人教版八年級數(shù)學(xué)下冊《第十六章二次根式》專題復(fù)習(xí)附帶答案

第頁人教版八年級數(shù)學(xué)下冊《第十六章二次根式》專題復(fù)習(xí)(附帶答案）【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識梳理】1.二次根式的定義形如（a≥0）的式子叫做二次根式“”稱為二次根號；判斷一個式子是二次根式需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).2.二次根式有無意義的條件：

（1）如果一個式子中含有多個二次根式那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．

（2）如果所給式子中含有分母則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外還必須保證分母不為零．3.二次根式的性質(zhì)：（1）（雙重非負(fù)性）．（2）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．應(yīng)用：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（3）（4）=·（a≥0b≥0）（5）=（a≥0b>0）4.二次根式的化簡：（1）二次根式化簡的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．（2）最簡二次根式的條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．5.二次根式的運(yùn)算：（1）二次根式的乘法·＝．（a≥0b≥0）文字語言：二次根式與二次根式相乘等于各個被開數(shù)的積的算術(shù)平方根.推廣：（2）二次根式的除法：=（a≥0b>0）文字語言：二次根式與二次根式相乘等于各個被開數(shù)的商的算術(shù)平方根.（3）二次根式的加減：二次根式相加減先把各個二次根式化成最簡二次根式再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并合并方法為系數(shù)相加減根式不變．

二次根式的加減步驟：

①如果有括號根據(jù)去括號法則去掉括號．

②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．

③合并被開方數(shù)相同的二次根式．

6.二次根式的混合運(yùn)算：（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．①與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算一致運(yùn)算順序先乘方再乘除最后加減有括號的先算括號里面的．

②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個單項(xiàng)式多個不同類的二次根式的和可以看作多項(xiàng)式．

