信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第2版 課件全套 第1-9章 整除、同余-密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

第1章整除《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》整除主要內(nèi)容本章主要介紹數(shù)論理論中的整除。涉及整除與帶余除法、素?cái)?shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除、算術(shù)基本定理等概念與性質(zhì)。另外，還會(huì)討論連分?jǐn)?shù)及其在公鑰密碼RSA攻擊中的應(yīng)用，最后討論對(duì)于密碼學(xué)有重要價(jià)值的完全數(shù)、梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)等概念。學(xué)習(xí)要求：掌握整除和帶余除法的概念與性質(zhì)，以及相關(guān)的計(jì)算方法及應(yīng)用；掌握最大公因子和輾轉(zhuǎn)相除的概念與性質(zhì)，以及相關(guān)的計(jì)算方法及應(yīng)用；了解連分?jǐn)?shù)的概念與性質(zhì)及其在RSA的Wiener攻擊中的應(yīng)用；了解完全數(shù)、梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)。2CONTENTS目錄整除整除與帶余除法1最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法2算數(shù)基本定理3連分?jǐn)?shù)4完全數(shù)、梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)53第1節(jié)整除與帶余除法整除與帶余除法4整除與帶余除法5主要內(nèi)容本節(jié)主要介紹和整除與帶余除法相關(guān)的基礎(chǔ)定義和定理，涉及內(nèi)容如下：倍數(shù)、因子和真因子的定義和相關(guān)定理；良序定理；整除中被除數(shù)、商和余數(shù)的定義和相關(guān)定理；奇數(shù)和偶數(shù)的定義和相關(guān)定理；素?cái)?shù)和合數(shù)的定義和相關(guān)定理。

整除與帶余除法6

整除與帶余除法7

整除與帶余除法8

整除與帶余除法9第2節(jié)最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法10最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法11主要內(nèi)容本節(jié)首先介紹最大公因子的概念，隨后引出求兩數(shù)最大公因子的輾轉(zhuǎn)相除法，之后則介紹與最大公因子相關(guān)的定義和定理，最后則介紹最小公倍數(shù)。所涉及內(nèi)容如下：公因子和最大公因子的定義；互素的概念；輾轉(zhuǎn)相除法；線(xiàn)性組合等定義和定理；公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的定義和相關(guān)定理。1.2最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法

定義1.2.1

設(shè)a1,a2,…,an是n個(gè)不全為零的整數(shù).若整數(shù)d是它們之中每一個(gè)數(shù)的因子,那么d就稱(chēng)為a1,a2,…,an的一個(gè)公因子.在整數(shù)a1,a2,…,an的所有公因子中最大的一個(gè)稱(chēng)為最大公因子,記作(a1,a2,…,an)或者gcd(a1,a2,…,an).特別地,若(a1,a2,…,an)=1,我們稱(chēng)a1,a2,…,an互素(或互質(zhì)).

定理1.2.1

設(shè)a,b,c是任意三個(gè)不全為零的整數(shù),且a=bq+c,其中q是整數(shù),則(a,b)=(b,c).證明:（思路）

因?yàn)?a,b)|a,(a,b)|b,又c=a?bq,所以(a,b)|c=>(a,b)≤(b,c)……最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法12

最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法13最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法

14

最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法15

最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法16

最大公因子與輾轉(zhuǎn)相除法17第3節(jié)算術(shù)基本定理算術(shù)基本定理18算術(shù)基本定理19主要內(nèi)容本節(jié)首先介紹與素?cái)?shù)運(yùn)算相關(guān)的定理和推論，隨后引出算術(shù)基本定理，該定理用于整數(shù)的分解，最后介紹標(biāo)準(zhǔn)分解式和相關(guān)定理。所涉及的內(nèi)容總結(jié)如下：素?cái)?shù)運(yùn)算的相關(guān)定理和推理；算術(shù)基本定理；素?cái)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式及相關(guān)定理。

