彈性地基中高柔性抗震拼接頭樁的臨界載荷和穩(wěn)定性分析

彈性地基中高柔性抗震拼接頭樁的臨界載荷和穩(wěn)定性分析

在過去的地震中，尤其是1995年的神宮地震中，我們可以看到各種破壞模式，例如振動響應(yīng)、液化和運動，這些模式也可以觀察到。這些破壞模式往往是在地震中因液化導(dǎo)致的橫向地面移動、慣性力的影響或者強烈地震運動過程中的橫向地面移動造成的。但是人們發(fā)現(xiàn),如果樁的柔韌性更好一些,則它們會抵抗更強的地震橫向運動。從這種觀點出發(fā),最近幾年Miyasaka、Miura等人研究了因地震液化導(dǎo)致的橫向地面移動對樁基礎(chǔ)及其動力學(xué)行為的影響。他們發(fā)展了一種用于樁基礎(chǔ)中抵抗因地震運動引起的最終破壞的能量耗散裝置,即高柔韌性抗震接頭樁——HighDuctilityAseismaticJointsplicedPile(HDAJ拼接頭樁)。HDAJ接頭樁的結(jié)構(gòu)形狀示于圖1中。這種接頭結(jié)構(gòu)由三個主要部分組成,即樁的上端和下端均能適應(yīng)的圓槽,一個沿環(huán)向分開為幾塊的圓柱形內(nèi)環(huán)和一個圓柱形外環(huán)。從分析和設(shè)計樁基礎(chǔ)的概念和方法為出發(fā)點,一個實用的簡化設(shè)想是HDAJ接頭樁基礎(chǔ)被埋置在彈性土中或者其他適當(dāng)?shù)膸r土中,且樁周土對樁基礎(chǔ)的作用可用分布式的彈性彈簧表示或者具有粘性的彈簧表示?；谶@種想法,本文給出了一個分析HDAJ接頭樁基礎(chǔ)穩(wěn)定性的非線性數(shù)學(xué)模型,然后對該模型進行了線性化,并求得了無量綱化參數(shù)表示的臨界載荷,并由此討論了HDAJ接頭樁在臨界載荷處的穩(wěn)定性,得到了一些有用的結(jié)論。研究結(jié)果表明HDAJ接頭樁在臨界載荷處必發(fā)生分叉,(即,平衡構(gòu)形必然發(fā)生改變),且分叉解是唯一的,穩(wěn)定的,并給出了分叉解的漸近表達式。同時考察了土的液化對臨界載荷的影響,說明液化的影響是非常明顯的。1改造樁基非線性穩(wěn)定性控制方程為了便于分析和計算,我們采用弧坐標(biāo)。假定HDAJ接頭樁只有一個接頭,其位置在s*∈(0,l)處,并假定HDAJ接頭樁沒有初始位移。這樣可以認為樁基在初始時刻,即未承受附加的軸向載荷P前,所占區(qū)域Γ0可表示為Γ0:{(x,y)|x=s,y=0,0≤s≤l}式中s∈[0,l]是樁基沿軸向的坐標(biāo),l是樁的長度(圖2)。設(shè)q(s)是土的反作用力,并假設(shè)樁基在s=l處受到軸向外力P的作用。這樣樁基在初始構(gòu)形Γ0中的任意一點C(s,0)將移動到點C′(s+ui(s),wi(s))處,即變形后樁基所占的區(qū)域為式中ui(s)和wi(s)分別為x-和y-軸方向的位移。假定土對樁基的反作用力q服從Winkler模型,即q(s)=kwi(s)式中k是彈簧系數(shù)且有k=kHD,kH是土反作用系數(shù),D是樁的直徑。為了便于分析,假定樁的兩端都是簡單支承,這樣HDAJ接頭樁基非線性穩(wěn)定性分析的數(shù)學(xué)模型給定如下。