bfgs擬牛頓法原理

bfgs擬牛頓法原理Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)擬牛頓法是一種優(yōu)化算法，主要用于求解無約束優(yōu)化問題。它是擬牛頓法的一種，通過構(gòu)造一個(gè)不同于真實(shí)Hessian矩陣的擬Hessian矩陣來近似求解問題，從而提高計(jì)算效率。BFGS方法被廣泛應(yīng)用于大規(guī)模非線性優(yōu)化問題，例如機(jī)器學(xué)習(xí)中的參數(shù)優(yōu)化和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。

BFGS方法的關(guān)鍵是通過維護(hù)一個(gè)對Hessian矩陣的逆矩陣的近似來更新搜索方向。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，BFGS方法通過選擇一個(gè)合適的初始Hessian矩陣近似B_0，計(jì)算搜索方向并更新逆Hessian矩陣的近似，不斷迭代直至收斂。下面將詳細(xì)介紹BFGS方法的原理和具體步驟。

BFGS方法的原理如下：

1.首先設(shè)定初始點(diǎn)x_0，選擇一個(gè)初始的正定對稱矩陣B_0作為Hessian矩陣的逆的近似。

2.在第k次迭代中，計(jì)算搜索方向p_k=-B_k*g_k，其中g(shù)_k為目標(biāo)函數(shù)f(x_k)的梯度。

3.通過選擇一個(gè)合適的步長alpha_k，計(jì)算下一個(gè)迭代點(diǎn)x_{k+1}=x_k+alpha_k*p_k。

4.計(jì)算目標(biāo)函數(shù)在新的迭代點(diǎn)上的梯度g_{k+1}=?f(x_{k+1})。

5.利用BFGS公式更新矩陣B_k的逆的近似，即計(jì)算B_{k+1}=B_k+yy^T/(y^T*s)-B_k*s*s^T*B_k/(s^T*B_k*s)，

其中y=g_{k+1}-g_k，s=alpha_k*p_k是步長乘以搜索方向。

6.判斷終止條件。如果滿足一定的停止準(zhǔn)則，如梯度的范數(shù)小于某個(gè)給定的閾值，或者迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)定的最大次數(shù)，則停止迭代；否則，返回第2步繼續(xù)迭代。

以上就是BFGS方法的基本原理?？梢钥吹剑珺FGS方法通過構(gòu)造逆Hessian矩陣的近似來更新搜索方向，從而達(dá)到快速收斂的效果。其優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算Hessian矩陣，只需要計(jì)算梯度，因此適用于大規(guī)模優(yōu)化問題。

BFGS方法的性能很大程度上取決于初始逆Hessian矩陣的選擇。通常情況下，可以選擇單位矩陣作為初始逆Hessian矩陣的近似，即B_0=I。然后通過迭代更新B_k的值來逐步改進(jìn)近似。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要注意避免逆矩陣近似的不穩(wěn)定性，例如通過添加正則化項(xiàng)或設(shè)置閾值來控制逆矩陣近似的條件數(shù)。

總之，BFGS方法是一種有效的優(yōu)化算法，通過構(gòu)造逆Hessian矩陣的近似來更新搜索方向，從而加速優(yōu)化過程。它的原理簡單，易于實(shí)現(xiàn)。雖然BFGS方法也有一些限制，例如對