1.1集合的概念學案(教師版)-高一上學期數學人教A版

1.1集合的概念【學習目標】1.了解集合的含義，掌握集合中元素的三大特性；2.掌握元素與集合的關系，并能用符號表示；3.掌握集合的常用表示方法.【教材知識梳理】一．元素與集合的相關概念1.元素：一般地，把統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母表示．2.集合：一些組成的總體，簡稱，常用大寫拉丁字母表示．3.集合相等：指構成兩個集合的元素是的．4.集合中元素的特性：、和．解讀：(1)確定性：是指作為一個集合的元素必須是明確的，如給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素是確定的．(2)互異性：對于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素．(3)無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的．如1，2，3與3，2，1構成的集合是同一個集合．二．元素與集合的關系1.屬于：如果a是集合A的元素，就說，記作.2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說，記作.三．常見的數集及表示符號數集非負整數集(自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號四．集合的表示方法1.列舉法：把集合的所有元素_________________，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法；2.描述法：設是一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為__________________.具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或）變化范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.【答案】一．1.研究對象a，b，c…2.元素集A，B，C…3.一樣4.確定性互異性無序性二．1.a屬于集合Aa∈A2.a不屬于集合Aa?A三.NN*或N＋ZQR四．1.一一列舉出來2.概念辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)（1）某班的所有高個子同學可以組成一個集合．（）（2）分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個集合是相等的．（）（3）由－1,1,1組成的集合中有3個元素．（）（4）集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一個集合．（）（5）集合{x∈N|x3＝x}可用列舉法表示為{－1,0,1}．（）【答案】（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√【教材例題變式】（源于P3例1）例1.用列舉法表示下列集合：滿足不等式的質數組成的集合；（2）一次函數與的圖象的交點組成的集合．【答案】（1）不等式即為，故滿足要求的質數為2、3、5、7，用列舉法表示為.（2）聯立方程組，解得，故圖象的交點為，用列舉法表示為.歸納：使用列舉法表示集合的注意點（1）元素間用“，”分隔開；（2）元素不重復，滿足元素的互異性；（3）對于含有有限個元素且個數較少的集合，采取該方法較合適；若元素個數較多或有無限個且集合中的元素呈現一定的規(guī)律，在不會產生誤解的情況下，也可以列舉出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示.（源于P4例2）例2.用描述法表示下列集合：所有被3整除的整數組成的集合；(2)拋物線上所有點組成的集合；【答案】(1)；(2).【詳解】（1）集合的元素是實數，被3整除的整數可以表示為，，故用描述法表示為；（2）集合的元素為點，其坐標要滿足函數的解析式，故用描述法表示為.歸納：用描述法表示集合時的注意點（1）用描述法表示集合，應先弄清楚集合中元素的屬性，是數集、點集還是其他的類型.一般地，數集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數對來表示其元素.（2）用描述法表示集合時，若描述部分出現元素記號以外的字母，則需對新字母說明其含義或取值范圍.【教材拓展延伸】用符號“”或“”填空：（1）設集合B是小于的所有實數的集合，則______B，______B；（2）設集合D是由滿足方程的有序實數對組成的集合，則－1_____D，_____D．【答案】（1）

（2）

歸納：判斷元素和集合關系的兩種方法(1)直接法：集合中的元素是直接給出的．(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．例4．（1）如果集合中的元素是三角形的邊長，那么這個三角形一定不可能是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形（2）已知集合，，則（

）A． B．或 C． D．【答案】（1）A（2）D【詳解】（1）根據集合元素的互異性可知，該三角形一定不可能是等腰三角形.故選：D.（2）∵，∴或．若，解得或．當時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當時，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．歸納：根據集合中元素的特性求值的步驟，，，分別說出它們的含義.【答案】集合是指函數的自變量取值的集合，即；集合是指函數的所有函數值的集合，即；集合是指函數圖象上所有點的集合，是一個點集.【課外作業(yè)】基礎過關1．下列各組對象不能構成集合的是（

