數(shù)學(xué)建模校賽人工瀑布問題

./題目人工瀑布設(shè)計(jì)問題摘要這個(gè)問題主要研究的是瀑布的設(shè)計(jì)問題。如何求得角度與長度使人工瀑布最為壯觀。根據(jù)園林設(shè)計(jì)的問題,要使得瀑布最為壯觀,就要使其高度最高,距離最遠(yuǎn)。在本題中,高度只是次要矛盾,關(guān)鍵求得瀑布落地的水平距離。對于角度的求解問題上,可將其引申為鉛球模型,因?yàn)殂U球拋出模型與瀑布水的拋出問題極為的相似。因而在鉛球的模型求解中,可將高度,出手速度都加以限制,就可以求得相應(yīng)的角度。在此角度問題中,將瀑布水平距離視為拋物線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：對其求導(dǎo),當(dāng)導(dǎo)數(shù)為0時(shí)候,區(qū)極大值。此時(shí)求得的角度就可以近似的轉(zhuǎn)化為瀑布的挑水坎的角度,帶入下一步求解。對于水平距離求解的問題中,利用牛頓定律和動能定理,將水的運(yùn)行過程分為三個(gè)階段,分別是瀑布水從挑水坎的低端到挑水坎的最高端,挑水坎的最高端到能夠達(dá)到的最高的高度,在最高點(diǎn)處下落到底端三個(gè)階段。在第二個(gè)和第三個(gè)階段時(shí)候?qū)⑺俣冗M(jìn)行分解分別得到；水平速度為：豎直速度為：最終列出最后拋出后的表達(dá)公式為：利用進(jìn)行求解。最終求得角度為0.375253。長度為趨近于0。然后對模型進(jìn)行了評價(jià)與檢驗(yàn),并且對其進(jìn)行了優(yōu)化,將空氣阻力考慮后的速度公式。關(guān)鍵詞：瀑布水鉛球模型1、問題重述1.1問題背景瀑布是水重懸崖上傾瀉而下而形成的水體景觀。瀑布是山水的結(jié)合體,當(dāng)兩者有機(jī)的結(jié)合后,才能使得瀑布最為壯觀。隨著園林事業(yè)的迅速發(fā)展,人工瀑布也更加快的發(fā)展起來了。自然瀑布通常是江河遇到地面斷層而形成的。人工瀑布也利用這一原理,人工構(gòu)造自然地質(zhì)斷層挑水坎,當(dāng)水流達(dá)到一定速度時(shí)候,水就能沿著水槽沖上挑水坎再下落以致形成瀑布。1.2問題提出如圖,某景點(diǎn)一人工瀑布是在離地面10米的高處建造一段水平的橫水槽,將地面水池里的水用水泵抽入到了水槽中,該水槽末端設(shè)置一個(gè)坡度而形成一個(gè)挑水坎,當(dāng)水流達(dá)到一定的速度時(shí),水就能沿著水槽沖上挑水坎再下落以致形成瀑布。圖一：瀑布模型的簡化2、模型假設(shè)1.忽略空氣阻力對水的流動不造成影響；2.假設(shè)坎坡是平整光滑的,以免造成瀑身水帶的不完整；3.假設(shè)忽略天氣壞境等外界因素對水槽水位的影響；4.假設(shè)水的輸送速度保持不變。5.假設(shè)角度求解可以等同轉(zhuǎn)化為扔鉛球問題。6.將鉛球視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。7.忽略空氣阻力的影響。8.出手角度與出手速度無關(guān)。9.重力加速度在小圍的高度變化中保持不變。3、符號說明和名詞解釋表示挑水坎的坡度表示瀑布落地后與水壩的水平距離表示挑水坎的底端與地面高度表示挑水坎的底端與頂端的水平高度表示挑水坎的長度表示水的初始速度表示水在挑水坎頂端的速度表示水流到達(dá)最高點(diǎn)的速度表示重力加速度表示挑水坎頂端到最高處的水平距離表示挑水坎對水的支持力表示末速度表示初速度表示空氣阻力仍鉛球時(shí)候的角度分別表示對的微分分別表示在0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示鉛球出手的高度表示空氣中物體速度表示物體在空氣中運(yùn)行的時(shí)間名詞解釋：1.牛頓第二定律：物體的加速度跟物體所受的合外力成正比,跟物體的質(zhì)量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同。而以物理學(xué)的觀點(diǎn)來看,牛頓運(yùn)動第二定律亦可以表述為"物體隨時(shí)間變化之動量變化率和所受外力之和。2.動能定理：力在一個(gè)過程中對物體所做的功等于在這個(gè)過程中的動能變化。3.重力加速度：地球表面附近的物體,在僅受重力作用時(shí)具有的加速度叫做重力加速度,也叫自由落體加速度,用g表示重力加速度。