其中,控制方程為EIθue0871+Pw″1+kw1=0,u′1=cosθ1-1,w′1=sinθ10≤s≤s*(1)EIθue0872+Pw″2+kw2=0,u′2=cosθ2-1,w′2=sinθ2s*≤s≤l(2)邊界條件為u1(0)=w1(0)=0,θ′1(0)=0,w2(l)=0,θ′2(l)=0(3)接頭處的條件為u1(s*)=u2(s*),w1(s*)=w2(s*),θ′1(s*)=θ′2(s*),θ?1(s*)=θ?2(s*)θ1(s*)=θ2(s*)+δθ′1(s*)(4)式中,θi(s)是C′點處切線和x-軸的夾角,EI是樁的彎曲剛度,δ>0是接頭處的彈簧剛度系數(shù),()′表示對弧坐標(biāo)s的導(dǎo)數(shù)。引入無量綱參數(shù)和變換t=sl,Wi=wil,Ui=uil,θi=θi,λ=Ρl2EΙ,α=kl4EΙ(5)將(5)代入方程和條件(1)-(4),則無量綱形式的非線性數(shù)學(xué)模型可表示為U′1=cosθ1-1,W′1=sinθ1,θue0871+λW″1+αW1=0,0≤t≤t*(6)θue0871+λW″1+αW1=0,W′2=sinθ2,θue0872+λW″2+αW2=0,t*≤t≤1(7)U1(0)=W1(0)=0,θ′1(0)=0,W2(1)=0,θ′2(1)=0(8)U1(t*)=U2(t*),W1(t*)=W2(t*),θ′1(t*)=θ′2(t*),θ″1(t*)=θ″2(t*),θ1(t*)=θ2(t*)+δθ′1(t*)(9)式中,(?)′=d(?)dt。下面,我們將根據(jù)非線性邊值問題(6)-(9)來討論HDAJ接頭樁的穩(wěn)定性。2接頭處的條件注意到對任意的λ,問題(6)-(9)有平凡解Uit=Wit=θit=0,它表示HDAJ接頭樁的未變形狀態(tài)。根據(jù)文獻和,為了分析HDAJ接頭樁的穩(wěn)定性,首先需要計算問題(6)-(9)在平凡解Uit=Wit=θit=0處的線性化問題的特征值。將非線性問題(6)-(9)在平凡解Uit=Wit=θit=0處線性化,得到如下的線性邊值問題:u′11=0,w′11=θ11,θue08711+λw″11+αw11=0,0≤t≤t*(10)u′21=0,w′21=θ21,θue08721+λw″21+αw21=0,t*≤t≤1(11)u11(0)=w11(0)=0,θ′11(0)=0,w21(1)=0,θ′21(1)=0(12)u11(t*)=u21(t*),w11(t*)=w21(t*),θ′11(t*)=θ′21(t*),θ″11(t*)=θ″21(t*),θ11(t*)=θ21(t*)+δθ′11(t*)(13)根據(jù)方程(10)a和(11)a,邊界條件u11(0)=0和接頭處的條件u11(t*)=u21(t*),不難看到u11=0及u21=0。將(10)b和(11)b分別代入方程(10)c和(11)c以及(12)和(13),得到如下的邊值問題:w(4)11+λw″11+αw11=00≤t≤t*(14)w(4)21+λw″21+αw21=0t*≤t≤1(15)w11(0)=w″11(0)=w21(1)=w″21(1)=0(16)w11(t*)=w21(t*),w?11(t*)=w?21(t*)w′11(t*)=w′21(t*)+δw?11(t*),w?11(t*)=w?21(t*)(17)為了使得問題(14)-(17)的解在物理上有意義,不失一般性,我們假定λ2>4α,并且設(shè)ξ1=(λ+√λ2-4α)/2,ξ2=(λ-√λ2-4α)/2?(ξ1>0,ξ2>0,ξ1≠ξ2)。這樣我們得到線性邊值問題(14)-(17)的通解w11(t)=C1cos√ξ1t+C2cos√ξ2t+C3sin√ξ1t+C4sin√ξ2t(18)w21(t)=C5cos√ξ1(1-t)+C6cos√ξ2(1-t)+C7sin√ξ1(1-t)+C8sin√ξ2(1-t)(19)式中Ci是積分常數(shù)。