人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題7.3 離散型隨機變量及其分布列（重難點題型精講）（原卷版）

專題7.3離散型隨機變量及其分布列（重難點題型精講）1．隨機變量與離散型隨機變量(1)隨機變量

①定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間SKIPIF1<0中的每個樣本點SKIPIF1<0，都有唯一的實數(shù)X(SKIPIF1<0)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量.

②表示：通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.

③隨機變量與函數(shù)的關(guān)系

聯(lián)系：隨機變量與函數(shù)都是一種對應(yīng)關(guān)系，樣本點SKIPIF1<0相當于函數(shù)定義中的自變量，樣本空間SKIPIF1<0相當于函數(shù)的定義域.

區(qū)別：樣本空間SKIPIF1<0不一定是數(shù)集，隨機變量的取值X(SKIPIF1<0)隨著試驗結(jié)果SKIPIF1<0的變化而變化，而函數(shù)是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的一一對應(yīng).

(2)離散型隨機變量

可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，稱為離散型隨機變量.2．離散型隨機變量的分布列(1)定義

一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，我們稱X取每一個值SKIPIF1<0的概率P(X=SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0，i=1，2，SKIPIF1<0，n為X的概率分布列，簡稱分布列.(2)分布列的表格表示分布列也可以用等式形式表示為P(X=SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0，i=1，2，SKIPIF1<0，n，還可以用圖形表示.

(3)離散型隨機變量分布列具有的兩個性質(zhì)

①SKIPIF1<0SKIPIF1<00，i=1，2，SKIPIF1<0，n；

②SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=1.3．兩點分布(1)兩點分布的定義

對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，SKIPIF1<0表示“失敗”，定義X=SKIPIF1<0

如果P(A)=p，則P(SKIPIF1<0)=1-p，那么X的分布列如下表所示.我們稱X服從兩點分布或0—1分布.(2)兩點分布理解

兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能值，且其概率之和為1.可設(shè)任意一個為0，另一個相應(yīng)為1.

【題型1離散型隨機變量】【方法點撥】根據(jù)離散型隨機變量的定義來判斷所給的隨機變量是不是離散型隨機變量.【例1】（2022春·北京·高二期末）下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的為（

）①高速公路上某收費站在半小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X1②一個沿直線y=2x進行隨機運動的質(zhì)點離坐標原點的距離X2③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)X3④某電子元件的壽命X4A．①② B．③④ C．①③ D．②④【變式1-1】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期中）下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在半小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個沿直線y＝2x進行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置η；③某指揮臺5分鐘內(nèi)接到的雷達電話次數(shù)X；④某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；其中是離散型隨機變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【變式1-2】（2022·高二課時練習(xí)）①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X；②某通信公司官方客服一天內(nèi)接聽電話的總次數(shù)為X；③一天之內(nèi)的溫度為X；④一射手對目標進行射擊，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射擊中的得分.上述問題中的X是離散型隨機變量的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式1-3】（2022春·山東·高二階段練習(xí)）下列X是離散型隨機變量的是（

）①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X；②在一段時間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)η；③一天之內(nèi)的溫度X；④一射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【題型2離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)】【方法點撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2022春·山西呂梁·高二期中）設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X?101P11?2qq則q等于（

）A．1 B．12 C．1?2【變式2-1】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期末）隨機變量ξ的分布列如表：則a+b=（

）ξ123Pab1A．14 B．12 C．1【變式2-2】（2022春·西藏林芝·高二期末）已知隨機變量X的分布列如表：（其中a為常數(shù)）X123456P0.10.1a0.30.20.1則P1≤X≤3等于（

【變式2-3】（2022春·河北唐山·高二期末）若隨機變量X的分布列如下表所示，則a的值為（

）X123P0.2a3aA．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【題型3求離散型隨機變量的分布列】【方法點撥】第一步，確定隨機變量X的可能取值SKIPIF1<0；第二步，求出相應(yīng)的概率P(X=SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0；第三步，寫分布列.【例3】（2022·高二課時練習(xí)）甲、乙兩名籃球運動員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.56【變式3-1】（2022·高二課時練習(xí)）下列表中，可以作為某離散型隨機變量的分布列的是（其中0<p<1）（

）A．X123Ppp?12?2pB．X123PpppC．X123Ppp?1?2p+D．X123Pp11?p?【變式3-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列表格中，不是某個隨機變量的分布列的是（