其方向總是豎直向下。在同一地區(qū)的同一高度,任何物體的重力加速度都是相同的。重力加速度數(shù)值隨海拔高度增大而減小。當(dāng)物體距離地面高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑時(shí)候,g變化不大。而離地面高度較大時(shí)候,重力加速度g顯著減小,此時(shí)不能認(rèn)為g為常數(shù)。4、問題分析此問題是設(shè)計(jì)人工瀑布的問題,并且使得設(shè)計(jì)的人工瀑布最為壯觀。問題中要是瀑布最為壯觀,就必須使得瀑布形成后的流水量達(dá)到最大,另外要使得水沖出挑水坎之后,達(dá)到的高度要盡可能最大,兩者中和起來才能夠使得人工瀑布達(dá)到視角、場面的壯觀。因此在瀑布的設(shè)計(jì)中必須考慮到角度和挑水坎的長度,才能達(dá)到最優(yōu)解。對于而言,它的大小影響著瀑布流水的高度,至此可以簡化為求解扔鉛球時(shí)的問題,即根據(jù)幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用線性擬合來求得最大值。而對于長度則是影響水流量,利用物理定律可以求得某一最值。最終利用主觀判斷,比較兩個(gè)因素的影響程度,得到兩個(gè)不同因素所占的影響比例,最終得出最優(yōu)解。這個(gè)問題關(guān)鍵還是建立出最優(yōu)解,先得到目標(biāo)函數(shù),利用一系列的因素,最終求得瀑布得設(shè)計(jì)中應(yīng)該需要的挑水坎的長度和挑水坎的坡度。即完全轉(zhuǎn)化為挑水坎的設(shè)計(jì)問題。在問題中將空氣阻力和摩擦力需要被完全忽略一下求解,這樣才便于求得最后的解。5、模型準(zhǔn)備在牛頓力學(xué)中,力的平衡關(guān)系中：力與運(yùn)動的牛頓定律。求得：6、模型建立與求解利用鉛球模型求得角度,因?yàn)橛杉僭O(shè)可以將水流的沖出后的角度與距離關(guān)系等同于鉛球拋出角度與距離關(guān)系。鉛球模型圖解：圖二：鉛球拋出的圖示由牛頓力學(xué)、物理學(xué)知識可求得：設(shè)鉛球出手后在時(shí)刻的動點(diǎn)坐標(biāo)為,由斜上拋運(yùn)動的物理學(xué)知識得鉛球運(yùn)動方程：消去參數(shù),得到：當(dāng)鉛球落地時(shí)候,令,的方程為：由求根公式解得：舍去負(fù)根,得鉛球的投擲距離數(shù)學(xué)模型：微分后極大值為：化簡得到：求得角度為0.375253。根據(jù)已經(jīng)得到的角度,速度已經(jīng)已知,那么要設(shè)計(jì)挑水坎的長度才能夠達(dá)到最大的水流量。利用牛頓運(yùn)動學(xué)定律和動能定理,對待瀑布流水從挑水坎底端到達(dá)挑水坎頂端,其加速度在數(shù)值上可以近似的看成是一不變的量,而動能與重力勢能之間相互轉(zhuǎn)化則是在流水運(yùn)動的過程中得到體現(xiàn),在上升的過程中,動能向重力勢能轉(zhuǎn)化,動能逐漸減小,與此同時(shí),相應(yīng)的勢能也增大。因此可以列得方程為：〔1運(yùn)用牛頓第二定律,在挑水坎上進(jìn)行求解。但由于存在一個(gè)角度,因此必須進(jìn)行力的分解,才能求出加速度來。因此可以先得到水在挑水坎上的支持力公式為：〔2由于在此之前摩擦力已經(jīng)忽略了。那么求得的支持力即為所得到的合外力。那么由牛頓第二定律直接可以得到：〔3得到：<4>得到加速度之后。將〔4式中的加速度帶到<1>便可以得到〔4解得：〔5即為在挑水坎頂端的速度。由于瀑布的壯觀程度常常由兩個(gè)因素來決定的,即瀑布的高度和瀑布沖下后的水流量的壯觀程度所決定的。而這兩個(gè)因素的影響在沖出后的過程中又由水平速度和垂直速度所影響的,因此在挑水坎的頂端必須將速度分解。根據(jù)正交分解原理,將速度分別分解后可以得到：豎直速度：水平方向的速度：然后要求的最終的高度和最終拋出后的距離。①先求的高度：由假設(shè)條件,重力加速度在整個(gè)過程中是不變的,由運(yùn)動學(xué)原理可以得到速度與時(shí)間的關(guān)系式：即求得從挑水坎頂端到最高端的的時(shí)間為：再由運(yùn)動學(xué)原理,列出速度與路程的關(guān)系式：解得：可以求的挑水坎頂端與最高端的距離：因此一旦確定,那么也就確定。②再求拋出后的距離：運(yùn)動學(xué)中知道速度后還得有時(shí)間,才能夠求得距離。