第一節(jié)　空間幾何體的結構特征及表面積與體積

第七章

|立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結構特征及表面積與體積1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.3.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.1．多面體的結構特征2.正棱柱、正棱錐的結構特征正棱柱側棱

底面的棱柱叫做直棱柱，底面是

的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是

，側棱垂直于底面，側面是矩形正棱錐底面是

，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫_________垂直于正多邊形正多邊形正多邊形正四面體3.旋轉體的結構特征4.平面圖形的直觀圖的斜二測畫法的規(guī)則建系原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為

，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．規(guī)則原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍

；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度

；平行于y軸的線段在直觀圖中___________________45°或135°平行于坐標軸不變長度變?yōu)樵瓉淼囊话?．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式6.柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積1.(人教A版必修第二冊P106·T8改編)如圖，若長方體ABCD-A′B′C′D′中截去體積較小的一部分，其中EH∥B′C′∥FG，則剩下的幾何體是

(

)A．棱臺

B．四棱柱C．五棱柱

D．六棱柱答案：C2．(人教A版必修第二冊P105·T4改編)下列幾何體是棱臺的是

(

)答案：D3．(蘇教版必修第二冊P147·T2改編)如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為

(

)A．一個球體B．一個球體中間挖出一個圓柱C．一個圓柱D．一個球體中間挖去一個長方體答案：B4．(湘教版必修第二冊P187·例5改編)已知四面體ABCD的各面均為等邊三角形，且棱長為2，則該四面體的表面積為________．5．(北師大版必修第二冊P244·T2改編)某小區(qū)修建一個圓臺形的花臺，它的兩底面半徑分別為1m和2m，高為1m，則需要________m3的土才能把花臺填滿．層級一/基礎點——自練通關(省時間)基礎點(一)空間幾何體的結構特征

[題點全訓]1．下列說法中，正確的個數(shù)是

(

)①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐；②過球面上任意兩點只能作球的一個大圓；③三棱錐的四個面都可以是直角三角形；④梯形的直觀圖可以是平行四邊形．A．1 B．2C．3 D．4解析：對于①，如兩個同底的三棱錐構成的六面體，不是三棱錐，故錯誤；對于②，球面上任意兩點與球心共線時，可以作球的無數(shù)個大圓，故錯誤；對于③，一條側棱垂直于底面直角三角形的一個銳角頂點的三棱錐滿足題意，故正確；對于④，作直觀圖時，平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度減半，故錯誤．故選A.答案：A

2．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；③圓錐的所有軸截面都是全等的等腰三角形；④圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中，面積最大的一個；⑤有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體為棱錐．其中正確命題的個數(shù)是

(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：①只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線，故①不正確；②只有平行于圓錐底面的平面截圓錐時，才能得到一個圓錐和一個圓臺，故②不正確；③正確；④因為圓錐的母線長一定，根據(jù)三角形面積公式知，過圓錐頂點的截面中，兩條母線的夾角的正弦值越大，截面面積就越大，所以當軸截面中兩條母線的夾角為鈍角時，軸截面的面積就不是最大的，故④不正確；如圖幾何體是由兩個四棱錐組成的幾何體，滿足有一個面是多邊形，其余各面是三角形，但不是棱錐，故⑤不正確．故選B.答案：B

[一“點”就過]空間幾何體結構特征的判定方法定義法緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進行判定反例法通過反例對結構特征進行辨析，要說明一個結論是錯誤的，只需舉出一個反例即可[一“點”就過]斜二測畫法中的“三變”與“三不變”層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)空間幾何體的表面積

[典例]

(1)“抽陀螺”是中國傳統(tǒng)民俗體育游戲，也是很多人兒時美好的童年記憶，陀螺一般為木制的圓錐和圓柱的組合體，上大下尖，將尖頭著地，以繩繞之，然后抽打，使其旋轉．如圖是一個陀螺的幾何體，由圖中所給數(shù)據(jù)，得該幾何體的表面積為

(

)(2)(2022·大慶一模)已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，點P在平面ABCD上的射影為AD的中點O.若AB＝2，AD＝6，PO＝4，則四棱錐P-ABCD的表面積等于

(

)[方法技巧]求空間幾何體的表面積的方法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積2．在三棱錐A-BCD中，△ABC和△BCD都是邊長為2的等邊三角形，則當此三棱錐的表面積最大時，AD＝________.[方法技巧]當所給幾何體是常見的柱、錐、臺等規(guī)則的幾何體時，可以直接利用公式進行求解．方法2割補法求體積[例2]如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為____．[方法技巧]把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積．一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，特別是三棱錐的體積．[針對訓練]1.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，某園林建筑為四角攢尖，它主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，若這個正四棱錐的棱長均為2，則該正四棱錐的體積為

(

)3．(2021·全國甲卷)已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側面積為________．[方法技巧]通常利用空間幾何體的表面展開圖解決以下問題：(1)求幾何體的表面積或側面積；(2)求幾何體表面上任意兩個點的最短表面距離．不能選取恰當?shù)淖宰兞壳蠼庾钪?、范圍問題——————————————————————————————————解決立體幾何中的表面積、體積的最值與范圍問題，關鍵是找到變量，列出關系式，然后利用函數(shù)、基本不等式、導數(shù)等方法求出其最值或范圍，有的幾何體也可根據(jù)其結構特征，先確定表面積及體積的表達式中的常量與變量，然后利用幾何知識判斷變量什么情況下取得最值，從而確定表面積與體積的最值．2．已知圓錐的側面展開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為________．2.(混淆幾何體的表面積與側面積)如圖所示的某糧倉(糧倉的底部位于地面上)是由圓柱和圓錐構成的，若圓柱的高是圓錐高的2倍，且圓錐的母線長是4，側面積是4π，則制作這樣一個糧倉的用料面積為

(

)3．(幾何體形狀不確定時，忽視分類討論致誤)圓柱的側面展開圖是邊長分別為6π和4π的矩形，則圓柱的體積是________．二、融會貫通應用創(chuàng)新題5.(跨學科綜合命題)六氟化硫，化學式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結構為正八面體結構(正八面體是每個面都是正三角形的八面體)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點．若相鄰兩個氟原子間的距離為2a，則六氟化硫分