算術(shù)基本定理20

算術(shù)基本定理21

算術(shù)基本定理22

算術(shù)基本定理23第4節(jié)連分?jǐn)?shù)連分?jǐn)?shù)24連分?jǐn)?shù)25主要內(nèi)容本節(jié)主要介紹連分?jǐn)?shù)，首先分別介紹有限連分?jǐn)?shù)和無(wú)限連分?jǐn)?shù)的相關(guān)定義，并介紹了它們的簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)和漸進(jìn)分?jǐn)?shù)。之后則介紹了相關(guān)定理，包括漸進(jìn)分?jǐn)?shù)和簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)在滿(mǎn)足特定條件時(shí)的情況。最后則通過(guò)RSA算法中的Wiener攻擊介紹了連分?jǐn)?shù)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用。內(nèi)容總結(jié)如下：有限連分?jǐn)?shù)和無(wú)限連分?jǐn)?shù)，以及簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)和漸進(jìn)分?jǐn)?shù)的定義；漸進(jìn)分?jǐn)?shù)和簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)的相關(guān)定理；循環(huán)連分?jǐn)?shù)；RSA公鑰加密算法和Wiener攻擊。

連分?jǐn)?shù)26

連分?jǐn)?shù)27

連分?jǐn)?shù)28

連分?jǐn)?shù)29

連分?jǐn)?shù)30

連分?jǐn)?shù)31

連分?jǐn)?shù)32

連分?jǐn)?shù)33

連分?jǐn)?shù)應(yīng)用34

連分?jǐn)?shù)應(yīng)用35第5節(jié)*梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)36梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)37主要內(nèi)容本節(jié)分別首先引出完全數(shù)的概念，并介紹了相關(guān)背景定理，隨后分別介紹梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)的定義和相關(guān)定理。內(nèi)容總結(jié)如下：完全數(shù)及其相關(guān)定理；梅森數(shù)和梅森素?cái)?shù)；費(fèi)馬數(shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)；

梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)38

梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)39

梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)40小結(jié)本章小結(jié)數(shù)論與編碼理論、密碼學(xué)等信息科學(xué)領(lǐng)域具有緊密的聯(lián)系，而整除是數(shù)論理論的重要基礎(chǔ).本章對(duì)整數(shù)整除的相關(guān)理論進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。相關(guān)的概念和性質(zhì)包括整除與帶余除法、素?cái)?shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除、算術(shù)基本定理等。同時(shí)，本章還介紹了對(duì)于密碼學(xué)有重要價(jià)值的連分?jǐn)?shù)、完全數(shù)、梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)等概念。41第2章同余《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》42同余主要內(nèi)容本章將主要介紹數(shù)論中的同余理論，包括同余、同余關(guān)系、剩余類(lèi)、完全剩余系和縮剩余系等基本概念和性質(zhì)。另外，本章還將討論歐拉定理、費(fèi)馬小定理、利用擴(kuò)展歐幾里得算法進(jìn)行快速模逆運(yùn)算和威爾遜定理等。學(xué)習(xí)要求掌握同余的概念與性質(zhì)，以及相關(guān)的計(jì)算方法；掌握剩余類(lèi)和剩余系的概念與性質(zhì)，以及相關(guān)的計(jì)算方法；掌握歐拉定理和費(fèi)馬小定理及其相關(guān)的應(yīng)用；掌握擴(kuò)展歐幾里德算法和威爾遜定理及其相關(guān)的應(yīng)用。43CONTENTS目錄同余同余的概念和性質(zhì)1剩余類(lèi)和剩余系2歐拉定理和費(fèi)馬小定理3擴(kuò)展歐幾里得算法和威爾遜定理

444同余的概念和性質(zhì)第1節(jié)同余的概念和性質(zhì)45同余的概念和性質(zhì)46主要內(nèi)容本節(jié)主要介紹同余的概念和性質(zhì)。首先介紹了同余和同余式的定義，并介紹了同余的性質(zhì)和一組同余式之間的關(guān)系。隨后介紹了同余與整除、倍數(shù)和最大公因子等相關(guān)的運(yùn)算定理。涉及內(nèi)容總結(jié)如下：同余和同余式的定義；同余的性質(zhì)，包括自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性；同余運(yùn)算的相關(guān)定理。

