專題10.1 基本計(jì)數(shù)原理（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第十章概率專題10.1基本計(jì)數(shù)原理1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)三基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用基本計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，如果需要分成n個(gè)步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．常用結(jié)論兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可題型一分類加法計(jì)數(shù)原理1．集合，，，，5，6，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)，則有，若集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)，則有，合計(jì)，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選：D.2．中國(guó)人民解放軍東部戰(zhàn)區(qū)領(lǐng)導(dǎo)和指揮江蘇?浙江?上海?安徽?福建?江西的武裝力量.某日東部戰(zhàn)區(qū)下達(dá)命令，要求從江西或福建派出一架偵察機(jī)對(duì)臺(tái)海空域進(jìn)行偵查，已知江西有架偵察機(jī)，福建有架偵察機(jī)，則不同的分派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【詳解】根據(jù)題意，由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的分派方案共有種.故選：A.3．完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有6個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方法，從這10個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（

）A．6種 B．10種 C．4種 D．60種【答案】B【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，6+4=10.故選：B.4．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【詳解】解法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法三：所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有個(gè)．在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字（a）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字（a）小于個(gè)位數(shù)字（b）的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故選：B.5．現(xiàn)有3幅不同的油畫(huà)，4幅不同的國(guó)畫(huà)，3幅不同的水彩畫(huà)，從這些畫(huà)中選一幅布置房間，則不同的選法共有（

）A．10種 B．12種 C．20種 D．36種【答案】A【詳解】依題意，不同的選法共有種.故選：A題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理6．把3個(gè)小球放入4個(gè)盒子中，共有（

）種方法.A．81 B．64 C．12 D．7【答案】B【詳解】對(duì)于第一個(gè)小球有4種不同的放法，第二個(gè)小球也有4種不同的放法，第三個(gè)小球也有4種不同的放法，即每個(gè)小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知不同放法共有（種）.故選：B.7．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，每個(gè)人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為種.故選：B.8．用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【詳解】將區(qū)域標(biāo)號(hào)，如下圖所示：因?yàn)棰冖邰軆蓛上噜?，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.9．若3名學(xué)生報(bào)名參加天文?計(jì)算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選1組，則不同的報(bào)名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【詳解】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，則由分步乘法原理可得不同的報(bào)名方式有種，故選：C10．2022年北京冬奧會(huì)的順利召開(kāi)，激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【詳解】由題意，可知每一人都可在四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法原理，不同的選法共有種.故選：C．題型三基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用11．如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上1種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色．如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法數(shù)為（

）A．240 B．300C．420 D．480【答案】C【詳解】以S→A→B→C→D的順序分步染色．第1步，對(duì)S點(diǎn)染色，有5種方法．第2步，對(duì)A點(diǎn)染色，A與S在同一條棱上，有4種方法．第3步，對(duì)B點(diǎn)染色，B與S，A分別在同一條棱上，有3種方法．第4步，對(duì)C點(diǎn)染色，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類．當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420種．故選：C．12．李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出,則不同的選擇方式有()A．24種 B．10種 C．9種 D．14種【答案】D【詳解】分兩類：第一類：選襯衣加裙子，共有種選法；第二類：選連衣裙，共有種選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有種選法.故選：13．中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠?牛?虎?兔?龍?蛇?馬?羊?猴?雞?狗?豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，已知甲同學(xué)喜歡牛?馬，乙同學(xué)喜歡牛?狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有（

）A．90種 B．80種 C．60種 D．50種【答案】D【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①若甲選擇牛，此時(shí)乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，此時(shí)有種不同的選法：②若甲選擇馬，此時(shí)乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，此時(shí)有種不同的選法：則共有種選法.故選：D14．某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個(gè)廣場(chǎng)布置了一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．720種 B．1440種 C．1560種 D．2520種【答案】C【詳解】如圖，不同的布置方案分兩類：當(dāng)與布置相同的花卉時(shí)，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有5種不同的選擇；再安排，有4種不同的選擇；最后安排，有4種不同的選擇，共有種.當(dāng)與布置不同的花卉時(shí)，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有種不同的選擇；再安排,有3種不同的選擇；最后安排，有3種不同的選擇，共有種.所以不同的布置方案有種.故選：C15．如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A．120 B．420 C．300 D．以上都不對(duì)【答案】B【詳解】分4步進(jìn)行分析：①對(duì)于區(qū)域A，有5種顏色可選，②對(duì)于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選;

③對(duì)于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰,有3種顏色可選;④,對(duì)于區(qū)域D、E,若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇,則不同的涂色方案有種;故選：B一、單選題1．用1，2，3，4可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．24 C．36 D．48【答案】B【詳解】先從4個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在百位，有4種；然后從剩下的3個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在十位，有3種；最后從剩下的2個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在個(gè)位，有2種；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.2．“聲東擊西”是游擊戰(zhàn)爭(zhēng)的一種戰(zhàn)術(shù)：聲東可以擊東、南、西、北中的任意一個(gè)方向，以此靈活地打擊或消滅敵人.同樣還有“聲南擊北”等不同的戰(zhàn)術(shù)，由此可知這類戰(zhàn)術(shù)中打擊或消滅敵人的方法總數(shù)為（

