2022年湖南省衡陽市中考數(shù)學模擬試卷（附答案詳解）

2022年湖南省衡陽市中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36.（）分）

1.實數(shù)一3,-2,0,舊中，最小的數(shù)是（）

A.-3B.-2C.0D.V3

2.作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造

型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了

中華民族造型審美意識.如圖是一把做工精湛的紫砂壺”景

舟石瓢”，下面四幅圖是從上面看到的圖形的是（）

3,北京冬奧會將于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕，國家體育場（鳥巢）成為北京冬

季奧運會開閉幕式場館，該場館位于北京奧林匹克公園中心區(qū)，占地20.4公頃，建

筑面積25.8萬平方米，可容納觀眾9.1萬人.數(shù)據(jù)25.8萬用科學記數(shù)法可表示為（）

A.0.258x106B.2.58x106C.2.58x10sD.25.8x104

4.2-可以表示為（）

A.（2/）2B,x4-x4C.2x5-xD.2x6x2

5.如圖，點D、E分別在線段8cde上，連接若乙4=35。/8=25%ZC=50°,

則41的大小為（）

A.60°B.70°C.75°D.85°

6.如圖，在4x4的網(wǎng)格圖中，4、B、C是三個格點，其中每個

小正方形的邊長為1,△力BC的外心可能是（）

A.仞點

B.N點

C.P點

D.Q點

7.若在一組數(shù)據(jù)4,3,2,4,2中再添加一個數(shù)后，它們的平均數(shù)不變，則添加數(shù)據(jù)

后這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.3B.4C.3.5D.4.5

8.已知點4（巧,％）,BQ2,、2）均在反比例函數(shù)'的圖象上，且久1<血<0,則

下列關系正確的是（）

A.%vy2VoB.yz<yi<0C.%>%>°D?%%°

9.如圖，在菱形ABC。中，AABC=60°,連接AC、BD,則*的值為（）

10.如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交

于4B兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，48=16厘米.若從目前太陽所

處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）

A.1.0厘米/分D.1.4厘米/分

11.劉徽在《九章算術注/中首創(chuàng)“割圓術”，利用圓的內接正多邊形來確定圓周率,

開創(chuàng)了中國數(shù)學發(fā)展史上圓周率研究的新紀元.某同學在學習“割圓術”的過程中,

作了一個如圖所示的圓內接正十二邊形.若0。的半徑為1,則這個圓內接正十二

邊形的面積為（）

第2頁，共23頁

A.1B.3C.nD.2?r

12.下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值:

X-2013

y—6-4—6-4—

下列各選項中，正確的是()

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸無交點

C.這個函數(shù)的最小值小于-6

D.當%>1時.，y的值隨x值的增大而增大

二、填空題(本大題共6小題，共18.0分)

13.已知a-6=4,則3a-3b—5的值為

14.把多項式一3%2+2xy2-x3y-1按x降暴排列是.

15.關于x、y二元一次方程組的解滿足6%+丫=21,貝丸的值為_____.

16.已知點4(a,l)與點力'(一2』)關于原點對稱，則a=

17.如圖，。是矩形20BC的對稱中心，4(0,4),5(6,0),若一

個反比例函數(shù)的圖象經過點D,交4c于點M,則點M的坐

標為.

18.已知：RtZiABC中，Z.C=90°,AC=3,BC=4,P為AB上任意一點，PF14C于

F,7^18。于￡\則EF的最小值是

E

A

三、解答題(本大題共8小題，共66.0分)

19.計算：(x+y)2-2(x+y)(x-y).

20.如圖，在四邊形ABC。中，AO〃BC,ZB=/C.E是邊BC上一點，且DE=DC.求證:

AD=BE.

21.2021年12月9日“天宮課堂”第一課正式開講，神舟十

三號乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富在中國空間站

進行太空授課，神奇的太空實驗堪稱宇宙級精彩!某校為

了培養(yǎng)學生對航天知識的學習興趣，組織全校800名學生進行了“航天知識競賽”.

