△A2B2C的圖形并直接寫(xiě)出點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（5，5）．（3）在現(xiàn)有坐標(biāo)系的方格紙中把△ABC以點(diǎn)A為位似中心放大，使放大前后對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比為1：2，畫(huà)出△AB3C3．69．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC與△DEF的面積比為1：9，則AB：DE的值為（A）A．1：3 B．1：2 C．1：3 D．1：970．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA：OD＝1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（C）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【挑戰(zhàn)雙8及旋轉(zhuǎn)相似】71.【閱讀理解】小白同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DE、AC交于點(diǎn)F，DE＝EF，AB＝5，求AE的長(zhǎng)．小白的想法是：過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，再通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得到AE、BE的比，從而得出AE的長(zhǎng)，請(qǐng)你按照小白的思路完成解答．【解決問(wèn)題】請(qǐng)借助小白的解題經(jīng)驗(yàn)，完成下面問(wèn)題：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E為AB邊上一點(diǎn)，AE＝AD，H、Q為BC上兩點(diǎn)，CQ＝DH，DQ＝mDH，G為AC上一點(diǎn)，連接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并驗(yàn)證EP與GH的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：【閱讀理解】如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C，∴△FEH∽△FDC，∴EHDC∵DE＝EF，∴EHDC∵BD＝DC，∴EHBC同理得：△AEH∽△ABC，∴AEAB∵AB＝5，∴AE=5【解決問(wèn)題】猜想：EPGH如圖2，過(guò)D作DM∥GH，交AC于M，∴∠CMD＝∠CGH，∠CDM＝∠CHG，∴△CDM∽△CHG，∴CDCH設(shè)DH＝CQ＝x，則DQ＝mx，∴DMGH∵AD平分∠BAC，∴∠EAP＝∠DAM，∵∠EFG+∠EAD＝180°，∴∠AEP+∠ANF＝180°，∵GH∥DM，∴∠ADM+∠DNG＝∠ADM+∠ANF＝180°，∴∠ADM＝∠AFP，∵AE＝AD，∴△AEP≌△ADM，∴EP＝DM，∴EPGH【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形綜合題，涉及到了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．72.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=mn，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則DEDF=（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則DEDF=（用含m，②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC=5，BC＝25，DF＝42，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE【解答】解：（1）當(dāng)m＝n時(shí)，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADDC=AC（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADDC∴DE②成立．如圖，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADDC∴DEDF（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵DEDF=ACBC=12在Rt△DEF中，DE＝22，DF＝42，∴EF＝210，①當(dāng)E在線段AC上時(shí)，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（5-CE），EF＝210根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（5-CE）]2∴CE＝25，或CE=-255（舍）而AC②當(dāng)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（5+CE），EF＝210根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（5+CE）]2∴CE=255，或CE③如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE-5），EF＝210根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE-5）]2∴CE＝25，或CE=-255（舍）即：CE＝25或【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點(diǎn)【相似與圓的綜合】一．解答題（共15小題）1．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中點(diǎn)，到點(diǎn)O的距離等于12BC的所有點(diǎn)組成的圖形記為G，圖形G與AB交于點(diǎn)D（1）補(bǔ)全圖形并求線段AD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)E是線段AC上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，直線ED與圖形G有且只有一個(gè)交點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；連接CD，∵BC為直徑，∴∠ADC＝∠BDC＝90°；∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB；∴ACAB∴AD=3（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與⊙O相切；證明：連接OD，∵DE是Rt△ADC的中線；∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD；∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD；∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；∴ED⊥OD，∴ED與⊙O相切．