高中數(shù)學(xué)《10.3概率與頻率》教學(xué)課件

高中數(shù)學(xué)一年級(jí)10.3頻率與概率新課引入

對(duì)于樣本點(diǎn)等可能的試驗(yàn)，我們可以用古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率，但在現(xiàn)實(shí)中，很多試驗(yàn)的樣本點(diǎn)往往不是等可能的或者是否等可能不容易判斷，例如，拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，或者拋擲一枚圖釘，此時(shí)無(wú)法通過(guò)古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率，我們需要尋找新的求概率的方法.

我們知道，事件的概率越大，意味著事件發(fā)生的可能性越大，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越大；事件的概率越小，則事件發(fā)生的可能性越小，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越小，在初中，我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率去估計(jì)概率，那么，在重復(fù)試驗(yàn)中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關(guān)系呢？溫故知新一.什么是頻率?

在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝

為事件A出現(xiàn)的頻率.顯然，0≤

≤1.

重復(fù)做同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)，設(shè)事件A=“一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上”，統(tǒng)計(jì)A出現(xiàn)的次數(shù)并計(jì)算頻率，再與其概率進(jìn)行比較，我們研究一下有什么規(guī)律？歷史上曾有人做過(guò)拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果如下表：拋擲次數(shù)()正面向上次數(shù)（頻數(shù)）頻率（）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120500530000149840.499672088361240.5011隨機(jī)事件及其概率

電腦模擬試驗(yàn)學(xué)習(xí)新知思考(1)同一組的試驗(yàn)結(jié)果一樣嗎?為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？(2)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？學(xué)習(xí)新知用折線圖表示頻率的波動(dòng)情況,你有什么發(fā)現(xiàn)?結(jié)論:(1)試驗(yàn)次數(shù)n相同，頻率fn(A)可能不同，這說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性(2)從整體來(lái)看，頻率在概率0.5附近波動(dòng).當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，波動(dòng)幅度較大；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，波動(dòng)幅度較小.但試驗(yàn)次數(shù)多的波動(dòng)幅度并不全都比次數(shù)少的小，只是波動(dòng)幅度小的可能性更大.學(xué)習(xí)新知

大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性，一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).

對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記著P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率。

對(duì)于頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系的剖析(1)頻率本身是隨機(jī)的,是一個(gè)變量,在試驗(yàn)前不能確定,做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的事件發(fā)生的頻率會(huì)不同.(2)概率是一個(gè)確定的數(shù),是客觀存在的,與每次的試驗(yàn)無(wú)關(guān).(3)頻率是概率的近似值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會(huì)越來(lái)越穩(wěn)定于概率附近.在實(shí)際問(wèn)題中,通常事件發(fā)生的概率未知,常用頻率作為它的估計(jì)值.學(xué)習(xí)新知典型例題分析：根據(jù)“性別比”的定義和抽樣調(diào)查結(jié)果，可以計(jì)算男嬰出生的頻率；由頻率的穩(wěn)定性，可以估計(jì)男嬰的出生率

例1新生嬰兒性別比是每100名女嬰對(duì)應(yīng)的男嬰數(shù)，通過(guò)抽樣調(diào)查得知，我國(guó)2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.(1)分別估計(jì)我國(guó)2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到0.001);(2)根據(jù)估計(jì)結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷可靠嗎？解：(1)2014年男嬰出生的頻率為2015年男嬰出生的頻率為由此估計(jì)，我國(guó)2014年男嬰出生率約為0.537,2015年男嬰出生率約為0.532.