）A．X012P0.70.150.15B．X－2024P0.50.20.30C．X123P－112D．X123Plg1lg2lg5【變式3-3】（2022春·高二課時練習(xí)）一袋中裝5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為()A． B．C． D．【題型4兩點分布】【方法點撥】對于兩點分布的分布列問題，根據(jù)兩點分布的定義及對兩點分布的理解，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且P(X=1)=p,4?5P(X=0)=p，則p=（

）A．23 B．12 C．1【變式4-1】（2022·高二課時練習(xí)）已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且P(X=0)=3?4P(X=1)=a，則a=（

）A．23 B．12 C．1【變式4-2】（2022·高二課時練習(xí)）設(shè)隨機變量X服從兩點分布，若PX=1?PX=0=0.2，則成功概率A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【變式4-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)XB．某射手射擊一次，擊中目標得2分，未擊中目標得0分，射手的得分XC．從裝有5個紅球，3個白球的袋子中取1個球，定義：{X=1}=“取出白球”，{X=0}=“取出紅球”D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X【題型5兩個相關(guān)的隨機變量的分布列問題】【方法點撥】已知隨機變量X的分布列，求隨機變量Y=f(X)的分布列，其關(guān)鍵是弄清X取每一個值時相對應(yīng)的Y的值，若f(X)的取值出現(xiàn)重復(fù)，則需要把它們的相應(yīng)概率相加，所求即為Y的取值概率.【例5】（2022春·河北唐山·高二期末）設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y=X-2，則P(Y=2)等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【變式5-1】（2022·高二課時練習(xí)）已知X，Y均為離散型隨機變量.且X＝2Y，若X的所有可能取值為0，2，4，則Y的所有可能取值為.【變式5-2】（2022·高二課時練習(xí)）已知離散型隨機變量X的分布列PX=k=k15，k=1,2,3,4,5.令Y=2X?2，則P【變式5-3】（2022·高二單元測試）已知隨機變量X的分布列如下：X12345P0.10.20.40.20.1若Y=2X?3，則P(Y=5)的值為.【題型6離散型隨機變量的分布列及其綜合應(yīng)用】【方法點撥】離散型隨機變量的分布列是計數(shù)原理、排列組合、概率與其他知識的綜合.解決此類問題的關(guān)鍵：(1)理清隨機變量的可能取值；(2)理清隨機變量取某些值時對應(yīng)的事件是什么；(3)利用兩個計數(shù)原理及排列、組合的知識求出試驗的樣本空間與所求事件所包含的樣本點數(shù).【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租時間不超過兩小時免費，超過兩個小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）．有甲、乙兩人獨立來該租車點車租騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為14,1(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列．【變式6-1】（2023·全國·高三對口高考）為了解某校學(xué)生上個月A、B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A、B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下表：支付方式支付金額（元）(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機抽取1人，估計該學(xué)生上個月A、B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？并說明理由.【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）首屆以進口為主題的國家級博覽會在中國拉開大幕，本次博覽會包括企業(yè)產(chǎn)品展、國家貿(mào)易投資展．其中企業(yè)產(chǎn)品展分為7個展區(qū)，每個展區(qū)統(tǒng)計了備受關(guān)注百分比，如下表：展區(qū)類型智能及高端裝備消費電子及家電汽車服裝服飾及日用消費品食品及農(nóng)產(chǎn)品醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健服務(wù)貿(mào)易展區(qū)的企業(yè)數(shù)（家）40060706501670300450備受關(guān)注百分比25％20％10％23％18％8％24％備受關(guān)注百分比指：一個展區(qū)中受到所有相關(guān)人士關(guān)注（簡稱備受關(guān)注）的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的企業(yè)數(shù)的比值．(1)從企業(yè)產(chǎn)品展7個展區(qū)的企業(yè)中隨機選取1家，求這家企業(yè)是選自“智能及高端裝備”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率；(2)從“消費電子及家電”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪．記X為這2家企業(yè)中來自于“消費電子及家電”展區(qū)的企業(yè)數(shù)，求隨機變量X的分布列．【變式6-3】（2022秋·北京·高三階段練習(xí)）流行性感冒多由病毒引起，據(jù)調(diào)查，空氣月平均相對濕度過大或過小時，都有利于一些病毒繁殖和傳播．科學(xué)測定，當空氣月平均相對濕度大于65%或小于40第一季