專題13.3 利用軸對稱的性質(zhì)解決將軍飲馬問題之五大題型（原卷版）

專題13.3利用軸對稱的性質(zhì)解決將軍飲馬問題之五大題型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一在幾何中找線段和最小值的點】 1【題型二三角形中線段和的最小值問題】 6【題型三在角中線段和最小值的問題】 13【題型四在全等三角形中線段和最小值的問題】 18【題型五實際問題中的最短路徑問題】 22【典型例題】【題型一在幾何中找線段和最小值的點】例題：如圖，已知，兩點在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點，使；(2)在（圖②）直線上找出一點，使的值最?。?3)在（圖③）直線上找出一點，使的值最大．【變式訓練】1.如圖，在平面直角坐標系中，點．(1)在圖中作出關(guān)于y軸對稱的；(2)在y軸上畫出點P，使得最小，并直接寫出點P的坐標．2．在如圖所示的直角坐標系中，已知，，．(1)在圖中畫出，以及關(guān)于y軸成軸對稱的；(2)的面積為______；(3)在x軸上找一點P，使得的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡）．3．如圖，三個頂點的坐標分別為，，．

(1)請畫出向右平移5個單位長度后得到；(2)在x軸上找出一點P，使的周長最小，并直接寫出點P的坐標．【題型二三角形中線段和的最小值問題】例題：（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，是的角平分線，的面積為12，長為6，點E，F(xiàn)分別是，上的動點，則的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【變式訓練】1．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（

）

A．7 B．9 C．10 D．142．如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是14，腰的垂直平分線分別交，邊于，點，若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為；

3．在中，，D是邊上一點，，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，則的最小值為．4．（2023春·廣東揭陽·七年級惠來縣第一中學?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點D，，點E為邊上的中點，點P為上一動點，則的最小值為．

5．如圖，直線是中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點，若，，．(1)求的最小值，并說明理由．(2)求周長的最小值．6．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．(1)若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是；(2)探究∠B與∠NMA的關(guān)系，并說明理由；(3)連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長；②在直線MN上是否存在點P，使PB+CP的值最小？若存在，標出點P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，說明理由．【題型三在角中線段和最小值的問題】例題：（2023秋·甘肅·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，M是邊上的一個定點，且，N，P分別是邊上的動點，則的最小值是．【變式訓練】1．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點，分別是角兩邊、上的定點，，．點，分別是邊，上的動點，則的最小值是．

2．（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；（2）實踐應用，如圖，點為內(nèi)一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；（3）實踐應用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．【題型四在全等三角形中線段和最小值的問題】例題：直觀感知和操作確認是發(fā)現(xiàn)幾何學習的重要方式，解決下列問題．(1)問題情境：如圖1，三個相同的三角尺拼成一個圖形，直接寫出圖中的平行線；(2)問題理解：如圖2，在三個相同的直角三角形拼成的一個圖形中，若點M是線段BC的三等分點（其中CM>BM），點P是線段AC上的一個動點，畫出BP＋PM取得最小值時點P的位置，并說明理由；(3)問題運用：如圖3，在三個相同的直角三角形拼成的一個圖形中，點M是直線BD上的一個動點，點P是線段CE上的一個動點．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c為常數(shù)），求DP＋PM的最小值．【變式訓練】1．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應點為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點P、Q分別是線段、上的兩個動點（不與點A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時，是直角三角形？【題型五實際問題中的最短路徑問題】例題：（2023春·廣東廣州·八年級華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、B兩個村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．【變式訓練】1．（2023春·八年級課時練習）如圖，A，B兩個村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．2．如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長度．3．（2023春·全國·七年級專題練習）問題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個定點A，B，在直線上是否存在點，使得的值最??？小明的解法如下：如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．問題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長為4，E是斜邊的中點，是邊上的一動點，求的最小值．問題解決：(2)如圖，