函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性知識回顧（1）函數(shù)的定義

（2）函數(shù)的單調(diào)性問題探究探究一偶函數(shù)、奇函數(shù)的概念生成●活動①觀察函數(shù),圖象,探求對稱關(guān)系本質(zhì)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱第一,如何取點？不妨先取部分特殊點（整數(shù)點方便計算如下表:可以發(fā)現(xiàn):(x，y)為坐標的整數(shù)點位于函數(shù)圖象上,且這些整數(shù)點在圖象上的位置是關(guān)于y軸對稱.問題探究第二,如何驗證？這些整數(shù)點關(guān)于y軸對稱,從“形”上觀察:對折后“重合”,即點與點對折后合為一個點.因此在坐標系中這些點不是孤立的,是成對出現(xiàn)的,而且它們的相對位置“遠近高低”相同一致.“遠近”相同,是指點與y軸的距離,即橫坐標的絕對值|x|相等.“高低”一致,高度相等,是指點與x軸的距離,即縱坐標的絕對值|y|相等.從“數(shù)”上分析:由表中數(shù)據(jù),“遠近”相同時,相應(yīng)整數(shù)點橫坐標是互為相反數(shù);“高低”一致時,相應(yīng)整數(shù)點縱坐標是相等的.第三,嚴謹性.

我們可以驗證:在圖象上任取一點A(xA，yA)時,圖象上有一個點B(xB，yB)與之對應(yīng),當AB兩點的坐標滿足xA+xB=0且yA=yB時,它們對折之后才能重合.由A的任意性,確定了相對應(yīng)點B的任意性,只有這樣我們才能說整個函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

當AB兩點投影到x軸時,

xA,xB的取值范圍就是函數(shù)的定義域,其相互制約關(guān)系xA+xB=0,也說明了定義域也有對稱關(guān)系,即定義域關(guān)于原點對稱.由以上探究發(fā)現(xiàn),在圖象上任意取兩個點AB,若它們的坐標滿足xA+xB=0且yA=yB（兩點任意、橫相反、縱相等）,就可以說該圖象關(guān)于y軸對稱,我們稱這類函數(shù)為偶函數(shù).●活動②偶函數(shù)概念的生成圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)，反之亦成立.函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.一般地,函數(shù)f（x）定義域I,都有時,那么稱y=f（x）為偶函數(shù).偶函數(shù)的定義如下：反之成立嗎？●活動③奇函數(shù)的概念生成請同學(xué)們觀察函數(shù),圖象,完成下面兩個函數(shù)值對應(yīng)表在圖象上任取一點A(xA，yA)時,圖象上有一個點B(xB，yB)與之對應(yīng),當AB兩點的坐標滿足xA+xB=0且yA+yB=0時,它們對折之后才能重合.由點A的任意性,確定了相對應(yīng)點B的任意性,只有這樣我們才能說整個函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.當AB兩點投影到x軸時,

xA，xB的取值范圍就是函數(shù)的定義域,其相互制約關(guān)系xA+xB=0,也說明了定義域也有對稱關(guān)系,即定義域關(guān)于原點對稱,yA+yB=0也說明了值域也有對稱關(guān)系,即值域關(guān)于原點對稱.我們在圖象上任意取兩個點,若它們的坐標滿足xA+xB=0且yA+yB=0（兩點任意、橫相反、縱相反）,就可以說該圖象關(guān)于原點對稱,我們稱這類函數(shù)為奇函數(shù).由偶函數(shù)定義,及“兩點任意、橫相反、縱相反”的原則,能否定義奇函數(shù).一般地,函數(shù)f（x）定義域I,都有時,那么稱y=f（x）為奇函數(shù).奇函數(shù)的定義如下：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.（1）奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱（2）圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)（3）奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱（4）定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)√√√×●活動④奇偶函數(shù)的判定第一,圖象法.若圖像關(guān)于y軸對稱,我們稱之為偶函數(shù),否則該函數(shù)不是偶函數(shù);若圖像關(guān)于原點對稱,我們稱之為奇函數(shù),否則該函數(shù)不是偶函數(shù);分類:奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)（簡稱非奇非偶函數(shù)）.第二,定義法.首先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱,若不對稱,則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù);若對稱,再判斷f（x）與f（-x）關(guān)系:如果,則該函數(shù)為偶函數(shù).如果,則該函數(shù)為奇函數(shù).探究二:函數(shù)奇偶性的判斷.●活動①定義法判斷函數(shù)奇偶性.例1判斷下列函數(shù)的奇偶性,并說明理由.（1）（2）【解題過程】解：（1）函數(shù)的定義域{1}不關(guān)于原點對稱.∴f（x）為非奇非偶函數(shù)（2）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.∴

f（x）為偶函數(shù)●活動②定義法、圖象法判斷函數(shù)奇偶性.例2:判斷函數(shù)的奇偶性.解：的定義域關(guān)于原點對稱.【思路點撥】定義法、用圖象法當時,

當時,

綜上所述,,f(x)奇函數(shù).●活動③利用性質(zhì)法判斷函數(shù)奇偶性.對于兩個函數(shù)在定義域關(guān)于原點對稱的情形下,函數(shù)的奇偶性質(zhì)偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇（偶）數(shù)個奇函數(shù)的積、商（分母不為零）仍為奇（偶）函數(shù);一個奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù)例3判斷函數(shù)奇偶性.探究三:函數(shù)綜合問題●活動①奇偶函數(shù)圖象問題例4如圖所示為偶函數(shù)y=f(x)的局部圖象,試比較f(1)與f(3)的大?。舅悸伏c撥】利用奇偶性，找出另一區(qū)間的圖象【解題過程】解：作y=f(x)在x∈[-3,-1]的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象．由圖象知●活動②函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例5若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x＜0時,,求函數(shù)f(x)的解析式．解：f(x)是定義在R上的奇函數(shù),,.當時,,．∴函數(shù)f(x)的解析式為.●活動③函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合的應(yīng)用例6設(shè)定義在[-2，2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減,若,求實數(shù)m的取值范圍．解：

f(x)在[-2,2]上的奇函數(shù),且在[0，2]上單調(diào)遞減

【思路點撥】例7設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),且對任意x、y∈R都有

（1）求f(0),并證明f(x)在R上是奇函數(shù).（2）若f(1)=2,解關(guān)于x的不等式.【解題過程】（1）解：令x=y,得f(0)=0，令x=0,對任意的實數(shù)y有

f(x)=在R上是奇函數(shù).例7設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),且對任意x、y∈