福建省福州市馬尾區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

福建省福州市馬尾區(qū)2024屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=4?i，則z4+2iA．4?2i B．4+2i C．3+4i5 D．2．已知全集為U，集合M，N滿足M?N?U，則下列運(yùn)算結(jié)果一定為U的是（）A．M∪N B．(C．M∪(?UN)3．已知向量a，b不共線，且c=xa+b，d=2a+(2x?3)A．2 B．?12 C．2或?12 4．沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出AB的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+CD2OA．當(dāng)A．11?332 B．11?432 C．5．若(2?x)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為A，所有項(xiàng)系數(shù)和為B，一次項(xiàng)系數(shù)為C，則A+B+C=A．4095 B．4097 C．?4095 D．?40976．已知角θ的大小如圖所示，則1+sin2θcos2θA．?53 B．53 C．7．已知x>0，y>0，且x+2y+xy?7=0，則x+y的最小值為（）A．3 B．37?3 C．4 8．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=4，an+an+2=2aA．4044 B．4045 C．4046 D．4047二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．已知直線l：(a2+a+1)x?y+1=0A．當(dāng)a=?1時(shí)，直線l與直線x+y=0垂直B．若直線l與直線x?y=0平行，則a=0C．直線l過(guò)定點(diǎn)(0D．當(dāng)a=0時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等10．已知函數(shù)f(x)=cos2x?2sin(πA．f(x)的最大值為3B．f(x)的最小正周期為πC．f(x)的圖像關(guān)于直線x=πD．f(x)在區(qū)間[?3π11．已知同底面的兩個(gè)正三棱錐P?ABC和Q?ABC均內(nèi)接于球O，且正三棱錐P?ABC的側(cè)面與底面所成角的大小為π4A．PA∥平面QBCB．設(shè)三棱錐Q?ABC和P?ABC的體積分別為VQ?ABC和VP?ABCC．平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的425D．二面角P?AB?Q的正切值為?12．已知函數(shù)f(x)=eA．函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是(0B．不等式f(x)>0的解集是(0C．設(shè)g(x)=f′(x)，則g(x)D．對(duì)任意的s，t∈(0三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知等比數(shù)列{an}的公比為2，前n項(xiàng)和為Sn，且6，a2，14．若sin(π615．現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對(duì)如圖所示的正五角星（分割成6個(gè)不同區(qū)域）涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方案共有.16．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，線段F四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且c=?3bcosA.（1）求tanAtanB（2）若c=2，tanC=34，求18．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a3（1）求{a（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T19．為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長(zhǎng)情況，在蘋果園中隨機(jī)采摘了100個(gè)蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布N(0.4，σ2（1）若從該蘋果園中隨機(jī)采摘1個(gè)蘋果，求該蘋果的重量在(0.（2）從這100個(gè)蘋果中隨機(jī)挑出8個(gè)，這8個(gè)蘋果的重量情況如下：為進(jìn)一步了解蘋果的甜度，從這8個(gè)蘋果中隨機(jī)選出3個(gè)，記隨機(jī)選出的3個(gè)蘋果中重量在[0.3，0.重量范圍（單位：kg）[0[0[0個(gè)數(shù)24220．在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，（1）證明：D1（2）若二面角的D1?EC?D的大小為π421．已知橢圓C：x2a2（1）求籿圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：y=kx+m(k，m∈R)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且①求證：△AOB的面積為定值；②橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.22．已知函數(shù)f(x)=x+sinx.（1）設(shè)P，Q是函數(shù)f(x)圖像上相異的兩點(diǎn)，證明：直線PQ的斜率大于0；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使不等式f(x)?axcosx在[0，

答案解析部分1．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算【解析】【解答】解：因?yàn)閦+i=4?i，所以z=4-2i，所以z4+2i故答案為：D.【分析】根據(jù)已知先求z，然后代入式子，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則計(jì)算即可.2．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】集合間關(guān)系的判斷；并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【解析】【解答】解：對(duì)于A，M∪N=N，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，(?UN)∪(?UM)=?UM∩N=?故答案為：D.【分析】由M?N?U，可知集合之間包含關(guān)系，根據(jù)集合運(yùn)算逐個(gè)計(jì)算即可判斷.3．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的共線定理；相等向量【解析】【解答】解：因?yàn)橄蛄縜，b不共線，且c=xa+b，d=2a+(2x?3)b，c∥d所以d?=λc4．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積【解析】【解答】解：如圖，連接OC，