同余的概念和性質(zhì)47

同余的概念和性質(zhì)48

同余的概念和性質(zhì)49

同余的概念和性質(zhì)50剩余類(lèi)和剩余系第2節(jié)剩余類(lèi)和剩余系51剩余類(lèi)和剩余系52主要內(nèi)容本節(jié)首先介紹剩余類(lèi)和定義和相關(guān)定理。首先介紹了剩余類(lèi)的定義和性質(zhì)，隨后介紹了可由剩余類(lèi)組成的完全剩余系，并總結(jié)了其性質(zhì)和相關(guān)定理。涉及內(nèi)容可總結(jié)如下：剩余類(lèi)及其代表元；完全剩余系及其相關(guān)定理。

剩余類(lèi)和剩余系53

剩余類(lèi)和剩余系54

定理2.2.3

設(shè)k是滿(mǎn)足(k,m)=1的整數(shù),b是任意整數(shù),若a0,a1,…,am-1是模m的一個(gè)完全剩余系,則ka0+b,ka1

+b,…,kam-1+b也是模m的一個(gè)完全剩余系.即若x遍歷模m的一個(gè)完全剩余系,則kx+b也遍歷模m的一個(gè)完全剩余系.

定理2.2.4

若xi(i=0,1,…,m1-1)是模m1的完全剩余系,yj(j=0,1,…,m2-1)是模m2的完全剩余系,其中(m1,m2)=1,則m2xi+m1yj

(i=0,1,…,m1-1,j=0,1,…,m2-1)是模m1m2的完全剩余系.

剩余類(lèi)和剩余系55歐拉定理和費(fèi)馬小定理第3節(jié)歐拉定理和費(fèi)馬小定理56歐拉定理和費(fèi)馬小定理57主要內(nèi)容本節(jié)首先介紹歐拉函數(shù)和縮系的定義，隨后介紹了相關(guān)定理，用于確認(rèn)剩余類(lèi)的縮系。接下來(lái)引出歐拉定理和費(fèi)馬小定理，并介紹了與二者相關(guān)的運(yùn)算定理。內(nèi)容可總結(jié)如下：歐拉函數(shù)；縮系；歐拉定理；費(fèi)馬小定理；與歐拉定理二者和費(fèi)馬小定理相關(guān)的運(yùn)算定理。

歐拉定理和費(fèi)馬小定理58

歐拉定理和費(fèi)馬小定理59

歐拉定理和費(fèi)馬小定理60

歐拉定理和費(fèi)馬小定理61擴(kuò)展歐幾里得算法和威爾遜定理第4節(jié)擴(kuò)展歐幾里得算法和威爾遜定理6263主要內(nèi)容本節(jié)首先介紹整數(shù)在模空間下逆元的概念，隨后介紹求乘法逆元的擴(kuò)展歐幾里得算法。最后則討論乘法逆元的一種特殊情況，并由此引出威爾遜定理。涉及內(nèi)容總結(jié)如下：逆元；擴(kuò)展歐幾里得算法；乘法逆元的相關(guān)定理；威爾遜定理。擴(kuò)展歐幾里得算法和威爾遜定理

64擴(kuò)展歐幾里得算法和威爾遜定理

定理2.4.2設(shè)r0,r1是兩個(gè)正整數(shù),且r0>r1,設(shè)ri(i=2,…,n)是使用歐幾里德算法計(jì)算(r0,r1)時(shí)所得到的余數(shù)序列且rn+1=0,則可以使用如下算法求整數(shù)sn和tn,使得(r0,r1)=snr0+tnr1.這里sn和tn是如下遞歸定義的序列的第n項(xiàng).且s0=1,t0=0;s1=0,t1=1;si=si?2