2．如圖，AB是⊙O的直徑，PB，PC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C．連接PO交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AC．（1）求證：OE=12（2）若⊙O的半徑為5，AC＝6，求PB的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）∵PB，PC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO．∴PO⊥BC，BE＝CE．∵OB＝OA，∴OE=12（2）∵PB是⊙O的切線，∴∠OBP＝90°．由（1）可得∠BEO＝90°，OE=12∴∠OBP＝∠BEO＝90°．∴tan∠BOE=BE在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝5，∴BE＝4．∴PB=203．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是對(duì)角線．點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠CED＝∠BAC．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的長(zhǎng)．【解答】解：（1）相切．理由是：連接BD，如圖1．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，即點(diǎn)O在BD上．∴∠BCD＝90°．∴∠CED+∠CDE＝90°．∵∠CED＝∠BAC．又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°．∴DE⊥OD于點(diǎn)D．∴DE是⊙O的切線．（2）如圖2，BD與AC交于點(diǎn)H，∵DE∥AC，∴∠BHC＝∠BDE＝90°．∴BD⊥AC．∴AH＝CH．∴BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．∵∠FAD＝∠FCB＝90°，∠F＝∠F，∴△FAD∽△FCB．∴ADCB∴CF＝2AF．設(shè)AF＝x，則DF＝CF﹣CD＝2x﹣2．在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴（2x﹣2）2＝22+x2．解得：x1=83，x∴AF=84．如圖，AB是⊙O的直徑，直線MC與⊙O相切于點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)A作MC的垂線，垂足為D，線段AD與⊙O相交于點(diǎn)E．（1）求證：AC是∠DAB的平分線；（2）若AB＝10，AC＝45，求AE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OC，∵直線MC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分線；（2）解：連接BC，連接BE交OC于點(diǎn)F，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝45，∴BC=AB2∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F(xiàn)為線段BE中點(diǎn)，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴CFBC=BC解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O為直徑AB中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE中點(diǎn)，∴AE＝2OF＝6．5．在平面內(nèi)，O為線段AB的中點(diǎn)，所有到點(diǎn)O的距離等于OA的點(diǎn)組成圖形W．取OA的中點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交圖形W于點(diǎn)D，D在直線AB的上方，連接AD，BD．（1）求∠ABD的度數(shù)；（2）若點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上，且∠ADE＝∠ABD，求直線DE與圖形W的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）根據(jù)題意，圖形W為以O(shè)為圓心，OA為直徑的圓．如圖1，連接OD，∴OA＝OD．∵點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等邊三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如圖2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．∴直線DE與圖形W的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．6．如圖，點(diǎn)O為∠ABC的邊BC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，到點(diǎn)O的距離等于線段OM的長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成圖形W．圖形W與射線BC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)）．（1）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，如果BE＝2，sin∠ABC=23，求（2）將射線BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線BD，使得∠CBD+∠MOB＝90°，判斷射線BD與圖形W公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明．【解答】（1）解：∵到點(diǎn)O的距離等于線段OM的長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成圖形W，∴圖形W是以O(shè)為圓心，OM的長(zhǎng)為半徑的圓．根據(jù)題意補(bǔ)全圖形：∵OM⊥AB于點(diǎn)M，∴∠BMO＝90°．在△BMO中，sin∠ABC=OM∴BO=3∵BE＝2，∴BO=2+OE=3解得：OM＝OE＝4．∴BO＝6．