）A．聯合國的常任理事國 B．小于的正整數C．全國著名的高等院校. D．所有的有理數【答案】C【詳解】對于A，常任理事國是確定的，所以能構成集合；對于B，小于的正整數，是確定的，所以能構成集合；對于C，全國著名沒有一個確定的標準，違反了集合中元素的確定性，故不能構成集合；對于D，有理數，是確定的，所以能構成集合；故選：C.2．下列元素與集合的關系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不屬于自然數，故A錯誤；不屬于正整數，故B正確；是無理數，不屬于有理數集，故C錯誤；屬于實數，故D錯誤.故選:B.3．集合，用列舉法可以表示為（

）A．B．C． D．【答案】C【詳解】因為，可得；所以.故選：C4．若，，，則M中元素的個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】根據題意，，故中元素的個數為.故選：C.5．已知集合，，，，，則（

）A．B．C． D．【答案】D【詳解】是單元素集，集合中的元素是，，，，集合中的元素是點，.∴.故選：D.6．（多選）下列正確表示方程組的解集的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】由，解得，所以該方程組的解集為或.故選BD．7．已知集合，如果且，那么________.【答案】或【詳解】因為且，則當，即時，集合，滿足題意；當，即或時，集合或，顯然當時，不滿足題意，時，滿足題意，綜上所述，或.故答案為：或.8．設，，為非零實數，則的所有值所組成的集合為__________.【答案】【詳解】，，為非零實數，當，，時，；當，，中有一個小于時，不妨設，，，；當，，中有兩個小于時，不妨設，，，；當，，時，；的所有值組成的集合為．9．已知集合．(1)若，求實數a的值；(2)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值.【答案】（1）∵，∴，∴；（2）當時，，符合題意；當時，，∴．綜上，或.能力提升10．已知集合，，，若，，則必有（

）A．B．C． D．不屬于集合A、B、C中的任何一個【答案】B【詳解】由題意設，，其中都是整數，則，其中是整數，可以是奇數也可以是偶數，∴，故選：B．11．（多選）已知集合中的元素滿足，其中，，則下列選項中屬于集合的是（

）A．0 B． C． D．【答案】ACD【詳解】當時，，所以，A正確；當時，，C正確；當時，，D正確；因為，，故，，B錯誤.故選：ACD.12．（多選）設非空集合滿足：當x∈S時，有x2∈S.給出如下命題，其中真命題是（

）A．若m=1，則 B．若，則≤n≤1C．若，則 D．若n=1，則【答案】BC【詳解】∵非空集合滿足：當x∈S時，有x2∈S.∴當m∈S時，有m2∈S，即，解得或；同理：當n∈S時，有n2∈S，即，解得.對于A:m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A錯誤；對于B:,必有m2=∈S，故必有，解得，故B正確；對于C:若，有，解得：，故C正確；對于D:若n=1，有，解得：或，故D不正確.故選：BC.13．非空有限數集滿足：若，，則必有，，．則滿足條件且含有兩個元素的數集______．（寫出一個即可）【答案】（或）【詳解】不妨設，由題意得，，，所以，，中必有兩個是相等的.若，則，故，又，或，所以（舍去）或或，此時.若，則，此時，故，此時.若，則，此時，故，此時.綜上，或.14．已知集合有唯一元素，用列舉法表示滿足集合的條件的的取值集合__________．【答案】【詳解】當時，有唯一解；當時，有唯一解；當時，即有唯一解，所以，解得；綜上的取值集合為.故答案為：.15．設集合A由實數構成，且滿足：若（且），則．(1)若，試證明集合A中有元素－1，；(2)判斷集合A中至少有幾個元素，并說明理由；(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的積．【答案】（1）證明：∵，∴．∵，∴．∴集合A中有元素－1，；（2）由題意，可知若（且），則，，，且，，，故集合A中至少有3個元素；（3）由（2）知A中元素的個數為．又集合A是有限集，且，若為奇數，則集合A中所有元素的積為；若為偶數，則集合A中所有元素的積為1．所以集合A中所有元素的積為1或－1．16．設A是實數集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．(1)當時，寫出集合A的生成集B；(2)若A是由5個正實數構成的集合，求其生成集B中元素