將(18)和(19)代入邊界條件(16)得到Ci=0,i=1,2,5,6,而由接頭處的條件(17)得到Ci,i=3,4,7,8滿足的齊次代數(shù)方程[A]{C}=[A11A12A13A14A21A22A23A24A31A32A33A34A41A42A43A44]{C3C4C7C8}={0000}(20)式中系數(shù)Aij容易根據(jù)接頭處的連接條件(17)和通解(18)-(19)得到,為了節(jié)省篇幅,這里略去了它們的表達式。為使方程(20)存在非零解Ci≠0,當(dāng)且僅當(dāng)方程(20)的系數(shù)行列式等于零,即det|A|=0(21)稱方程(21)為特征方程。根據(jù)方程(21)及ξ1,ξ2和λ的關(guān)系,容易得到線性化問題(10)-(13)的特征值λ*為λ*=ξim+αξim=λm(i=1,2,m=1,2,?)(22)式中ξim(i=1or2),(m=1,2,…)是方程(21)的根,并且它們是可排的ξi1≤ξi2≤ξi3≤…≤ξim≤…令其中的最小者為λcr=min{λm}(23)則λcr稱為樁基的臨界載荷,并有關(guān)系liml→∞Ρcr(l)=2√EΙk(24)該式表明HDAJ接頭樁的臨界載荷隨其長度的增加趨于一個常數(shù)2√EΙΚ,同時表明,當(dāng)沒有土的作用時(即k=0)?liml→∞Ρcr(l)=0。因此如果λ*是線性化問題(10)-(13)的特征值,則線性化問題(10)-(13)至少有一組不為零的解,即相應(yīng)的特征向量u11=0,w11=sinξt,θ11=βcosξt(25)u21=0,w21=asinξ(1-t),θ21=-aξcosξ(1-t)(26)式中,a={-sinξ(1-t*)/sinξt*ξ≠rncosξ(1-t*)/cosξt*ξ=rnξ=(λ+√λ2-4α2)12(27)rn=qπt*,qπ(1-t*),q=1,2,?關(guān)于HDAJ接頭樁的臨界載荷及其與各種參數(shù)的關(guān)系已經(jīng)在中進行了詳細的研究,這里著重討論HDAJ接頭樁的非線性穩(wěn)定性。3非線性邊值問題下面我們討論處非線性邊值問題(6)-(9)的非平凡解。假設(shè)非平凡解有如下形式Ui=εui2,Wi=εwi1+εwi2,θi=εθi1+εθi2λ=λ*+λ2(ε)(28)式中wi1和θi1由方程(25)(26)給出,ε是小參數(shù),定義為ε=(∫t*0W1w11dt+∫1t*W2w21dt)/(∫t*0w211dt+∫1t*w221dt)(29)因此有∫t*0w12w11dt+∫1t*w22w21dt=0(30)將(28)代入非線性邊值問題(6)-(9)中,得到關(guān)于ui2(t),wi2(t),θi2(t)和λ2的邊值問題u′12=-ε(θ11+θ12)22+o(ε3),w′12=θ12-ε2(θ11+θ12)36+o(ε3),θue08712+λ*w″12+αw12+λ2[w″11+w″12]=00≤t≤t*(31)u′22=-ε(θ21+θ22)22+o(ε3),w′22=θ22-ε2(θ21+θ22)36+o(ε3),θue08722+λ*w″22+αw22+λ2[w″21+w″22]=0t*≤t≤1(32)u12(0)=w12(0)=0,θ′12(0)=0,w22(1)=0,θ′22(1)=0(33)u12(t*)=u22(t*),w12(t*)=w22(t*),θ′12(t*)=θ′22(t*),θ″12(t*)=θ″22(t*),θ12(t*)=θ22(t*)+δθ′12(t*)(34)對任意的ε,如能得到滿足如下關(guān)系limε→0ui2(t;ε)=limε→0wi2(t;ε)=0,limε→0θi2(t;ε)=limε→0λ2(ε)=0(35)的唯一解ui2(t),wi2(t),θi2(t)和λ2,則(28)即為非線性邊值問題(6)-(9)在λ=λ*的非平凡解。