?qi?1si?1,ti=ti?2

?qi?1ti?1,其中qi=ri?1/ri,i=2,3,…,n.定理2.4.2中給出的求乘法逆元的算法稱(chēng)為擴(kuò)展歐幾里德算法.證明：（思路）歸納法證明ri=sir0+tir1,i=0,1,…,n.65擴(kuò)展歐幾里得算法和威爾遜定理

66擴(kuò)展歐幾里得算法和威爾遜定理小結(jié)本章小結(jié)本章主要介紹同余、同余關(guān)系、剩余類(lèi)、完全剩余系和縮剩余系等基本概念和性質(zhì)。另外還介紹了歐拉定理、費(fèi)馬小定理、利用擴(kuò)展歐幾里得算法進(jìn)行快速模逆運(yùn)算和威爾遜定理等。同余理論在密碼學(xué)，特別是公鑰密碼學(xué)中有著非常重要的應(yīng)用。67第3章同余方程《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》68主要內(nèi)容本章主要介紹同余方程和線(xiàn)性同余方程的基本概念和性質(zhì)。然后討論如何使用中國(guó)剩余定理求解線(xiàn)性同余方程組。接下去討論二次同余方程的解法——二次剩余理論，并引入與二次剩余相關(guān)的運(yùn)算函數(shù)，即勒讓德符號(hào)與雅可比符號(hào)。最后討論高次同余方程的解法。學(xué)習(xí)要求：掌握線(xiàn)性同余方程、線(xiàn)性同余方程組和中國(guó)剩余定理的概念與性質(zhì)，以及相應(yīng)的求解方法；掌握二次剩余的概念與性質(zhì)，以及相關(guān)的計(jì)算方法和應(yīng)用；掌握勒讓德符號(hào)和雅可比符號(hào)的概念和性質(zhì)，以及其相關(guān)的應(yīng)用；了解高次同余方程的概念和性質(zhì)，以及方程的求解方法.同余方程69CONTENTS目錄同余方程線(xiàn)性同余方程1線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理2二次剩余3勒讓德符號(hào)與二次互反律4雅可比符號(hào)5高次同余方程670第1節(jié)線(xiàn)性同余方程線(xiàn)性同余方程71線(xiàn)性同余方程72主要內(nèi)容本節(jié)首先介紹同余方程和次數(shù)的定義，隨后介紹同余方程的性質(zhì)，作為后續(xù)內(nèi)容的背景知識(shí)。所涉及內(nèi)容總結(jié)如下：同余方程和次數(shù)的定義；同余方程的性質(zhì)。

線(xiàn)性同余方程73

線(xiàn)性同余方程74線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理第2節(jié)線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理75線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理76主要內(nèi)容本節(jié)首先介紹同余方程和次數(shù)的定義，隨后介紹同余方程的性質(zhì)，作為后續(xù)內(nèi)容的背景知識(shí)。所涉及內(nèi)容總結(jié)如下：同余方程和次數(shù)的定義；同余方程的性質(zhì)；