因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)C⊥AB，

又CD⊥AB，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線，

即OD=OA=OB=2，

又∠AOB=60°，

所以AB=OA=OB=2，

則OC=3，

故CD=2?3，

所以s=AB+CD2OA=2+5．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)；二項(xiàng)式系數(shù)【解析】【解答】解：二項(xiàng)式系數(shù)和A=210=1024，

令x=1，則各項(xiàng)系數(shù)和B=（2-1）10=1，

因?yàn)?2?x)10的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C10故答案為：C.【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)和為2n求出A，用賦值法求出所有項(xiàng)系數(shù)和B，再由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求出C，即可求解.6．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用【解析】【解答】解：由圖知tanθ+π4故答案為：C.【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得tanθ+7．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用【解析】【解答】解：因?yàn)閤+2y+xy?7=0，x>0，y>0所以x=7?2y1+y>0，∴0<y<72

所以x+y=x+故答案為：A.【分析】利用已知條件得x=7?2y8．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的遞推公式；數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】【解答】解：因?yàn)閍n+an+2=2an+1+2，所以an+2?an+1?an+1?an=2，

又a1=1，故答案為：B.【分析】由已知遞推式an+an+2=2an+1+2，得數(shù)列an+1?an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)得9．【答案】A,C【知識(shí)點(diǎn)】確定直線位置的幾何要素；兩條直線平行的判定；兩條直線垂直的判定；恒過(guò)定點(diǎn)的直線【解析】【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)a=-1時(shí)，直線l：(a2+a+1)x?y+1=0對(duì)于B，直線l與直線x-y=0平行，則a2+a+1=1，所以a=0或-1，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C，無(wú)論a為何值，a=0時(shí)y=1，直線l過(guò)定點(diǎn)（0，1），故C正確.

對(duì)于D，當(dāng)a=0時(shí)直線l為x-y+1=0，在x軸上截距為-1，在y軸上截距為1，直線l在坐標(biāo)軸上截距不等，故D錯(cuò)誤.【分析】根據(jù)l兩直線垂直的條件A1A2+B1B2=0，可判斷A正確.根據(jù)兩直線平行的條件，斜率相等，求出a，可判斷B錯(cuò)誤.與a無(wú)關(guān)，直線過(guò)定點(diǎn)，可判斷C正確.當(dāng)a=0時(shí)求得兩截距，可判斷D錯(cuò)誤.10．【答案】B,C【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式；二倍角的正弦公式；誘導(dǎo)公式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x)=cos2x?2sin(π=cos2x+sin2x=2sin2x+π4.

對(duì)于A，sin2x+π4∈?1，1，f(x)的最大值為2，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，f(x)的最小正周期T=2π2=【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和公式，將函數(shù)化成y=Asin11．【答案】B,C,D【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；球的體積和表面積；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法【解析】【解答】解：因?yàn)橥酌娴膬蓚€(gè)正三棱錐P?ABC和Q?ABC均內(nèi)接于球O，所以PQ為球的直徑.

取AB中點(diǎn)M，底面ABC中心N，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB.

PN⊥平面ABC，QN⊥平面ABC，所以∠PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角.

即∠PMC=π4，所以PN=MN，設(shè)PN=MN=h，OP=R則ON=R-h，CN=2h，所以R2=2?2+R??2，∴R=52?，QN=4?，PN=?，所以P、C、Q、M四點(diǎn)共面.

所以PA不平行QM，所以PA與平面QBC不平行，故A錯(cuò)誤.

所以VQ?ABC=13S△ABC·QN=13S△ABC·4PN=4VP?ABC，故B正確.

平面ABC截球O所得的截面面積是πCN2=π2h2=4πh2，球的表面積為4πR故答案為：B、C、D.【分析】根據(jù)已知得PQ為球的直徑，∠PMQ為二面角P-AB-Q的平面角，設(shè)P到底面ABC距離為h，球的半徑為R，由R212．【答案】B,D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【解析】【解答】解：對(duì)于A，零點(diǎn)是數(shù)不是點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，令f（x）=exln1+x>0，而y=ex>0恒成立，所以ln1+x>0，所以x∈(0，+∞)，

故B正確；

對(duì)于C，令g(x)=f'(x)=exln1+x+11+x，所以g'x=exln1+x+2x+1(1+x)2，

設(shè)1+x=m(m>0)，則ln1+x+2x+1(1+x)2=lnm+2m?1m2，

設(shè)?m=lnm+2m?13．【答案】?【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差中項(xiàng)【解析】【解答】解：在等比數(shù)列an中，設(shè)公比為q=2，因?yàn)?，a2，a5成等差數(shù)列，所以2a2=6+a5，