因此必須求的全部時(shí)間。第一問求高度中已經(jīng)求得一部分時(shí)間了。另外還要求得最高端到最后的時(shí)間,因此可以利用運(yùn)動學(xué)中距離與時(shí)間的關(guān)系式：可以求得時(shí)間為：那么最后拋出后的距離為：代入化簡可以得到：式子中的角度再前面求解中已經(jīng)得到,那么只有一個(gè)未知量。再進(jìn)行求解去得到,在求解中所得到的數(shù)據(jù)無解,那么說明是一個(gè)小于的數(shù),但是又必須是大于等于0的數(shù),當(dāng)它為0時(shí)候不可能,因?yàn)橐呀?jīng)得到角度了,當(dāng)長度為0時(shí)候那么就無法形成角度了,所以不難得到為一個(gè)趨近于0的值。對于瀑布的景觀影響程度是高度和拋出后的距離所影響的,但是因素的影響大小不同。對于高度和拋出距離在整個(gè)瀑布的壯觀中影響不同。一般認(rèn)為,高度在整個(gè)景觀中的影響只占2份,而距離則是占得8份。而在本道題目中,已經(jīng)把很多影響因素都忽略掉了,因此在瀑布的高度中已經(jīng)可以不加考慮。因此只需要求得得值就可以求得最后得解。7、模型評價(jià)與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)點(diǎn)：利用了動能定理和牛頓定律,具有很強(qiáng)的科學(xué)依據(jù)。對瀑布的水的運(yùn)動分析進(jìn)行的很全面,對各個(gè)階段的水的運(yùn)動進(jìn)行了分解,進(jìn)行了徹底的模型的求解。對瀑布的壯觀程度進(jìn)行了分析,對不同方面進(jìn)行了分析,來達(dá)到瀑布的壯觀程度的分析。模型缺點(diǎn)：模型中省略了許多因素的考慮,比如挑水坎的摩擦力的考慮。模型中的水在最終落下的時(shí)候就單純的考慮了物理學(xué)中的運(yùn)動定律,并沒有考慮到空氣阻力所造成影響,但實(shí)際上影響很大的。模型中的設(shè)計(jì)后所得到的長度影響很大。在求角度時(shí)候只是將拋鉛球的模型運(yùn)用過來,誤差也很大。在求綜合因素時(shí)候,即求解角度和長度上,都是分開求解的,其所求的綜合因素不完全優(yōu)化。7.2模型檢驗(yàn)：在模型中運(yùn)用了鉛球模型來代替挑水坎角度的求解,接下來對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。表一:某次實(shí)驗(yàn)的鉛球仍置的角度與距離關(guān)系將數(shù)據(jù)代入：當(dāng)角度為37.60,38.96,40.00時(shí)候,其距離分別為：20.9628,21.0785,21.141。測量值與真實(shí)值之差為誤差,物理實(shí)驗(yàn)離不開對物理的測量,測量有直接的,也有間接的。由于儀器、實(shí)驗(yàn)條件、環(huán)境等因素的限制,測量不可能無限精確,物理量的測量值與客觀存在的真實(shí)值之間總會存在一定差異,這種差異就是測量誤差。扔鉛球的實(shí)驗(yàn)中,有風(fēng)力,人為因素影響,不可能百分之百的與理論數(shù)據(jù)一樣,因此在求出的數(shù)據(jù),可以認(rèn)為在誤差圍之,因此可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)的達(dá)到準(zhǔn)確。8、模型優(yōu)化對于問題中瀑布的影響因素中,挑水坎的摩擦力影響不大,但是空氣阻力影響相比而言較大,所以對模型進(jìn)行優(yōu)化一下,考慮一下空氣阻力。那樣誤差得到減小,求出的解也更為精確。任何物體在空氣中的運(yùn)動都會受到空氣阻力的作用,空氣阻力是一個(gè)變力,情況很復(fù)雜,這是普通物理中所未曾涉及的,而描述物體運(yùn)動和受力關(guān)系的就是牛頓第二定律,即而正因?yàn)榈牟欢ㄐ?是此類問題十分復(fù)雜,有時(shí),微分方程甚至不可解,只能用近似法或圖解法,而在理論力學(xué)的疇,我們可以盡量簡化的形式,是指可解,并能和實(shí)際在一定程度上相適應(yīng)。