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式或整式．

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中如能結(jié)合題目特點(diǎn)靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑往往能事半功倍．7.二次根式的應(yīng)用：把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系感受所學(xué)知識的整體性不斷豐富解決問題的策略提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．【典例剖析】&【變式訓(xùn)練】考點(diǎn)1二次根式的定義1．（2022春?會東縣校級月考）下列各式中是二次根式的有（）（1）6；（2）3.14?π；（3）x2+1；（4）3?27；（5）x2+2x+2；（6）|x|A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【分析】二次根式的條件有三個：①含有根號②根指數(shù)是2③被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)三個條件缺一不可．按照此定義逐個排查即可．【詳解】（1）6（3）x2+1（5）x2+2x+2（6）（2）3.14?π（8）11+2x(x＜?112)被開方數(shù)小于0（7）?2(2x?1)2的被開方數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)它無意義（4）3?27共有4個二次根式．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義滿足二次根式的條件有三個：①含有根號②根指數(shù)是2③被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)三個條件缺一不可．【變式訓(xùn)練】【變式1.1】（2022秋?德惠市期末）下列各式是二次根式的是（）A．2 B．m C．?16 D．3【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)否則二次根式無意義逐一判斷．【詳解】A、2＞0一定成立被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)故選項(xiàng)正確；B、當(dāng)m＜0時(shí)二次根式無意義故選項(xiàng)錯誤；C、被開方數(shù)為負(fù)數(shù)二次根式無意義故選項(xiàng)錯誤；D、是三次根式故選項(xiàng)錯誤．故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)否則二次根式無意義．【變式1.2】（2022春?利州區(qū)校級月考）已知下列各式：?12x?3a2+30A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次根式的根指數(shù)是2且被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)解答即可．【詳解】x?3中當(dāng)x＜3時(shí)被開方數(shù)小于0不是二次根式；?12a2+3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的定義掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵．注意二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【變式1.3】（2022秋?高陵區(qū)期中）二次根式a中a的最小值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【分析】根據(jù)二次根式的定義即可求出答案．【詳解】由題意可得a≥0∴二次根式a中a的最小值為0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義理解二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)2二次根式的有意義的條件【例2】（2022秋?新華區(qū)校級期末）代數(shù)式x?2x+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義則xA．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件即可求出x的范圍．【詳解】由題意可知：x?2≥0x+2≠0解得：x≥2∴x的值可能為2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件熟練掌握是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式2.1】（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）要使二次根式5x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義則x的取值范圍是（）A．x=25 B．x≠25 C．x≥【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得5x﹣2≥0再解不等式即可．【詳解】由題意得：5x﹣2≥0解得：x≥2故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【變式2.2】（2022秋?雙牌縣期末）當(dāng)x＝2時(shí)下列各式中沒有意義的是（）A．x?2 B．2?x C．x2?2 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)被開方數(shù)大于或等于0即可求解．【詳解】A、當(dāng)x＝2時(shí)x?2=0B、當(dāng)x＝2時(shí)2?x=0C、當(dāng)x＝2時(shí)x2?2D、當(dāng)x＝2時(shí)2﹣x2＝﹣2＜0沒有意義．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)否則二次根式無意義．【變式2.3】（2022春?利州區(qū)校級月考）若y=x?2?2?x?4則A．﹣2 B．2 C．4 D．6【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得出xy的值再代入x﹣y中即可求解．【詳解】由題意得x?2≥02?x≥0∴2≤x≤2故x＝2∴y＝﹣4∴x﹣y＝2﹣（﹣4）＝6．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)并據(jù)此求出xy的值是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)與化簡【例3】（2022秋?市北區(qū)校級期末）下列各式中正確的是（）A．9=±3 B．x2=x C．3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】A．9=3B．x2=C．