教務處從中隨機抽取了71名學生的競賽成績(滿分100分，每名學生的成績記為x分)

分成四組，A組：60<x<70：B組：70Wx<80：C組：80<x<90：。組：90<

x<100,并得到如下不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.根據(jù)

圖中信息，解答下列問題：

第4頁，共23頁

(l)n的值為，a的值為,b的值為.

(2)請補全頻數(shù)分布直方圖并計算扇形統(tǒng)計圖中表示“C”的扇形圓心角的度數(shù)為

(3)若規(guī)定學生競賽成績x280為優(yōu)秀，請估算全校競賽成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù).

(4)競賽結束后，九年級一班從本班獲得優(yōu)秀(X280)的甲、乙、丙、丁四名同學

中隨機抽取兩名宣講航天知識.請用列表或畫樹狀圖的方法求恰好抽到甲、乙兩名

同學的概率.

22.黨中央決定從2021年起全面實施鄉(xiāng)村振興，某企業(yè)幫扶火紅村發(fā)展林果產業(yè)，先

后兩次購進同種果樹苗，第一次購樹苗用去12000元，第二次用去10000元，第一

次樹苗的單價是第二次樹苗單價的1.5倍，第二次購進樹苗的數(shù)量比第一次多100棵

(1)求第二次購進樹苗的單價.

(2)第一次樹苗的成活率是75%,第二次樹苗的成活率是80%,計劃三年后第一次

產果要不少于56000千克，問平均每棵樹至少要產果多少千克？

23.如圖，一次函數(shù)yi=ax+b與反比例函數(shù)為=：的圖

象交于4、B兩點.點4的橫坐標為2,點B的縱坐標

為1.

(1)求a,b的值.

(2)在反比例=:第三象限的圖象上找一點P,使點

P到直線4B的距離最短，求點P的坐標.

24.如圖，4B是。。的直徑，點C為。。上一點，CN為。。的切

線，。加148于點。，分別交AC、CN于D、M兩點.

(1)求證：MD=MC；

(2)若。。的半徑為5,AC=4V5,求MC的長.

第6頁，共23頁

25.如圖，拋物線y=/+bx+c與x軸交于4(1,O),B兩

點，與y軸交于點C(0,3).

(1)求該拋物線的表達式；

(2)過點8作工軸的垂線，在該垂線上取一點P,使得

△PBC與AABC相似，請求出點P的坐標.

26.如圖⑴，在△ABC中，乙4cB為銳角，點。為射線BC上一動點，連接4D,以4D為

一邊在AD的右側作等腰直角=zAED=45°,/.DAE=90。,AC=AE,

解答下列問題：

(1)如果AB=AC,4BAC=90°,^ABC=Z.ACB=45°.

①當點。在線段BC上時(與點B不重合)，如圖(2),線段CE、BD之間的數(shù)量關系為

;位置關系為;(不用證明)

②當點。在線段BC的延長線上時，如圖(3),①中的結論是否仍然成立，請寫出結

論并說明理由.

(2)如果AB,4C,ZBACW90。，點。在線段BC上運動.

試探究：當△力BC滿足一個什么條件B寸，CE1BD(點C、E重合除外)？請寫出條件，

并借助圖(4)簡述CE1BD成立的理由.

E

圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)

第8頁，共23頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：-?--3<-2<0<V3,

最小的數(shù)是-3,

故選：A.

先根據(jù)實數(shù)的大小比較法則比較大小，再得出選項即可.

本題考查了實數(shù)的大小比較法則和算術平方根，能熟記實數(shù)的大小比較法則是解此題的

關鍵，注意：正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，其

絕對值大的反而小.

2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)視圖的定義，選項A中的圖形符合題意，

故選:A.

根據(jù)俯視圖的定義，從上面看所得到的圖形即為俯視圖.

本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的定義是正確判斷的前提.

3.【答案】C

【解析】解：25.875=258000=2.58x105.

故選：C.

