專(zhuān)題26.6 反比例函數(shù)章末七大題型總結(jié)（拔尖篇）（人教版）（原卷版）

專(zhuān)題26.6反比例函數(shù)章末七大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 1【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】 3【題型3反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題】 5【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】 6【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】 8【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】 10【題型7反比例函數(shù)的應(yīng)用】 12【題型1反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例1】（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知直線(xiàn)y＝x＋2與雙曲線(xiàn)y=kx交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，（1）求雙曲線(xiàn)解析式；（2）將直線(xiàn)y＝x＋2向下平移兩個(gè)單位得直線(xiàn)l，P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP＋PQ的最小值，并求此時(shí)的Q點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)求出N點(diǎn)坐標(biāo)．【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=mx圖象交于點(diǎn)A-1,3(1)求一次函數(shù)y1=kx+b和反比例函數(shù)(2)觀察圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出使y1>y(3)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)N，當(dāng)由點(diǎn)O，C，M，N構(gòu)成的四邊形面積為72時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)N【變式1-2】（2023春·河南周口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8，6)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)E是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)交線(xiàn)段OA于點(diǎn)M，交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)P，在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M點(diǎn)正好是線(xiàn)段EP中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【變式1-3】（2023春·四川樂(lè)山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A1，3，B3，1是反比例函數(shù)y=3x的圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線(xiàn)段AB下方的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，交線(xiàn)段AB于Q．設(shè)點(diǎn)M

【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】【例2】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A1,0且與y軸平行，直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)B0,2且與x軸平行，直線(xiàn)l1，與直線(xiàn)l2相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E為直線(xiàn)l2上一點(diǎn)，反比例函數(shù)y=k（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；（2）連接OE、OF、EF，若△OEF的面積為△PEF的面積的3倍，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)k<2時(shí)，G是y軸上一點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有使得△EFG是等腰直角三角形的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)G的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．【變式2-1】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直線(xiàn)AC與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交反比例函y=kxk>0的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)CE，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，滿(mǎn)足【變式2-2】（2023春·浙江舟山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=kx的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)Am,2，B3,n兩點(diǎn)，且m，n滿(mǎn)足2m-3n2+n-1=0，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與y軸平行，點(diǎn)C是直線(xiàn)l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A上方時(shí)，連接OC，OA，且OC平分∠AOD，求CDDE(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A下方時(shí)，點(diǎn)H是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在x軸上，若四邊形ABGH是平行四邊形．求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【變式2-3】（2023春·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，一次函數(shù)y=kx-2k≠0的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=-3xx<0的圖像交于點(diǎn)(1)b=___________，k=___________．(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)P使得△OBP是以O(shè)B為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)C且平行于y軸的直線(xiàn)l交該反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)D，連接OC，OD，BD．若四邊形OCBD的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【題型3反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題】【例3】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)景山中學(xué)校考期末）我們定義：如果一個(gè)矩形A周長(zhǎng)和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱(chēng)矩形A是矩形B的完全N倍體．

(1)若矩形A為正方形，是否存在一個(gè)正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長(zhǎng)為4．寬為3的矩形C是否存在完全12(3)如果長(zhǎng)為4，寬為3的矩形C存在完全k倍體，請(qǐng)求出k的取值范圍．【變式3-1】（2023春·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（綜合與探究）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象過(guò)點(diǎn)C-4,2，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，直線(xiàn)CD與x軸，

(1)求直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是Rt△AOB直角邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△PCD=(3)已知點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,Q為y軸上的動(dòng)點(diǎn)．問(wèn)直線(xiàn)CD上是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)M,N,Q,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-2】（2023春·四川資陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于點(diǎn)A（a，2a）（a＞0）和點(diǎn)B，且OA=5，點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)，與正比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)P，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)(1)求正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是否存在點(diǎn)C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0(1)求反比例函數(shù)y=kx的解析式，并確定這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)(2)畫(huà)出草圖，并據(jù)此直接寫(xiě)出使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍；(3)在y=2的直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使PB-PA的值最大，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】【例4】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作一個(gè)正方形DFEG，頂點(diǎn)G在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點(diǎn)E在x軸的正半軸上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

【變式4-1】（2023春·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=2xx>0的圖象上，點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，若AO=3BO，則正方形ABCD

A．10 B．3 C．7 D．5【變式4-2】（2023春·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【思路點(diǎn)撥】：如圖1，點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，A'作y軸，x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'，AA'．可以利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)證明【應(yīng)用拓展】：如圖2，若點(diǎn)A橫坐標(biāo)為12，且在函數(shù)y=