3(?x)3D．(?x)2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根、立方根理解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義是正確解答的前提．【變式訓(xùn)練】【變式3.1】（2022秋?海港區(qū)期末）若(x?3)2=x?3則A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3【分析】根據(jù)題意可知x﹣3≥0直接解答即可．【詳解】∵(x?3)2即x﹣3≥0解得x≥3故選：B．【點(diǎn)睛】考查二次根式的性質(zhì)與化簡掌握二次根式的化簡方法是解題的關(guān)鍵．【變式3.2】（2020秋?彌勒市校級月考）當(dāng)x=?34時(shí)A．34 B．?34 C．±3【分析】根據(jù)a2=|a|【詳解】當(dāng)x=?34時(shí)x2=|x|＝|故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡二次根式的定義熟練掌握a2=|【變式3.3】（2022秋?安岳縣期末）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示則化簡：|a?2|+(a?4)A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6【分析】根據(jù)數(shù)軸先確定a﹣2、a﹣4的正負(fù)然后再去絕對值、根號合并同類項(xiàng)即可解決問題．【詳解】根據(jù)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置得知：2＜a＜4即：﹣2＞0a﹣4＜0故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸及二次根式、絕對值的化簡關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸得出a﹣2與a﹣4的正負(fù)情況．考點(diǎn)4最簡二次根式與同類二次根式【例4】（2022秋?漳州期末）下列各式中屬于最簡二次根式的是（）A．3 B．4 C．12 D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．【詳解】A、3屬于最簡二次根式故本選項(xiàng)符合題意；B、4=2不屬于最簡二次根式C、12=2D、8=22不屬于最簡二次根式故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式4.1】（2022秋?婁底期末）下列根式不是最簡二次根式的是（）A．a(chǎn)+1 B．2x?1 C．2b4 D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【詳解】A.a+1是最簡二次根式故A不符合題意；B.2x?1是最簡二次根式故B不符合題意；C.2b4是最簡二次根式故CD.y10=10y10不是最簡二次根式故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4.2】（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）下列二次根式中能與2合并的是（）A．12 B．12 C．20 D．【分析】先化簡二次根式根據(jù)同類二次根式的定義即可得出答案．【詳解】A．12=23不能與2合并B．12=22能與C．20=25不能與2合并D．9=3不能與2合并故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式二次根式的性質(zhì)與化簡掌握一般地把幾個二次根式化為最簡二次根式后如果它們的被開方數(shù)相同就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式4.3】（2022?天津模擬）若8與最簡二次根式m+1能合并則m的值為（）A．7 B．9 C．2 D．1【分析】先將8化簡為最簡二次根式再根據(jù)最簡二次根式的定義即可得．【詳解】8=22∵22與最簡二次根式∴m+1＝2解得m＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式、二次根式的化簡熟練掌握最簡二次根式的概念是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)5二次根式的乘除【例5】計(jì)算：（1）2532（2）36a【分析】（1）先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算然后化簡二次根式；（2）先進(jìn)行根號下的加法運(yùn)算然后進(jìn)行化簡．【詳解】（1）原式=?4（2）原式=36(【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則以及二次根式的化簡．【變式訓(xùn)練】【變式5.1】．計(jì)算：（1）3224（2）1321【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則求解即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則求解即可．【詳解】（1）原式＝36×2＝123；（2）原式=199×（﹣2=?29x【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則．【變式5.2】計(jì)算（1）45÷（﹣51（2）2a2b2c5÷（ab2c【分析】（1）先進(jìn)行二次根式的化簡然后求解即可；（2）先進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算然后化簡求解．【詳解】（1）原式＝﹣45×（2）原式=2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法掌握二次根式的乘法法則和除法法則以及二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵．【變式5.3】計(jì)算：（1）212÷3（2）5bab3×【分析】（1）利用二次根式乘除運(yùn)算法則進(jìn)而化簡即可；（2）利用二次根式乘除運(yùn)算法則進(jìn)而化簡即可．【詳解】（1）212÷3=1352=?5=?5=?5（2）5bab3=5b×（?=?6＝﹣6aab．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算法則正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)6二次根式的加減【例6】．計(jì)算：（1）5+（2）38（3）23【分析】原式各項(xiàng)化為最簡二次根式合并即可得到結(jié)果．【詳解】（1）原式=5+25?