線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理77

線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理78

線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理79

線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理80

線(xiàn)性同余方程組與中國(guó)剩余定理81二次剩余第3節(jié)二次剩余82二次剩余83

二次剩余84

二次剩余85

二次剩余86勒讓德符號(hào)與二次互反律第4節(jié)勒讓德符號(hào)與二次互反律87勒讓德符號(hào)與二次互反律88

勒讓德符號(hào)與二次互反律89

勒讓德符號(hào)與二次互反律90

勒讓德符號(hào)與二次互反律91

勒讓德符號(hào)與二次互反律92雅可比符號(hào)第5節(jié)雅可比符號(hào)93雅可比符號(hào)94

雅可比符號(hào)95

雅可比符號(hào)96

雅可比符號(hào)97

雅可比符號(hào)98

雅可比符號(hào)99

雅可比符號(hào)100本章小結(jié)求解同余方程的各種方法對(duì)許多密碼算法的設(shè)計(jì)和分析具有重要作用。本章我們首先介紹同余方程和線(xiàn)性同余方程的基本概念和性質(zhì)。并且討論了如何使用中國(guó)剩余定理求解線(xiàn)性同余方程組以及二次同余方程的解法——二次剩余理論，并引入與二次剩余相關(guān)的運(yùn)算函數(shù)，即勒讓德符號(hào)與雅可比符號(hào)。進(jìn)一步地，我們介紹了如何求解高次同余方程。同余方程101第4章原根與指數(shù)《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》102原根與指數(shù)主要內(nèi)容本章將主要介紹原根以及預(yù)期相關(guān)的基本知識(shí)。原根和指數(shù)是數(shù)論及其應(yīng)用中一個(gè)重要的概念，在ElGamal密碼算法、Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議（簡(jiǎn)記DH）、橢圓曲線(xiàn)密碼學(xué)和數(shù)字簽名理論中有廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)要求掌握次數(shù)和原根的概念和性質(zhì)，以及相關(guān)的計(jì)算方法和應(yīng)用；掌握指數(shù)和高次剩余的概念與性質(zhì)，以及相關(guān)的計(jì)算方法和應(yīng)用。103CONTENTS目錄原根與指數(shù)次數(shù)1指數(shù)與高次剩余3原根

2104原根與指數(shù)第1節(jié)次數(shù)105原根與指數(shù)106

原根與指數(shù)107

原根與指數(shù)

108

原根與指數(shù)109

原根與指數(shù)110原根與指數(shù)第2節(jié)原根111原根與指數(shù)112

原根與指數(shù)113

原根與指數(shù)114

原根與指數(shù)證明：（思路）

存在整數(shù)u,v滿(mǎn)足u|ordm(a),v|ordm(b),并使得(u,v)=1,uv=[ordm(a),ordm(b)].

xu115

原根與指數(shù)證明：（思路）

數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)定理對(duì)l（l≥2）成立116

原根與指數(shù)117

原根與指數(shù)118指數(shù)與高次剩余第3節(jié)指數(shù)與高次剩余119指數(shù)與高次剩余120

指數(shù)與高次剩余121

指數(shù)與高次剩余122

指數(shù)與高次剩余123

指數(shù)與高次剩余124本章小結(jié)本章小結(jié)本章主要介紹原根以及與其相關(guān)的基本知識(shí)。

原根和指數(shù)是數(shù)論及其應(yīng)用中一個(gè)重要的概念，是后續(xù)相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)。

抽象代數(shù)中循環(huán)群的概念，就與此緊密相關(guān)。同時(shí)，其在ElGamal密碼算法、Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議（簡(jiǎn)記DH）、橢圓曲線(xiàn)密碼學(xué)和數(shù)字簽名理論中有廣泛的應(yīng)用。125第5章群《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》126

群主要內(nèi)容本章主要介紹群的相關(guān)內(nèi)容、子群的概念、陪集與商群的若干性質(zhì)，繼而介紹重要的同態(tài)、同構(gòu)概念以及同態(tài)基本定理,最后介紹兩類(lèi)重要的群——循環(huán)群和置換群。學(xué)習(xí)要求：掌握群的概念和性質(zhì)；掌握陪集、商群等概念及其性質(zhì)；掌握同態(tài)和同構(gòu)的概念及其應(yīng)用，特別是同態(tài)基本定理的應(yīng)用；掌握循環(huán)群和置換群的概念和性質(zhì),了解循環(huán)群和置換群在編碼與密碼學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。127CONTENTS目錄群映射與關(guān)系1群的概念與性質(zhì)2陪集與商集3同態(tài)和同構(gòu)4循環(huán)群5置換群6128第1節(jié)映射與關(guān)系映射與關(guān)系129

映射與關(guān)系130

映射與關(guān)系131

映射與關(guān)系132

映射與關(guān)系133

映射與關(guān)系134

映射與關(guān)系135

映射與關(guān)系136

映射與關(guān)系137

映射與關(guān)系138

映射與關(guān)系139

映射與關(guān)系140

映射與關(guān)系141第2節(jié)群的概念與性質(zhì)群的概念與性質(zhì)142

群的概念與性質(zhì)143

群的概念與性質(zhì)144群的概念與性質(zhì)