即2a1故答案為：?31

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)定義、等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，代入計(jì)算即可.14．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【解析】【解答】因sin(π6?α)=13【分析】先利用誘導(dǎo)公式把已知變形，再利用二倍角公式把所求變形代入數(shù)據(jù)，即可求值.15．【答案】96【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理；基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【解析】【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)中間五邊形區(qū)域?yàn)锳，其余五個(gè)三角形區(qū)域依次為B、C、D、E、F，區(qū)域A，可以涂紅、黃、藍(lán)3種顏色，有3種選法，剩下的5個(gè)區(qū)域都與A相鄰，都有2種選法，則不同的涂色方案共有3×2×2×2×2×2=96種.故答案為：96.【分析】根據(jù)題意，先分析中間區(qū)域的涂色方法，再分析其他5個(gè)區(qū)域涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.16．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），P（x，y），過(guò)P作x軸垂線交x軸于M，因?yàn)閨PQ|=2|QF1|，線段F1P與y軸交于點(diǎn)Q，所以O(shè)F1=2OM故答案為：3?1【分析】先由|PQ|=2|QF1|，線段F1P與y軸交于點(diǎn)Q17．【答案】（1）解：由正弦定理，得sinC=?3sinBcosA，即sin(A+B)=?3sinBcosA.所以sinAcosB+cosAsinB=?3sinBcosA.從而sinAcosB=?4sinBcosA，因?yàn)閏osAcosB≠0，所以tanAtanB（2）解：因?yàn)閠anC=?tan(A+B)=tanA+tanB由（1）知，3tanB4ta解得，tanB=所以tanA=?2.所以sinA=25，所以b=c所以△ABC的面積為12【知識(shí)點(diǎn)】弦切互化；兩角和與差的正弦公式；兩角和與差的正切公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理；三角形中的幾何計(jì)算【解析】【分析】(1)利用正弦定理，將已知條件由邊轉(zhuǎn)化為角，然后把角C轉(zhuǎn)化為A、B，利用兩角和差角公式整理，最后將弦轉(zhuǎn)化為切即可.

（2）利用和角正切公式求得tanB，由（1）可得tanA，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得cosA，從而求得b，代入三角形面積公式即可.18．【答案】（1）解：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則解得a1=9，d=?2，所以（2）解：數(shù)列bn當(dāng)n≤5時(shí)，bn=11?2n，所以當(dāng)n≥6時(shí)，bn=2n?11=2(=2(50?25)?(10n?=n故T【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，列方程組求解即可.

(2)根據(jù)通項(xiàng)去絕對(duì)值，運(yùn)用分類討論思想，求等差數(shù)列前n項(xiàng)和.19．【答案】（1）解：已知蘋果的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布N(0.4，σ2（2）解：由題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=C所以隨機(jī)變量X的分布列為X123P3155所以E(X)=1×3【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差；正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)【解析】【分析】（1）運(yùn)用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，將P(0.5<x≤0.7)轉(zhuǎn)化為P(0.1≤x<0.3)即可.20．【答案】（1）解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為不妨設(shè)AD=AA1則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，因?yàn)锳EEB=λ，所以，E(1，2λ1+λ所以D1故D1（2）解：因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量為又CE=(1，2λ設(shè)平面D1CE的法向量為則n2?所以向量n2因?yàn)槎娼荄1?EC?D的大小為則2(21+λ解得λ=±2又因E是棱AB上的一點(diǎn)，所以λ>0，故所求λ的值為23【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)；二面角的平面角及求法；空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示【解析】【分析】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求得各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)AEEB=λ，得E(1，2λ1+λ，0)，利用兩向量垂直的條件，證明即可.

21．【答案】（1）解：設(shè)橢圓焦距為2c，故2c=2e=所以c=1a=2，則b橢圓C的方程為x2（2）解：①由x24+y2設(shè)A(x1，y1)故y1因?yàn)閗OA所以2m所以|AB|=1+k所以S=1②若存在橢圓上的點(diǎn)P，使得OAPB為平行四邊形，則OP=設(shè)P(x0，又因?yàn)閤0即16k2m又因?yàn)?m故橢圓上不存在點(diǎn)P，使得OAPB為平行四邊形.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的應(yīng)用；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率為12、焦距為2，列出方程組求出a、b即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）①聯(lián)立方程x