物體在媒質(zhì)〔如水、空氣及其他中運(yùn)動時(shí),都受到阻力作用,其方向和速度方向相反,煤質(zhì)組里的大小決定于物體的大小、形狀；物體運(yùn)動的速度；煤質(zhì)的溫度吧密度、粘滯系數(shù)等,可用下式表示：f=C是與物體大小形狀有關(guān)的系數(shù),稱為阻力系數(shù)；p為媒質(zhì)密度；S是物體投影在垂直于速度矢量的平面上的面積,稱為居中截面；W是物體速度v的函數(shù),其形式不確定,再有,雖然阻力與物體的大小和形狀有關(guān),但如果考慮其大小形狀,只能把物體看作剛體,則情況更為復(fù)雜,這里只是把物體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn),是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的疇,在具體討論中,假定空氣靜止,物體大小形狀不變,CPS不變,可令至于G則比較復(fù)雜,G只是速度的函數(shù),并且V越大,G就越大,在不同的速度圍其具體形式也不同,可以認(rèn)為：G只是和速度的n次方成正比,即：G=kv,綜合上式,令k=k1k2則：,一般在物體不甚大且運(yùn)動速度比較低,可假定在小于10的情況下,阻力與速度的一次方成正比,即：n=1；在一般的相當(dāng)大的運(yùn)動速度和物體尺寸的圍,可假設(shè)從10到接近或超過音速時(shí),阻力與速度的高次方成正比,n=1的情況符合于一般的常見物體的低速運(yùn)動,n=2的情況符合于現(xiàn)代的航空運(yùn)輸及水力工程上的一些實(shí)用問題,n=3的情況符合于超音速飛機(jī)或火箭的發(fā)射,它需要大大提高發(fā)動機(jī)的性能和功率,綜上所述,對我們所研究的實(shí)際情況,空氣阻力可寫成：求得空氣阻力后,將它運(yùn)用到瀑布的設(shè)計(jì)中,并且只運(yùn)用到第二階段,即瀑布水從挑水坎的頂端到最終落到地面上的時(shí)候,在其中水平速度都在不斷減小,另外在豎直方向上也必將受到空氣阻力的影響,那么也得考慮一下,總的來說只要水在空氣中運(yùn)行就要受到阻力影響。因此再對速度進(jìn)行分解后,可以得到：得到所以可以得到水平速度和豎直方向速度都為再得到其水平距離：9、模型推廣在這個(gè)模型中運(yùn)用了動能定理,牛頓定律等,可以推廣到許多地方問題的求解問題。1.連接體問題：兩個(gè)或兩個(gè)以上物體相互連接并參與運(yùn)動的系統(tǒng)稱為有相互作用力的系統(tǒng),即為連接體問題,處理非平衡狀態(tài)下的有相互作用力的系統(tǒng)問題常常用整體法和隔離法。2.瞬時(shí)性問題當(dāng)一個(gè)物體〔或系統(tǒng)的受力情況出現(xiàn)變化時(shí),由牛頓第二定律可知,其加速度也將出現(xiàn)變化,這樣就將使物體的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變,從而導(dǎo)致該物體〔或系統(tǒng)對和它有聯(lián)系的物體〔或系統(tǒng)的受力發(fā)生變化。3.臨界問題某一物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為另一個(gè)物理現(xiàn)象的轉(zhuǎn)折狀態(tài)叫臨界狀態(tài),臨界狀態(tài)可理解為"恰好出現(xiàn)"或"恰好不出現(xiàn)"的交界狀態(tài)。處理臨界問題的關(guān)鍵是要詳細(xì)分析物理過程,根據(jù)條件變化或狀態(tài)變化,找到臨界點(diǎn)或臨界條件,而尋找臨界點(diǎn)或臨界條件常常用到極限分析的思維方法。10、參考文獻(xiàn)周衍柏,《理論學(xué)教程》,1986年3月,第二版。麟保,《理論學(xué)基礎(chǔ)》,1996年9月,第一版。蔡志東,《全面、準(zhǔn)確理解牛頓第二定律和動量定理》,20XX,第12期。許紅,王建中,《利用時(shí)間傳感器測量重力加速度》,20XX,第二版。龍?zhí)?《工程力學(xué)》,：高等教育,1999年。顧建中,《普通物理學(xué)簡明教程》,：人民。附錄求解角度：v=6;g=9.8;h=10;s=v^2Sin[2]/<2g>+Sqrt[<v^2Sin[2]/<2g>>^2+2h*v^2Cos[]^2/g]Plot[s,{,0,0.5Pi}]1.83673Sin[2]+FindMaximum[s,{,0.5Pi}]{9.32544,{0.375253}}求解長度：g=9.8;=0.375253;h=10;H=19.32544;v1=6;h'=<2*g*l*Sin[]+v1^2>*Sin[]^2/<2g>d=<S