科學記數(shù)法的表示形式為ax1(F的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定般的值時，

要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原

數(shù)絕對值210時，n是正整數(shù)，當原數(shù)絕對值<1時，n是負整數(shù).

此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中

|a|<10,n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

4.【答案】D

【解析】解：4根據(jù)“積的乘方，需要把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的累相

乘”知(2/)2=4x3不符合題意；

員根據(jù)“同底數(shù)累相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加"知//4=%8,不符合題意；

5

C.2x(x不是同類項，無法合并，不符合題意；

。.根據(jù)“同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減”知2一—/=2X4,符合題意，

故選：D.

根據(jù)積的乘方，同底數(shù)塞的乘除，合并同類項可進行判斷.

本題考查了積的乘方，同底數(shù)幕的乘除，合并同類項，關鍵是熟知法則計算.

5.【答案】B

【解析】解：Z1=180-(ZB+Z/1DB),乙4DB=〃+4C,

zl=180°-QB+乙4+ZC)

=180°-(25°+35°+50°)

=180°-110°

=70°,

故選：B.

由三角形的內角和定理，可得41=180-(/B+N4DB),乙4OB=U+ZC,所以41=

180°-(乙B+乙4+”),由此解答即可.

本題考查了三角形內角和定理和三角形外角性質，掌握這些知識點是解題的關鍵.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，熟練掌握三角形的外心的性質是解題的

關鍵.

由圖可知，AABC是銳角三角形，于是得到A4BC的外心只能在其內部，根據(jù)勾股定理

得到BP=CP=也*PA,于是得到結論.

【解答】

解：由圖可知，AABC是銳角三角形，

???△ABC的外心只能在其內部，

第10頁，共23頁

由此排除4選項和B選項，

由勾股定理得，BP=CP=雙*PA，

???排除C選項，

故選：D.

7.【答案】A

【解析】解：(4+3+2+4+2)+5

=15+5

=3.

?.?它們的平均數(shù)不變，

二添加的數(shù)據(jù)為3.

???這組新數(shù)據(jù)為：2,2,3,3,4,4,

這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：；x(3+3)=3,

故選:A.

根據(jù)平均數(shù)的公式求出數(shù)據(jù)4,3,2,4,2的平均數(shù)，根據(jù)題意可知添加的一個數(shù)據(jù)是

平均數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)的定義求解.

考查了平均數(shù)，中位數(shù)，熟練掌握相關概念和公式是解題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：???卜2+1>0,

此函數(shù)的圖象在一、三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小，

V第1V%2V0，

???4。”為)、B(%2，y2)兩點均位于第三象限，

???y2<yi<0-

故選：B.

先判斷此函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)％1<切<0判斷出4。1以)、8(X212)所在的象

限，根據(jù)此函數(shù)的增減性即可解答.

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)的性質是解答此題的關

鍵.

9.【答案】D

【解析】解：設4c與BD交于點0,

???四邊形4BCD是菱形,

A0=CO,BO=D0,AC1BD,zABD=-/-ABC=30°,

???tan^ABD=窗=爭

AC_yf3

BD~3

故選：D.

由菱形的性質可得4。=C。，BO=DO,AC1BD,乙4BD==30。，由銳角三

角函數(shù)可求解.

本題考查了菱形的性質，銳角三角函數(shù)，掌握菱形的性質是解題的關鍵.

10.【答案】A

【解析】解：設“圖上”圓的圓心為0,連接04

過點。作ODLAB于D,如圖所示：海平線L■-二---芻4公）三一一士』

：厘米，

-AB=16二三三三堂尊三三三W

???AD=-AB=8（厘米），二:二E二二:二二二二二二二二二二二二二：二二二三二至二二二

???OA=10厘米，

OD=y/OA2-AD2=V102-82=6（厘米），

二海平線以下部分的高度=OA+OD=10+6=16（厘米），

???太陽從所處位置到完全跳出海平面的時間為16分鐘，

???“圖上”太陽升起的速度=16-16=1.0。里米/秒），

故選：A.