(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對(duì)男嬰出生率的估計(jì)具有較高的可信度，因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論.由統(tǒng)計(jì)定義求概率的一般步驟（1）確定隨機(jī)事件A的頻數(shù)nA；（2）由fn(A)＝

計(jì)算頻率fn(A)

(n為試驗(yàn)的總次數(shù));（3）由頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學(xué)抽象,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)頻率向概率靠近,只要次數(shù)足夠多,所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率.反思感悟典型例題例2.一個(gè)游戲包含兩個(gè)隨機(jī)事件A和B,規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝，判斷游戲是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是事件A和B發(fā)生的概率是否相等。在游戲過(guò)程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時(shí)，雙方各勝5次；但玩到1000次時(shí)，自己才300次，而乙卻勝了700次，據(jù)此，甲認(rèn)為游戲不公平，但乙認(rèn)為游戲是公平的，你更支持誰(shuí)的結(jié)論？為什么？解：當(dāng)游戲玩了10次時(shí)，甲、乙獲勝的頻率都為0.5;當(dāng)游戲玩了1000次時(shí)，甲獲勝的頻率為0.3,乙獲勝的頻率為0.7.根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會(huì)越來(lái)越小.相對(duì)10次游戲，1000次游戲時(shí)的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時(shí)的頻率離概率更近，而游戲玩到1000次時(shí)，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7,存在很大差距，所以有理由認(rèn)為游戲是不公平的.因此，應(yīng)該支持甲對(duì)游戲公平性的判斷

思考:氣象工作者有時(shí)用概率預(yù)報(bào)天氣，如某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天的降水概率是90%.如果您明天要出門，最好攜帶雨具”，如果第二天沒(méi)有下雨，我們或許會(huì)抱怨氣象臺(tái)預(yù)報(bào)得不準(zhǔn)確，那么如何理解“降水概率是90%”？又該如何評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的結(jié)果是否準(zhǔn)確呢？實(shí)際應(yīng)用提示：降水的概率是氣象專家根據(jù)氣象條件和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)分析推斷得到的．對(duì)“降水的概率為90%”比較合理的解釋是：大量觀察發(fā)現(xiàn)，在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨．只有根據(jù)氣象預(yù)報(bào)的長(zhǎng)期記錄，才能評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性．如果在類似氣象條件下預(yù)報(bào)要下雨的那些天(天數(shù)較多)里，大約有90%確實(shí)下雨了，那么應(yīng)該認(rèn)為預(yù)報(bào)是準(zhǔn)確的；如果真實(shí)下雨的天數(shù)所占的比例與90%差別較大，那么就可以認(rèn)為預(yù)報(bào)不太準(zhǔn)確．例3.某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如下表:投籃次數(shù)8101520304050進(jìn)球次數(shù)681217253239進(jìn)球頻率計(jì)算表中進(jìn)球的頻率;這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是多少?(3)這位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投中8次嗎?不一定.投10次籃相當(dāng)于做10次試驗(yàn),每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的,所以投10次籃的結(jié)果也是隨機(jī)的.概率約是0.80.780.750.800.800.85

0.830.80實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用

公元1053年，大元帥狄青奉旨，率兵征討儂智高．由于士兵士氣不高,很難取勝,為了提高士氣,出征前，狄青拿出一百枚“宋元通寶”銅幣，向眾將士殷殷許愿：“如果錢幣扔在地上，有字的一面會(huì)全部向上，那么這次出兵可以打敗敵人！”在千軍萬(wàn)馬的注目之下，狄青將銅幣用力向空中拋去，奇跡發(fā)生了：一百枚銅幣，枚枚向上．頓時(shí)，全軍歡呼雀躍，將士個(gè)個(gè)認(rèn)定是神靈保佑，戰(zhàn)爭(zhēng)必勝無(wú)疑．事實(shí)上，銅幣正反面都是一樣的！同學(xué)樣想一下，如果銅幣正反面不一樣，那么這一百枚銅幣正面全部向上的可能性大嗎？

如果某種彩票的中獎(jiǎng)概率為1/1000，那么買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)嗎？（假設(shè)該彩票有足夠多的張數(shù).）

不一定。買1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以做1000次的結(jié)果也是隨機(jī)的。雖然中獎(jiǎng)張數(shù)是隨機(jī)的，但這種隨機(jī)性中具有規(guī)律性。隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即隨著買的彩票張數(shù)的增加，大約有1/1000的彩票中獎(jiǎng)。思考：買1000張彩票中獎(jiǎng)的概率為:實(shí)際應(yīng)用鞏固練習(xí)一次性購(gòu)物數(shù)量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）x3025y10結(jié)算時(shí)間（分/人）11.522.532.［2019·西藏林芝一中高三模擬］某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100名顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：已知這100位顧客中一次性購(gòu)物超過(guò)8件的顧客占55%.（1）求x，y的值；（2）求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間超過(guò)2分鐘的概率.練習(xí)3.為了估計(jì)水庫(kù)中魚的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫(kù)中捕出一定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚做上記號(hào)，不影響其存活，然后放回水庫(kù).經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和水庫(kù)中的其他魚充分混合，再?gòu)乃畮?kù)中捕出一定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中帶記號(hào)的魚，假設(shè)有40尾，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)水庫(kù)中魚的尾數(shù)為

