病床轉(zhuǎn)彎問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

PAGEPAGE1病床轉(zhuǎn)彎問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型摘要：當(dāng)病床的長(zhǎng)、寬和走廊寬度三者之間滿足什么條件時(shí)才可把病床平推轉(zhuǎn)過(guò)走廊拐角，這是一類生活中比較常見(jiàn)的問(wèn)題。本文從分析我們通常用來(lái)解決這類問(wèn)題的策略入手，建立起三個(gè)逐步改進(jìn)的數(shù)學(xué)模型，給出了與各種搬運(yùn)策略下可以把病床平推轉(zhuǎn)過(guò)走廊拐角的充分必要條件，圓滿地解決了這類問(wèn)題。一、問(wèn)題的引入如圖-1所示，在醫(yī)院中經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題：需要把病床平推轉(zhuǎn)過(guò)走廊的拐角。在搬運(yùn)笨重的家具和在包裝箱內(nèi)設(shè)備等情況下常常會(huì)遇到類似的問(wèn)題。如果我們能根據(jù)有關(guān)尺寸預(yù)先判斷出能否搬運(yùn)過(guò)走廊拐角，在可以搬運(yùn)過(guò)走廊拐角時(shí)能進(jìn)一步確定應(yīng)當(dāng)采用什麼搬運(yùn)策略，那么我們就可以省去許多不必要的麻煩，避免出現(xiàn)費(fèi)了很大的周折卻最終發(fā)現(xiàn)無(wú)法搬運(yùn)過(guò)走廊拐角的情況。這類問(wèn)題實(shí)際上可以通過(guò)分析走廊寬度為、病床長(zhǎng)度、病床寬度三者之間的關(guān)系來(lái)解決，即歸結(jié)為如下形式的問(wèn)題：已知走廊寬度為，病床長(zhǎng)度和寬度分別為和，當(dāng)、、滿足是么關(guān)系時(shí)可以把病床平推轉(zhuǎn)過(guò)走廊的拐角。二、模型一這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)非常簡(jiǎn)單。先把病床推進(jìn)走廊拐角，使靠拐角一邊的中點(diǎn)恰好頂住拐角，然后轉(zhuǎn)動(dòng)病床，只要病床另外一邊的兩個(gè)角在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中碰不到走廊的墻即可把病床平推轉(zhuǎn)過(guò)拐角。根據(jù)這個(gè)思路，我們得到這個(gè)問(wèn)題的第一個(gè)模型。假設(shè)在轉(zhuǎn)彎過(guò)程中我們的策略是先把病床推進(jìn)走廊拐角，使靠拐角一邊的中點(diǎn)恰好頂住拐角，然后轉(zhuǎn)動(dòng)病床。由于當(dāng)病床寬度超過(guò)走廊寬度時(shí)不可能把病床推進(jìn)走廊，因此假設(shè)。如圖2所示，，。在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中兩點(diǎn)的軌跡是一點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，因此，只要圓弧的半徑不超過(guò)走廊寬度就可以把病床平推過(guò)走廊拐角，即：化簡(jiǎn)得：(1)即：當(dāng)病床的長(zhǎng)度不超過(guò)走廊寬度與病床寬度的平方差的平方根的二倍時(shí)，我們就可以把病床平推轉(zhuǎn)過(guò)走廊拐角。到此，我們似乎已經(jīng)完全解決了這個(gè)問(wèn)題。在下結(jié)論之前，我們來(lái)對(duì)照一下生活中的相似經(jīng)驗(yàn)，看看有沒(méi)有什么遺漏。稍有搬家經(jīng)驗(yàn)的人都知道，在把體積龐大的家俱搬過(guò)走廊拐角時(shí)單靠轉(zhuǎn)動(dòng)往往是的無(wú)法完成的，我們必須采取轉(zhuǎn)動(dòng)與推進(jìn)相結(jié)合的辦法才能把家俱搬過(guò)走廊拐角。那么，采用轉(zhuǎn)動(dòng)與推進(jìn)相結(jié)合轉(zhuǎn)彎策略會(huì)有不同的結(jié)論呢？三、模型二從表面上看，直接求解這個(gè)問(wèn)題似乎不好下手，但是，如果我們換一個(gè)角度來(lái)看問(wèn)題，即把轉(zhuǎn)彎過(guò)程中的病床看作是長(zhǎng)度和寬度都可以變化的活動(dòng)床，那么，只要我們就可以從兩個(gè)角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題：一個(gè)角度是求出當(dāng)床長(zhǎng)度一定時(shí)可以轉(zhuǎn)過(guò)走廊的最小寬度，顯然這個(gè)最小寬度是由走廊寬度和病床長(zhǎng)度確定的；另一個(gè)角度是求出當(dāng)病床寬度一定時(shí)的最小長(zhǎng)度，同樣的道理，這個(gè)最小長(zhǎng)度是由走廊寬度和病床寬度確定的。這樣一來(lái)就可以得到問(wèn)題的答案。那么究竟是從定長(zhǎng)變寬的角度考慮問(wèn)題好還是從定寬變長(zhǎng)的角度來(lái)考慮問(wèn)題好？在圖－3中，從病床的左上角開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较驅(qū)Σ〈驳乃膫€(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)為Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，記在轉(zhuǎn)彎過(guò)程中ＡＢ便于水平走廊的夾角為，延長(zhǎng)ＡＢ邊交水平和垂直的走廊與Ｐ、Ｑ點(diǎn)，記走廊的拐角點(diǎn)為Ｏ。分別作ＯＥ、ＯＦ垂直于水平和垂直的走廊于Ｅ、Ｆ點(diǎn)。