連接。4過點。作。D148于D,由垂徑定理求出AD的長，再由勾股定理求出。。的長，

然后太陽在海平線以下部分的高度，即可求解.

第12頁，共23頁

本題考查的是垂徑定理的運用，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的

關鍵.

11.【答案】B

【解析】解：如圖，過力作AC10B于C,

???圓的內接正十二邊形的圓心角為等=30。，OA=1,

???AC=-OA=

22

A=2X^X2=4,

這個圓的內接正十二邊形的面積為12x：=3,

4

故選：B.

如圖，過4作4C10B于C,得到圓的內接正十二邊形的圓心角為等=30。，根據(jù)三角

形的面積公式即可得到結論.

本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，解直角三角形，正確的作出輔助線是

解題的關鍵.

12.【答案】C

【解析】解：設二次函數(shù)的解析式為y=a%2+b%+c,

(6=ax(—2)2+匕x(—2)+c

由題知—4=c，

(—6=a+匕+c

(a=l

解得力=-3,

(c=-4

二二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x-4=(x-4)(x+1)=(x-|)2-y,

A.函數(shù)圖象開口向上，故4選項不符合題意：

B.與x軸的交點為(4,0)和(—1,0),故B選項不符合題意；

C.當x=|時，函數(shù)有最小值為一3故C選項符合題意；

D函數(shù)對稱軸為直線x=|,根據(jù)圖象可知當時，y的值隨x值的增大而增大，故。

選項不符合題意.

故選：c.

設出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式即可判斷.

本題主要考查二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

13.【答案】7

【解析】解：：a—匕=4,

:.3d—3b—5

=3(a-b)-5

=3x4-5

=12-5

=7.

故答案為：7.

把所求的代數(shù)式進行整理得：3(a-b)-5,再代入求值即可.

本題主要考查代數(shù)式求值，解答的關鍵是把a-b看作是一個整體，把所求式子轉化成

含a-b的形式.

14.【答案】-x3y-3x2+2xy2-1

【解析】解：多項式一3/+2xy2—爐丫—1按支降暴排歹1J為—/丫_3/+2xy2—1,

故答案為：一/丫一3/+2到2-1.

按x的指數(shù)從大到小排列即可.

本題考查了多項式的降基排列，能熟記降基排列的定義是解此題的關鍵，注意：排列時

帶著前面的符號.

15.【答案】8

【解析】解：［2x+3y=智，

k2x-y=k②

①+②X2,得6x+y=5+2k,

???關于x、y二元一次方程組:：二5的解滿足a+丫=2i,

???5+2k=21,

第14頁，共23頁

解得：k=8,

故答案為：8.

①+②x2得出6x+y=5+2k,根據(jù)方程組的解滿足6x+y=21得出5+2k=21,

再求出方程的解即可.

本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組等知識點，能得出關于k的一元一

次方程是解此題的關鍵.

16.【答案】；

【解析】解：???點4(。,1)與點4(一2/)關于原點對稱

???a=—(-2)=2,b=-1.

ab=2T=

故答案是：p

直接利用關于原點對稱點的性質得出答案.

此題主要考查了關于原點對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標關系是解題關鍵.

17.【答案】6,4)

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的性質求得C(6,4),由。是矩形40BC的對稱中心，求得。(3,2),設反比例函數(shù)

的解析式為y=%代入。點的坐標，即可求得k的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的

坐標特征即可求得M點的坐標.

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質，求得。點的坐標是解題的關

鍵.

【解答】

解：???4(0,4),B(6,0),

??"(6,4),

???。是矩形40BC的對稱中心，

???￡)(3,2),

設反比例函數(shù)的解析式為y=；,

二々=3x2=6,

二反比例函數(shù)的解析式為y=*

把y=4代入得4=*解得x=|,

故M的坐標為(|,4).

故答案為(|,4).