(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為-1,1，點(diǎn)P是直線(xiàn)y=x．上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．【變式4-3】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：把能被一條對(duì)角線(xiàn)分成兩個(gè)全等直角三角形的四邊形叫做勾股四邊形．(1)矩形______勾股四邊形（填“是”或“不是”）．(2)如圖在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=-x+1與雙曲線(xiàn)y=-6x相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P-3,0在x

①分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．②當(dāng)四邊形APQB是平行四邊形時(shí)，如圖，請(qǐng)證明?APQB是勾股四邊形．(3)在（2）的條件下，當(dāng)以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是勾股四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】【例5】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)0，0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，旋轉(zhuǎn)后的圖象與x軸相交于A點(diǎn)，若直線(xiàn)y=12

【變式5-1】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，若兩垂線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)C數(shù)值和面積S數(shù)值相等，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“等值點(diǎn)”．例如：點(diǎn)A(3，6)，因?yàn)镃=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)E為雙曲線(xiàn)y=4x(x>0)上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)E向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F為“等值點(diǎn)(2)在第一象限內(nèi)，若一次函數(shù)y=-x+b的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”，求b的取值范圍．【變式5-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°．點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，4，M是BC（1）求k的值；（2）將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF（點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），且EF在y軸上，點(diǎn)D在函數(shù)y=kx【變式5-3】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)A1,1，點(diǎn)C3,3，反比例函數(shù)y=k

(1)試說(shuō)明反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2)如圖2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，邊MN在x軸上，反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交正方形MNPQ的邊PQ、PN于點(diǎn)E、①求△MEF的面積；②在x軸上是否存在一點(diǎn)G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】【例6】（2023·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，直線(xiàn)y=2x+6與反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖像交于點(diǎn)Am,8，與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線(xiàn)y=n(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)

(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)觀察圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)x>0時(shí)，不等式2x+6-k(3)直線(xiàn)y=n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時(shí)，△BMN的面積最大？最大值是多少？【變式6-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)A1,4,B7,1，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，并且點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求L的表達(dá)式；(2)求線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(3)直接寫(xiě)出k的最小值和最大值．【變式6-2】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y1=4x（x＞0）的圖像上，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y平行線(xiàn)，交函數(shù)y2=1x（x＞0）的圖像于點(diǎn)B、C，作直線(xiàn)BC，設(shè)直線(xiàn)(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．①直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；②當(dāng)y<y2時(shí)，x的取值范圍是③點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在y軸上，且以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；(2)連接BO、CO．求證：△BOC的面積是個(gè)定值．【變式6-3】（2023春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．閱讀下列材料，回答問(wèn)題：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．易知當(dāng)a＝b時(shí)，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．若a≠b，則（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．[類(lèi)比論證]對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a-b)2≥0，∴a+b2ab（填“＜”、“＞”[幾何驗(yàn)證]如圖（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE為△ABC的中線(xiàn)，若AD＝a，BD=b，試根據(jù)圖形證明：a+b≥2ab．[結(jié)論應(yīng)用]若a＞0，則當(dāng)a＝時(shí)，代數(shù)式a+4a有最小值為[問(wèn)題解決]（1）某汽車(chē)零件生產(chǎn)公司為提高工作效率，購(gòu)進(jìn)了一批自動(dòng)化生產(chǎn)設(shè)備，已知每臺(tái)設(shè)備每天的運(yùn)營(yíng)成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用，共3600元；二是材料損耗費(fèi)，每個(gè)零件損耗約為5元（元），三是設(shè)備折舊費(fèi)（元），它與生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為0.0001x2，設(shè)該設(shè)備每天生產(chǎn)汽車(chē)零件x個(gè)．當(dāng)x為多少時(shí)，該設(shè)備每生產(chǎn)一個(gè)零件的運(yùn)營(yíng)成本最低？最低是多少元？（2）如圖（2），在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝﹣43-4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M為反比例函數(shù)y＝12x（x＞0）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C,MD⊥y軸于點(diǎn)D．則四邊形ABCD【題型7反比例函數(shù)的應(yīng)用】【例7】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校舉行數(shù)學(xué)文化競(jìng)賽．圖中的四個(gè)點(diǎn)分別描述了八（1）、八（2）、八（3）、八（4）四個(gè)班級(jí)競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率y（班級(jí)優(yōu)秀人數(shù)占班級(jí)參加競(jìng)賽人數(shù)的百分率）與該班參加競(jìng)賽人數(shù)x的情況，其中描述八（2）、八（4）兩個(gè)班級(jí)情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，則成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)最多的是（

）

A．八（1）班 B．八（2）班 C．八（3）班 D．八（4）班【變式7-2】（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某經(jīng)銷(xiāo)商出售一種進(jìn)價(jià)為4元/升的液體原料，在市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)此商品日銷(xiāo)售價(jià)x元/升與日銷(xiāo)售量y（升）滿(mǎn)足反比例函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：