在Rt△△BOM中，BM2+OM2＝BO2，∴BM=25∵S∴4×25解得：MH=4（2）解：1個(gè)．證明：過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BD于點(diǎn)N，∵∠CBD+∠MOB＝90°，且∠ABC+∠MOB＝90°，∴∠CBD＝∠ABC．∴OM＝ON．∴BD為⊙O的切線．∴射線BD與圖形W的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．7．如圖，B是⊙O的半徑OA上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)B作OA的垂線交⊙O于點(diǎn)C，D，連接OD．E是⊙O上一點(diǎn)，CE=CA，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，連接OE并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)（1）①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：∠OFC＝∠ODC；（2）連接FB，若B是OA的中點(diǎn)，⊙O的半徑是4，求FB的長(zhǎng)．【解答】解：（1）①依題意補(bǔ)全圖形，如圖1；②證明：連接OC，如圖1，∵半徑OA⊥CD，∴∠OBD＝90°，AC=∵AC=∴CE=∴∠COE＝∠AOD，∵CF是⊙O的切線，OC是半徑，∴∠OCF＝90°，∴∠OFC＝∠ODC；（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OD于點(diǎn)G，如圖2．∵B是OA的中點(diǎn)，OA＝4，∴OB＝2．∴在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，∴∠DOB＝60°，∵AD=∴∠EOC＝∠AOC＝∠DOA＝60°，∴∠EOD＝180°．即點(diǎn)D，O，E在同一條直線上，在Rt△OCF中，OC＝4，可得OF＝8，在Rt△OGB中，OB＝2，可得OG＝1，BG=3∴FG＝OF+OG＝9，在Rt△BGF中，由勾股定理可得FB=FG28．如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，2），B（4，4）．（1）尺規(guī)作圖：求作過(guò)A，B，O三點(diǎn)的圓；（2）設(shè)過(guò)A，B，O三點(diǎn)的圓的圓心為M，利用網(wǎng)格，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若直線x＝a與⊙M相交，直接寫(xiě)出a的取值范圍．【解答】解：（1）如圖即為所要求作的過(guò)A，B，O三點(diǎn)的圓；作OA和OB的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心，作圓即可．（2）觀察圖形，由（1）可知點(diǎn)為M的坐標(biāo)為（1，3）；（3）∵A（﹣2，2），M（1，3），∴r＝AM＝BM=(-2-1∴當(dāng)a＝1-10或1+10時(shí)，直線x＝a與⊙∴當(dāng)1-10＜a＜1+10時(shí)，直線x＝a與9．已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且E為CD中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線交弦AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）連結(jié)BC，若⊙O的半徑為2，tan∠BCD=34，求線段【解答】（1）證明：∵⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且E為CD中點(diǎn)，∴AB⊥CD，∠AED＝90°，∵CD∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直徑，∴BF是⊙O的切線；（2）解：連接BD，∴∠BCD＝∠BAD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵tan∠BCD＝tan∠BAD=3∴BDAD∴設(shè)BD＝3x，AD＝4x，∴AB＝5x，∵⊙O的半徑為2，AB＝4，∴5x＝4，x=4∴AD＝4x=1610．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝60°，高AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，BC＝6，AD＝5．（1）求⊙O的半徑；（2）求DE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，作直徑BF，連接CF，∴∠BCF＝90°，∵∠F＝∠BAC＝60°，∴BF=BCsinF=∴⊙O的半徑為23（2）如圖，過(guò)O作OG⊥AD于G，OH⊥BC于H，∴GE＝GA，四邊形OHDG是矩形，∴OH＝DG，∵OB=23，∠FBC∴OH=3∴DG=3∴AG＝AD﹣GD＝5-3∴EG＝5-3∴DE＝EG﹣GD=5-311．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，連接CD交OB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CF＝EF．（1）求證：FC是⊙O的切線；（2）若CF＝5，tanA=12，求⊙【解答】（1）證明：如圖，連接OD．∵點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵tanA=1∴在Rt△ABC中，BCAC∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴BFCF∴AF＝10，∴CF2＝BF?AF．∴BF=5∴AO=AF-BF12．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AD平分∠BAC，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形（尺規(guī)作圖，保留痕跡）；（2）判斷并證明：直線DE與⊙O的位置關(guān)系；（3）若AB＝10，BC＝8，求CE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖即為補(bǔ)全的圖形．（2）直線DE是⊙O的切線．理由如下：證明：連結(jié)OD，交BC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴CD=∴OD⊥BC于F．∵DE∥BC，∴OD⊥DE于D．∴直線DE是⊙O的切線．（3）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝6．∵∠BOF＝∠ACB＝90°，∴OD∥AC．∵O是AB中點(diǎn)，∴OF=1∵OD=1∴DF＝2．∵D