從圖－２可以看出，當(dāng)病床的寬度一定時(shí)可以很方便地求出冰床的長(zhǎng)度ＡＢ，但是，當(dāng)病床的長(zhǎng)度一定時(shí)，要計(jì)算病床的寬度就比較麻煩，因此我們從定寬變長(zhǎng)的角度來(lái)考慮問(wèn)題。這樣就得到了這個(gè)問(wèn)題的模型二。假設(shè)：1、在轉(zhuǎn)彎過(guò)程中我們的策略是轉(zhuǎn)動(dòng)與推進(jìn)相結(jié)合；2、在轉(zhuǎn)彎的過(guò)程中，病床的寬度保持不變（顯然）。記當(dāng)病床的ＡＢ邊與水平走廊的夾角為時(shí)，恰好與走廊相抵的病床長(zhǎng)度ＡＢ為（參看圖－２），顯然，故我們只需對(duì)的情況進(jìn)行討論。由圖－２知，，，，并且有如下關(guān)系成立：（，） (2)（）(3)（，）(4)（，）(5)將(3)、(4)、(5)式代入(2)式得（，）(6)只要求出關(guān)于變量的最小值，我們立即可以得到病床可以平推轉(zhuǎn)過(guò)走廊拐角的充分必要條件是：病床長(zhǎng)度。因此，問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)關(guān)于變量的最小值。令得：，，代入(6)式得(7)注意到(7)式中當(dāng)、時(shí)，函數(shù)和均為非負(fù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增知，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)達(dá)到最小值。將代入得病床可以平轉(zhuǎn)過(guò)走廊拐角的充分必要條件是：(8)為了比較模型已和模型二的結(jié)果，(1)、(8)兩式的右邊相除得：(其中)(9)令，這說(shuō)明僅當(dāng)時(shí)，單純轉(zhuǎn)動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)和推動(dòng)相結(jié)合的效果相同。為了進(jìn)一步看清其他情況下兩種方法的效果差異，我們作出函數(shù)()的圖像(圖4)。從圖4可以看出，僅在附近兩種方法的效果基本一致，其余情況下轉(zhuǎn)動(dòng)與推動(dòng)相結(jié)合的效果明顯好于單純的轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在我們是否可以認(rèn)為已經(jīng)解決了這個(gè)問(wèn)題呢？還是不要忙于下結(jié)論，我們先來(lái)看一下當(dāng)時(shí)的圖像(圖5)。從圖5可以看出，當(dāng)時(shí)用轉(zhuǎn)動(dòng)與推動(dòng)相結(jié)合的辦法平推病床過(guò)走廊拐角，病床的長(zhǎng)度竟然只能是走廊寬度的大約0.83倍。如果我們只能用這種辦法平推病床過(guò)走廊拐角，那么我們就不可能把邊長(zhǎng)接近走廊寬度的方形家具（如立柜）搬過(guò)走廊拐角，但是在實(shí)際中我們可以采用只平推而不轉(zhuǎn)動(dòng)的方式把這種家具搬過(guò)拐角，即先把家具的BD邊推到與走廊的QF邊重合然后沿垂直方向平推。注意到病床下安裝的往往是萬(wàn)向輪，我們可以采取同樣的辦法把長(zhǎng)度恰好等于走廊寬度的病床平推過(guò)走廊拐角。發(fā)現(xiàn)新的轉(zhuǎn)彎策略后，需要對(duì)模型而進(jìn)行修改。四、模型三假設(shè)：1、在轉(zhuǎn)彎過(guò)程中我們的策略是或者轉(zhuǎn)動(dòng)與推進(jìn)相結(jié)合、或者指推動(dòng)無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)能使轉(zhuǎn)過(guò)拐角的病床長(zhǎng)度最大來(lái)確定究竟采用哪種辦法；2、在轉(zhuǎn)彎的過(guò)程中，病床的寬度保持不變（顯然）。在模型二中，我們已經(jīng)得到采用轉(zhuǎn)動(dòng)與推進(jìn)相結(jié)合辦法時(shí)病床可以轉(zhuǎn)過(guò)拐角的充分必要要條件是：。解不等式得,換言之，當(dāng)時(shí)，我們采用直推動(dòng)的辦法可以把長(zhǎng)度恰好等于走廊寬度的病床平推過(guò)拐角。綜上所述得可以把病床平推過(guò)拐角的充分必要條件是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),。到此我們終于徹底解決了病床的轉(zhuǎn)彎問(wèn)題。五、對(duì)模型二的進(jìn)一步討論在模型二中，得到關(guān)于變量的最小值，其中，但是，如果我們從的解析表達(dá)式和的意義來(lái)看，變量的取值范圍應(yīng)當(dāng)是。注意到當(dāng)時(shí)函數(shù)也有意義，我們自然要問(wèn)：當(dāng)時(shí)，和的關(guān)系是什么？為此，取，作出的圖像(圖6)。從圖6可以看出當(dāng)時(shí)：1)是函數(shù)的最大值而不是最小值；2)當(dāng)時(shí)，病床可以在與走廊的LE邊的夾角在附近的一個(gè)閉區(qū)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，但是不能轉(zhuǎn)動(dòng)到夾角接近0或，換言之在拐角處可以放下比走廊還寬的病床。模型評(píng)注1、病床轉(zhuǎn)彎這個(gè)看起來(lái)并不復(fù)雜的問(wèn)題真要解決起來(lái)并不簡(jiǎn)單，需要我們進(jìn)行深入細(xì)致的分析。它告誡我們，在用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一定要反復(fù)思考，認(rèn)真檢查是否有遺漏的地方，要有大膽假設(shè)認(rèn)真求證的科學(xué)和精益求精的精神，千萬(wàn)不能輕易認(rèn)為已經(jīng)徹底解決了問(wèn)題。2、這個(gè)問(wèn)題本來(lái)可以直接寫(xiě)出模型三，但是，這