18.【答案】2.4

【解析】解：連接CP,如圖所示：

vZC=90°,PFlAC^F,PE1BC于E,

ZC=Z.PFC=乙PEC=90°,

二四邊形CEPF是矩形，

EF=CP,

要使EF最小，只要CP最小即可，

當CPJL48時,CP最小,

在RMABC中，“=90。，AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=5,

由三角形面積公式得：；x4x3=；x5xCP,

???CP=2.4,

即EF=2.4,

故答案為：2.4.

根據(jù)已知得出四邊形CEPF是矩形，得出EF=CP,要使EF最小，只要CP最小即可，根

據(jù)垂線段最短得出即可.

本題利用了矩形的性質和判定、勾股定理、垂線段最短的應用，解此題的關鍵是確定出

何時，EF最短，題目比較好，難度適中.

19.【答案】解：原式=%2+2盯+/一2（%2一丫2）

=x2+2xy4-y2-2x2+2y2

=-x2+2xy4-3y2.

第16頁，共23頁

【解析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式即可求出答案.

本題考查了平方差公式和完全平方公式.解題的關鍵是熟練運用乘法公式.

20.【答案】證明：???DE=DC,

-Z.DEC=Z.C,

v乙B=ZC,

Z-B=乙DEC,

：?AB//DE,

???ADIIBC,

???四邊形/BED是平行四邊形.

???AD=BE.

【解析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形

的判定定理和性質定理的運用.

根據(jù)等邊對等角的性質求出/DEC=/C,在由ZB=4。得NDEC=NB,所以4B〃DE,

得出四邊形ABED是平行四邊形，進而得出結論.

21.【答案】60612144

【解析】解：(l)n=18+30%=60,

:.a=60x10%=6,

???b=60—6—18—24=12,

故答案為：60,6,12；

(2)補全頻數(shù)分布直方圖如下：

扇形統(tǒng)計圖中表示“C”的扇形圓心角的度數(shù)為：360°x|^=144°,

oil

故答案為：144；

(3)估算全校競賽成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù)為：800x言產=480(A):

OU

(4)畫樹狀圖如下：

開始

甲乙丙丁

/1\/T\/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12種等可能的結果，其中恰好抽到甲、乙兩名同學的結果有2種，

二恰好抽到甲、乙兩名同學的概率為5=士

14O

(1)由B的人數(shù)除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；

(2)由(1)的結果補全頻數(shù)分布直方圖，再由360。乘以“C”所占的比例即可；

(3)由全校總人數(shù)乘以達到優(yōu)秀的學生人數(shù)所占的比例即可；

(4)畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中恰好抽到甲、乙兩名同學的結果有2種，再

由概率公式求解即可.

此題主要考查了樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖等知識，樹狀圖法可

以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還

要注意是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比.

22.【答案】解：(1)設第二次購進樹苗的單價為支元，則第一次購進樹苗的單價為1.5%元,

12000,10000

根據(jù)題意得:--------F100=------

1.5%x

解得：x=20,

經檢驗，x=20是原分式方程的解，

二第二次購進樹苗的單價為20元；

(2)第二次購進樹苗的棵數(shù)為：曙=500(棵)，第一次購進樹苗的棵數(shù)為：500-100=

400(棵)，

則第一次樹苗的成活棵數(shù)為：400x75%=300(棵)，第二次樹苗的成活棵數(shù)為：500X

80%=400(棵)，

設平均每棵樹要產果y千克，

由題意得:(300+400)y>56000,

解得：y>80,

第18頁，共23頁

答：平均每棵樹至少要產果80千克.

【解析】(1)設第二次購進樹苗的單價為x元，則第一次購進樹苗的單價為1.5x元，由題

意:第一次購樹苗用去12000元，第二次用去10000元，第二次購進樹苗的數(shù)量比第一

次多100棵.列出分式方程，解方程即可；

(2)設平均每棵樹要產果y千克，由題意：第一次樹苗的成活率是75%,第二次樹苗的成

活率是80%,計劃三年后第一次產果要不少于56000千克，列出一元一次不等式，解不

等式即可.