實際上,容易看到當(dāng)ε=0時,邊值問題(31)-(34)有平凡解ui2=wi2=θi2=λ2=0。因此,根據(jù)常微分方程的理論,要證明邊值問題(31)-(34)有滿足條件(35)的唯一解,只要證明ε=0不是邊值問題(31)-(34)在平凡解ui2=wi2=θi2=λ2=0處線性化問題的特征值就可以了,即要證明以下線性化問題只有零解u′13=0,w′13=θ13,θue08713+λ*w″13+αw13+λ3w″13=00≤t≤t*(36)u′23=0,w′23=θ23,θue08723+λ*w″23+αw23+λ3w″23=0t*≤t≤1(37)u13(0)=w13(0)=0,θ′13(0)=0,w23(1)=0,θ′23(1)=0(38)u13(t*)=u23(t*),w13(t*)=w23(t*),θ′13(t*)=θ′23(t*),θ″13(t*)=θ″23(t*),θ13(t*)=θ23(t*)+δθ′13(t*)(39)假定ui3,wi3,θi3和λ3是線性化問題(36)-(39)的解,則顯然ui3≡0。在方程(36)和(37)c的兩邊乘以wi1,并對t積分,得到∫t*0{w(4)13+λ*w″13+αw13}w11dt+λ3∫t*0w″11w11dt+∫1t*{w(4)23+λ*w″23+αw23}w21dt+λ3∫1t*w″21w21dt=0注意到∫t*0{w(4)13+λ*w″13+αw13}w11dt+∫1t*{w(4)23+λ*w″23+αw23}w21dt=∫t*0{w(4)11+λ*w″11+αw11}w13dt+∫1t*{w(4)21+λ*w″21+αw21}w23dt=0和∫t*0w″11w11dt+∫1t*w″21w21dt≠0可得到λ3=0。這樣wi3也是線性化問題(10)-(13)的解,即wi3=0,θi3=0。這樣,我們證明了邊值問題(31)-(34)有滿足條件(35)唯一解,即證明了非線性邊值問題(6)-(9)在λ=λ*有非平凡解。因此,如果λ*是線性化問題(10)-(13)的特征值,則非線性邊值問題(6)-(9)的平凡解在λ=λ*處必發(fā)生分支,且分支解是唯一的,具有形式(28)。物理上,這表示HDAJ接頭樁在λ=λ*的平衡構(gòu)形必然發(fā)生改變?，F(xiàn)在,我們尋求分支解的漸近表達式。設(shè)ui2=εui21+ε2ui22+o(ε3),wi2=εwi21+ε2wi22+o(ε3),θi2=εθi21+ε2θi22+o(ε3),λ2=ελ21+ε2λ22+o(ε3)(40)將(40)代入邊值問題(31)-(34)中,并比較ε同次冪的系數(shù),容易得到ui21,ui22,wi22,wi21,ui21,ui22,wi21,θi21,θi22和λ21λ22滿足的微分方程、邊界條件、連接條件以及約束條件。并且也不難證明λ21=wi21=θi21=ui22=0,λ22>0(41)因此,漸近表達式(40)中,非零的量為wi22,θi22,ui21,它們可以通過數(shù)值方法得到相應(yīng)的數(shù)值解。由上所述,我們得到了非線性邊值問題(6)-(9)在λ=λ*處的分支解的漸近表達式Ui=ε2ui21+o(ε4),Wi=εwi1+ε