）A．16 B．12 C．4 D．3【答案】A【詳解】根據(jù)題意，聲的情況有4種，擊的情況也有4種，所以這類戰(zhàn)術(shù)中打擊或消滅敵人的方法總數(shù)為.故選：A.3．有5名學(xué)生報(bào)名參加3項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為（

）A．243 B．125 C．60 D．120【答案】A【詳解】每名學(xué)生都有種選擇方法，所以不同的報(bào)名方法的種數(shù)為.故選：A4．完成一件事有三類不同方案，在第類方案中有種不同的方法，在第類方案中有種不同的方法，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，其中（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由分類加法計(jì)數(shù)原理得：.故選：A.5．現(xiàn)有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（

）A．15種 B．31種 C．24種 D．23種【答案】D【詳解】除100元人民幣以外的3張人民幣中，每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去5張人民幣全不取的1種情況，所以共有種．故選：D.6．“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108C．144 D．196【答案】C【詳解】按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．第一步，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法.由分步計(jì)數(shù)原理得，填法總數(shù)為.故選：C.7．為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開(kāi)設(shè)了籃球、書(shū)法、美術(shù)、吉他、舞蹈、擊劍共六門(mén)活動(dòng)課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門(mén)活動(dòng)課程參加，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有（

）A．120種 B．114種 C．210種 D．216種【答案】C【詳解】甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門(mén)活動(dòng)課程參加，選法有種，其中這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程全相同的選法有6種，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有種．故選：C.8．古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫(huà)出形狀相同的兩個(gè)陰陽(yáng)魚(yú)，陽(yáng)魚(yú)的頭部有個(gè)陰眼，陰魚(yú)的頭部有個(gè)陽(yáng)眼，表示萬(wàn)物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取出4個(gè)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．20 C．24 D．28【答案】C【詳解】梯形的上、下底平行且不相等，如圖，若以為底邊，則可構(gòu)成2個(gè)梯形，根據(jù)對(duì)稱性可知此類梯形有個(gè)，若以為底邊，則可構(gòu)成1個(gè)梯形，此類梯形共有個(gè)，所以梯形的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：C.二、多選題9．高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．所有可能的方法有種B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【答案】BC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有種選擇方案，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種），正確；對(duì)于選項(xiàng)C：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種），正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種），錯(cuò)誤.故選：BC10．現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫(huà)，2幅不同的油畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)，下列說(shuō)法正確的有（）A．從中任選一幅畫(huà)布置房間，有14種不同的選法B．從這些國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)中各選一幅布置房間，有70種不同的選法C．從這些畫(huà)中選出兩幅不同種類的畫(huà)布置房間，有59種不同的選法D．要從5幅不同的國(guó)畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有9種不同的掛法【答案】ABC【詳解】對(duì)于A中，從國(guó)畫(huà)中選一副有5種不同的選法；從油畫(huà)中選一副有2種不同的選法；從水彩畫(huà)中選一副有7種不同的選法，由分類計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法，所以A正確；對(duì)于B中，從國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)分別有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法，所以B正確；對(duì)于C中，若其中一幅選自國(guó)畫(huà)，一幅選自油畫(huà)，則有種不同的選法；若一幅選自國(guó)畫(huà)，一幅選自水彩畫(huà)，則有種不同的選法；若一幅選自油畫(huà)，一幅選自水彩畫(huà)，則有種不同的選法，由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的選法，所以C正確；對(duì)于D中，從5幅國(guó)畫(huà)中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第一步，從5幅畫(huà)中選1幅掛在左邊墻上，有5種選法；第二步，從剩下的4幅畫(huà)中選1幅掛在右邊墻上，有4種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是種不同的選法，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題11．已知直線中的a，b，c是取自集合中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是．【答案】11【詳解】設(shè)傾斜角為，，則，不妨設(shè)，則，若，a有2種取法，b有2種取法，排除1個(gè)重復(fù)(與)，故這樣的直線有條；若，a有2種取法，b有2種取法，c有2種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有條，從而，符合要求的直線有條．故答案為：11．12．H城市某段時(shí)間內(nèi)發(fā)放的汽車(chē)牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成，其中4個(gè)數(shù)字互不相同，這樣的牌照號(hào)碼共有種．【答案】3407040【詳解】因?yàn)槠?chē)牌照號(hào)碼中的前兩個(gè)是英文字母，所以此處共有（種）排法，又因?yàn)橛⑽淖帜负蠼?個(gè)數(shù)字且4個(gè)數(shù)字互不相同，所以共有（種）排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這樣的牌照號(hào)碼共有（種）.故答案為：3407040.四、解答題13．袋子中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球.有放回摸球兩次，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球(1)第一次摸到白球的概率；(2)兩次都摸到白球的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由于是有放回摸球兩次的摸球，所以每次摸球都有5種選擇，故摸球兩次，所有可能的取法有種，第一次