.【解題提示】求2000尾魚占水庫(kù)中所有魚的百分比→求帶記號(hào)的魚在500尾魚中占的百分比→根據(jù)二者的關(guān)系列等式→求解，估計(jì)水庫(kù)中魚的尾數(shù)25000小結(jié)

頻率概率區(qū)別本身是隨機(jī)的觀測(cè)值（試驗(yàn)值），在試驗(yàn)前無(wú)法確定，多數(shù)會(huì)隨著試驗(yàn)的改變而變化，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，得到的結(jié)果也會(huì)不同本身是固定的理論值，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，只與事件自身的屬性有關(guān)聯(lián)系頻率是概率的試驗(yàn)值，會(huì)隨試驗(yàn)次數(shù)的增大逐漸穩(wěn)定；概率是頻率理論上的穩(wěn)定值，在實(shí)際中可用頻率估計(jì)概率

用頻率估計(jì)概率，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，反復(fù)計(jì)算事件發(fā)生的頻率，再由頻率的穩(wěn)定值估計(jì)概率，是十分費(fèi)時(shí)的.有沒(méi)有其他方法可以替代試驗(yàn)?zāi)兀?/p>

對(duì)于實(shí)踐中大量非古典概型的事件概率，又缺乏相關(guān)原理和公式求解.因此，我們?cè)O(shè)想通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)解決這些矛盾.

新課引入

我們知道，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件可以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).實(shí)際上，我們也可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)，這樣就可以快速地進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)了.

對(duì)于拋擲一枚質(zhì)地均勻硬幣的試驗(yàn)，我們可以讓計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生取值于集合{0,1}的隨機(jī)數(shù)，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上.這樣不斷產(chǎn)生0,1兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷地做拋擲硬幣的試驗(yàn)。學(xué)習(xí)新知

例:若拋擲一枚均勻的硬幣50次，如果沒(méi)有硬幣，你有什么辦法得到試驗(yàn)的結(jié)果？產(chǎn)生50個(gè)0，1兩個(gè)隨機(jī)數(shù).思考：若拋擲一枚均勻的骰子30次，如果沒(méi)有骰子，你有什么辦法得到試驗(yàn)的結(jié)果？用30個(gè)1～6之間的隨機(jī)數(shù).學(xué)習(xí)新知

一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色不同外沒(méi)有其他差別.對(duì)于從袋中摸出一個(gè)球的試驗(yàn)，我們可以讓計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生取值于集合（1,2,3,4,5}的隨機(jī)數(shù)，用1,2表示紅球，用3,4,5表示白球.這樣不斷產(chǎn)生1~5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷地做從袋中摸球的試驗(yàn).

下表是用電子表格軟件模擬上述摸球試驗(yàn)的結(jié)果，其中n為實(shí)驗(yàn)次數(shù),nA為摸到紅球的頻數(shù)，fn(A)為摸到紅球的頻率.畫出折線圖,從圖中可以看出,隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加,摸到紅球的頻率穩(wěn)定于概率0.4利用隨機(jī)模擬解決問(wèn)題的方法叫蒙特卡洛(MonteCarlo)方法思考：一般地,如果一個(gè)古典概型的基本事件總數(shù)為n,在沒(méi)有試驗(yàn)條件的情況下，你有什么辦法進(jìn)行m次實(shí)驗(yàn),并得到相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果?將n個(gè)基本事件編號(hào)為1，2，…，n，用m個(gè)1～n之間的隨機(jī)數(shù).