本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量

關系，正確列出分式方程；(2)找出數(shù)量關系，正確列出一元一次不等式.

23.【答案】解：⑴,:一次函數(shù)yi=ax+b與反比例函數(shù)丫2=：的圖象交于4、B兩點.

點4的橫坐標為2,點B的縱坐標為1,

二4(2,2),5(4,1),

則有第

解得卜7.

U=3

(2)過點P作直線PM〃/1B,

當直線PM與反比例函數(shù)只有一個交點時，點P到直線4B

的距離最短，

設直線的解析式為y=-1x+n,

(y=-

由(x1,消去y得到，x2-2nx+8=0,

(y=--x+n

由題意，2=0,

???4n2-32=0,

.?.n=-2也或2口(舍棄)，

解得卜=~2^,

(y=-V2

P(-2V2,-V2).

【解析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，一元二次方程的根的判別式等知

識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

(1)首先確定A,B兩點坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可.

(2)過點P作直線PM〃AB,當直線PM與反比例函數(shù)只有一個交點時，點P到直線48的

距離最短，構建方程組把問題轉化為一元二次方程，利用判別式等于0,構建方程求解

即可.

24.【答案】解：⑴連接。C,

vCN為。。的切線,

??.OC1CM,Z.OCA+乙4cM=90°,

■:OM1AB,

???^OAC+/.ODA=90°,

???OA=OC,

Z.OAC=Z-OCA,

???乙4cM=Z.ODA=Z.CDM,

/.MD=MC；

(2)由題意可知AB=5x2=10,AC=4V5，

「AB是OO的直徑，

Z.ACB=90°,

:?BC=J102-(4V5)2=2V5>

vZ.AOD=Z.ACB,乙4=Z-A,

...絲=絲nn9D—.,,5.

*,BCAC9"2V54V5f

可得：OD=2.5,

設MC=MD=%,在RtZkOCM中，由勾股定理得：(x+2.57=7+52,

解得：x=y,

即MC=雪

4

第20頁，共23頁

【解析】(1)連接0C,利用切線的性質證明即可；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質以及勾股定理解答即可.

本題考查切線的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵

是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

25.【答案】解：(1)把C(0,3)代入y=%2+b%+c,

得c=3,

???y=+bx+3,

把4(1,0)代入y=+bx+3,

得l+b+3=0,

解得b=-4,

???該拋物線的表達式為y=/一4久+3.

圖1

(2)如圖1,PB=AB,

vPB1%軸，

???ZABP=90°,

拋物線y=x2-4%+3,當y=0時，則/—4x+3=0,

解得%1=1,g=3,

???B(3,0),

OB=0C=3,PB=48=3—1=2,

???Z.BOC=90°,

??.乙OBC=Z.OCB=45°,

???Z-PBC=/.ABC=45°,

?P?B?一=BC—=_1,

ABBC

PBC~XABC,

此時點P的坐標為(3,2)；

如圖2,APBCFCBA,且NCBP=々ABC=45。，乙BCP=cBAC,

BP_BC

BC~BA"

vBC2=OB24-OC2=32+32=18,BA=2,

BC2_18

：?BP

BA~2

此時點P的坐標為(3,9),

綜上所述，點P的坐標為(3,2)或(3,9).

【解析】(1)把C(0,3)代入y=/+以+乙得c=3,把4(1,0)代入y=/+b%+3,即

可求出b的值，得到該函數(shù)的表達式；

(2)4PBC與AABC相似分兩種情況，一是PB=4B,先求出點B的坐標為(3,0),可求得

乙PBC=4ABC=45°,根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似可證明△PBCf

ABC,此時點P的坐標為(3,2)；二是乙BCP=4BAC,貝必PBC-ACB4,所以胃=詈，

DC0/1

先根據(jù)勾股定理求出BC2的值，再求出BP的長，得到此時點P的坐標為(3,9).

此題重點考