（2）原式＝62+62?52=（3）原式＝2x+3x?2x=【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的加減法熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式6.1】計(jì)算：（1）22+3（2）8（3）16x（4）48?913+【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出即可；（2）首先化簡二次根式再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出即可；（3）首先化簡二次根式再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出即可；（4）首先化簡二次根式再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出即可．【詳解】（1）22+32=5（2）8+18=22+3（3）16x+64x=4x+8（4）48?913+312=43?9×【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算正確把握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式6.2】計(jì)算下列各式：（1）5（2）12（3）27a（4）23【分析】先將二次根式化為最簡然后合并同類二次根式即可．【詳解】（1）原式=5?=?2（2）原式＝23?2=4（3）原式＝33a=11（4）原式＝2xx+6xy+＝xx+7xy【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．【變式6.3】若a、b為有理數(shù)且8+18+18【分析】首先化簡各式進(jìn)而得出ab的值即可得出答案．【詳解】∵8+∴22+32+24=∴a＝0b=21∴ba＝（214）0【點(diǎn)睛】此題主要二次根式的化簡求值以及乘方運(yùn)算正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)7二次根式的混合運(yùn)算【例7】（2022秋?歷城區(qū)期末）計(jì)算：（1）|?22（2）(5【分析】（1）先根據(jù)絕對值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算然后把4化簡后合并即可；（2）根據(jù)平方差公式和完全平凡的公式計(jì)算．【詳解】（1）原式＝22?13=2（2）原式＝5﹣9﹣（3﹣23+＝﹣4﹣4+23＝23?【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式7.1】（2023?義烏市校級開學(xué)）計(jì)算：（1）|3（2）(32【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義以及零指數(shù)冪的意義即可求出答案．（2）根據(jù)平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．【詳解】（1）原式＝2?3＝2?3＝﹣2?3（2）原式＝（18﹣12）﹣（2﹣46+＝6﹣（14﹣46）＝6﹣14+46＝﹣8+46．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算解題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用平方差公式以及完全平方公式、絕對值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義以及零指數(shù)冪的意義本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式7.2】（2022秋?深圳期末）計(jì)算：（1）28?（2）12+|（3）(3【分析】（1）先把28化簡然后合并即可；（2）先根據(jù)零指數(shù)冪和絕對值的意義計(jì)算然后合并即可；（3）先利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算然后合并即可．【詳解】（1）原式＝27=7（2）原式＝23+2?=3（3）原式＝3﹣2﹣（5﹣25+＝1﹣5+25?＝25?【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則、零指數(shù)冪是解決問題的關(guān)鍵．【變式7.3】（2022秋?高新區(qū)校級期末）計(jì)算：（1）(48（2）48+【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】（1）原式＝43+25?＝23+35（2）原式＝43+3?1×30+8+4＝53?＝11+46+53【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則本題屬于基礎(chǔ)題型．考點(diǎn)8二次根式的化簡求值【例8】（2022秋?天元區(qū)校級期末）已知a＝4﹣23b＝4+23．（1）求aba﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則和二次根式的減法法則求出即可；（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）代入后根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）∵a＝4﹣23b＝4+23∴ab＝（4﹣23）×（4+23）＝42﹣（23）2＝16﹣12＝4；a﹣b＝（4﹣23）﹣（4+23）＝4﹣23?4﹣2＝﹣43；（2）由（1）知：ab＝4a﹣b＝﹣43所以2a2+2b2﹣a2b+ab2＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）＝2×[（﹣43）2+2×4]﹣4×（﹣43）＝2×（48+8）+163＝2×56+163＝112+163．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值和乘法公式能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式8.1】（2022春?高昌區(qū)月考）已知x=6+2（1）求x﹣y的值；（2）求x2+2xy+y2的值．【分析】（1）直接將x、y的值代入進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行化簡后再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）x?y=6（2）x2+2xy+y2＝（x+y）2=(6=(26＝24．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算及完全平方公式解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．【變式8.2】（2022春?殷都區(qū)校級月考）已知a=5+2b=5?2求a2+ab【分析】由a=5+2b=5?2易得a+b＝25ab＝1再變形a2+ab+b2得到（a+b）2﹣ab然后把a(bǔ)+b＝2【詳解】∵a=5+2b=∴a+b＝25ab＝1∴a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝（25）2﹣1＝20﹣1＝19．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值：先根據(jù)已知條件把所求的代數(shù)式變形然后利用整體的思想求值．