思考：如果一次試驗(yàn)中各基本事件不都是等可能發(fā)生，利用上述方法獲得的試驗(yàn)結(jié)果可靠嗎？

學(xué)習(xí)新知蒙特卡洛(MonteCarlo)方法最大優(yōu)點(diǎn):不需要對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行具體操作，可以廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域.例2.從你所在班級(jí)任意選出6名同學(xué),調(diào)查他們的出生月份,假設(shè)出生在一月，二月……十二月是等可能的.設(shè)事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設(shè)計(jì)一種試驗(yàn)方法，模擬20次，估計(jì)事件A發(fā)生的概率.典型例題解：方法1根據(jù)假設(shè)，每個(gè)人的出生月份在12個(gè)月中是等可能的，而且相互之間沒(méi)有影響，所以觀察6個(gè)人的出生月份可以看成可重復(fù)試驗(yàn).因此，可以構(gòu)建如下有放回摸球試驗(yàn)進(jìn)行模擬：在袋子中裝入編號(hào)為1,2,…，12的12個(gè)球，這些球除編號(hào)外沒(méi)有什么差別，有放回地隨機(jī)從袋中摸6次球，得到6個(gè)數(shù)代表6個(gè)人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗(yàn)。如果這6個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)相同，表示事件A發(fā)生了.重復(fù)以上模擬試驗(yàn)20次，就可以統(tǒng)計(jì)出事件A發(fā)生的頻率.典型例題方法2

利用電子表格軟件模擬試驗(yàn).在A1,B1,C1,D1,E1,F1單元格分別輸入"=RANDBETWEEN(1,12)”，得到6個(gè)數(shù)，代表6個(gè)人的出生月份，完成一次模擬試驗(yàn).選中A1,B1,C1,D1,E1,F1單元格，將鼠標(biāo)指向右下角的黑點(diǎn)，按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)到第20行，相當(dāng)于做20次重復(fù)試驗(yàn).統(tǒng)計(jì)其中有相同數(shù)的頻率，得到事件A的概率的估計(jì)值.下表是20次模擬試驗(yàn)的結(jié)果.事件A發(fā)生了14次，事件A的概率估計(jì)值為0.70,與事件A的概率（約0.78)相差不大.典型例題典型例題例3在一次奧運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4.利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)甲獲得冠軍的概率分析：奧運(yùn)會(huì)羽毛球比賽規(guī)則是3局2勝制，甲獲得冠軍的結(jié)果可能是2:0或2:1.顯然，甲連勝2局或在前2局中贏一局輸一局，并贏得第3局的概率，與打滿3局，甲勝2局或3局的概率相同.每局比賽甲可能勝，也可能負(fù)，3局比賽所有可能結(jié)果有8種，但是每個(gè)結(jié)果不是等可能出現(xiàn)的，因此不是古典概型，可以用計(jì)算機(jī)模擬比賽結(jié)果.解:設(shè)事件A=“甲獲得冠軍”，事件B=“單局比賽甲勝”，則P(B)=0.6.用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1,2或3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.由于要比賽3局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn).其中事件A發(fā)生了13次，對(duì)應(yīng)的數(shù)組分別是423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用頻率估計(jì)事件A的概率的近似為13/20=0.65.用隨機(jī)模擬的方法得到的是20次試驗(yàn)中A事件發(fā)生的頻率，它是概率的近似值，事件A的概率的精確值為0.648.方法總結(jié)用隨機(jī)模擬估計(jì)概率的步驟(1)建立概率模型,構(gòu)造或描述概率過(guò)程.構(gòu)造與問(wèn)題相一致的隨機(jī)數(shù)組進(jìn)行模擬.(2)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)按要求產(chǎn)生隨機(jī)變量進(jìn)行模擬試驗(yàn)；(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果,建立估計(jì)量，從中得到問(wèn)題的解.

已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低于40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為

（）

A.0.35 B.0.25

C.0.20 D.0.15B已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低于40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（

）

A.0.35 B.0.25

C.0.20 D.0.15鞏固練習(xí)B1.用隨機(jī)模擬方法估計(jì)概率時(shí)，其準(zhǔn)確度決定于(

)A．產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的大小B．產(chǎn)生的隨機(jī)