【變式8.3】（2022秋?永年區(qū)期末）已知x=17?5（1）xy；（2）x2+3xy+y2．【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】（1）xy=1=1=1（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝（17?5＝（7+5+＝（7）2+＝7+＝712【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡求值分母有理化解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．考點(diǎn)9二次根式的應(yīng)用【例9】（2020春?韓城市期末）如圖有一張邊長為63cm的正方形紙板現(xiàn)將該紙板的四個角剪掉制作一個有底無蓋的長方體盒子剪掉的四個角是面積相等的小正方形此小正方形的邊長為3cm．求：（1）剪掉四個角后制作長方體盒子的紙板的面積；（2）長方體盒子的體積．【分析】（1）直接利用總面積減去周圍正方形面積進(jìn)而得出答案；（2）直接利用長方體的體積公式得出答案．【詳解】（1）制作長方體盒子的紙板的面積為：（63）2﹣4×（3）2＝108﹣12＝96（cm2）；（2）長方體盒子的體積：（63?23）（63?23＝43×4＝483（cm3）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用正確掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式9.1】（2022春?亭湖區(qū)校級月考）據(jù)研究高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）加高度h（單位：m）近似滿足公式t=?（1）求從40m高空拋物到落地時(shí)間；（2）已知高空墜物動能w（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m）某質(zhì)量為0.1kg的玩具被拋出后經(jīng)過4s后落在地上這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人嗎？請說明理由（注：傷害無防護(hù)人體只需要65J的動能）．【分析】（1）把40m代入公式即可；（2）求出h代入動能計(jì)算公式即可求出．【詳解】（1）由題意知h＝40m∴t=405=8=2故從40m高空拋物到落地時(shí)間為22s；（2）這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人理由：當(dāng)t＝4s時(shí)4=?∴h＝80m這個玩具產(chǎn)生的動能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J∴這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用通過具體情境考查二次根式理解公式正確運(yùn)算代入求值是解決本題的關(guān)鍵．【變式9.2】（2021春?羅山縣期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．12+13＞212×13；6+3＞26×3；1+（2）由（1）中各式猜想a+b與2ab（a≥0b≥0）的大小并說明理由．（3）請利用上述結(jié)論解決下面問題：某同學(xué)在做一個面積為1800cm2對角線相互垂直的四邊形風(fēng)箏時(shí)求用來做對角線的竹條至少要多少厘米？【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的非負(fù)性進(jìn)行變形可得結(jié)論；（2）直接利用完全平方公式的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)對角線互相垂直的四邊形面積＝相互垂直的對角線乘積的一半并綜合利用（2）的結(jié)論得出答案即可．【詳解】（1）∵(12∴12?2∴12+1同理得：6+3＞26×3；1+15＞21×故答案為：＞＞＞＝；（2）猜想：a+b≥2ab（a≥0b≥0）理由是：∵a≥0b≥0∴a+b﹣2ab=（a?b）∴a+b≥2ab；（3）設(shè)AC＝aBD＝b由題意得：12ab=∴ab＝3600∵a+b≥2ab∴a+b≥23600∴a+b≥120∴用來做對角線的竹條至少要120厘米．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的實(shí)際應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．【變式9.3】（2022秋?橋西區(qū)期中）交通警察通常根據(jù)剎車后車輪劃過的距離估計(jì)車輛行駛的速度所依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16df其中v表示車速（單位：km/h）d表示剎車后車輪劃過的距離（單位：m）f表示摩擦系數(shù)在某次交通事故調(diào)查中測得d＝20mf＝1.2．（1）求肇事汽車的速度；（2）若此路段限速70km/h請通過計(jì)算判斷肇事汽車是否超速？【分析】（1）直接用題目中速度公式和計(jì)算即可求出；（2）比較兩個速度的大小即可．【詳解】（1）當(dāng)d＝20mf＝1.2時(shí)v＝1620×1.2=326（km/h）答：肇事汽車的速度是326km/h；（2）v＝326≈78＞70∴肇事汽車已經(jīng)超速．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用能正確求出v的值是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)10二次根式與探究材料題【例10】（2021春?泗陽縣期末）在解決問題“已知a=12+3求2a2﹣8a∵a=1∴a﹣2=?3∴（a﹣2）2＝3a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝﹣1．請你根據(jù)小明的分析過程解答下列問題：（1）化簡：23（2）化簡：13（3）若a=12①12a2﹣a②2a2﹣5a2+1的值．【分析】（1）（2）將原式分母有理化后得到規(guī)律利用規(guī)律求解；（3）將a分母有理化得a=2+1移項(xiàng)并平方得到a2﹣2a＝1【詳解】（1）23（2）原式=12（=12（2021=2021（3）∵a=1∴a﹣1=2∴a2﹣2a+1＝2∴a2﹣2a＝1①1=12（a2﹣2=1=?1②2a2﹣5a2+1＝﹣3a2+1＝﹣3(2＝﹣3（2+22+＝﹣9﹣62+＝﹣8?62【點(diǎn)睛】本題主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代數(shù)式的變形變形各式后利用a2﹣2a＝1是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式10.1】（2019春?沭陽縣期末）小明在學(xué)習(xí)二次根式后發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方如：3+22=(1+2設(shè)a+