145群的概念與性質(zhì)

146

群的概念與性質(zhì)147群的概念與性質(zhì)

148

群的概念與性質(zhì)149群的概念與性質(zhì)

150

群的概念與性質(zhì)151

群的概念與性質(zhì)152群的概念與性質(zhì)

153

群的概念與性質(zhì)154群的概念與性質(zhì)

155群的概念與性質(zhì)

156第3節(jié)陪集與商群陪集與商群157

陪集與商群158

陪集與商群159

陪集與商群160

陪集與商群161

陪集與商群162

陪集與商群163

陪集與商群164

陪集與商群165

陪集與商群166

陪集與商群167第4節(jié)同態(tài)和同構(gòu)同態(tài)和同構(gòu)168

同態(tài)和同構(gòu)169

同態(tài)和同構(gòu)170

同態(tài)和同構(gòu)171

同態(tài)和同構(gòu)172

同態(tài)和同構(gòu)173

同態(tài)和同構(gòu)174第5節(jié)循環(huán)群循環(huán)群175

循環(huán)群176

循環(huán)群177

循環(huán)群178

循環(huán)群179

循環(huán)群180

循環(huán)群181

循環(huán)群182

循環(huán)群183

循環(huán)群184

循環(huán)群185第5節(jié)置換群置換群186

置換群187

置換群188

置換群189

置換群190

置換群191

置換群192

置換群193

置換群194群本章小結(jié)

群、環(huán)和域等代數(shù)理論是近世代數(shù)的基礎(chǔ),對(duì)當(dāng)今數(shù)學(xué)乃至其它學(xué)科有非常重要影響,也推動(dòng)了數(shù)論、幾何學(xué)的發(fā)展.近世代數(shù)學(xué)發(fā)源于19世紀(jì)上半葉的方程理論,主要研究某一方程（組）是否可解,如何求出方程所有的根,以及方程的根有何性質(zhì)等問(wèn)題.法國(guó)數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅瓦（évaristeGalois）在1832年運(yùn)用群的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問(wèn)題.與此同時(shí),當(dāng)代的編碼與密碼學(xué)等信息科學(xué)理論的建立與發(fā)展也以其（特別是有限域）為基礎(chǔ).

本章主要介紹了群的相關(guān)內(nèi)容、子群的概念、陪集與商群的若干性質(zhì),以及重要的同態(tài)、同構(gòu)概念以及同態(tài)基本定理,最后還介紹兩類(lèi)重要的群——循環(huán)群和置換群.195第6章環(huán)與域《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》主要內(nèi)容本章將主要介紹環(huán)與域的基本定義和性質(zhì)，然后討論理想以及相應(yīng)的商環(huán)，幾種特殊類(lèi)型的環(huán)，最后通過(guò)素理想和極大理想的概念，給出一種由已知的環(huán)構(gòu)造域的方法。學(xué)習(xí)要求

學(xué)習(xí)本章之后，應(yīng)該能夠：掌握環(huán)和域的概念和性質(zhì)；掌握子環(huán)、理想、商環(huán)、環(huán)同態(tài)與同構(gòu)的概念和性質(zhì)；理解唯一析因環(huán)、歐幾里得環(huán)和主理想整環(huán)的概念和性質(zhì)；掌握多項(xiàng)式環(huán)的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用；理解素理想和極大理想的概念和性質(zhì)，掌握兩種理想在整環(huán)和域的構(gòu)造中的應(yīng)用。環(huán)與域環(huán)與域環(huán)交換環(huán)整環(huán)域環(huán)、交換環(huán)、整環(huán)與域之間的包含關(guān)系圖CONTENTS目錄環(huán)與域環(huán)與域的概念和性質(zhì)1子環(huán)、理想和商環(huán)

2三類(lèi)重要的環(huán)3多項(xiàng)式環(huán)4素理想和極大理想5環(huán)與域的概念和性質(zhì)第1節(jié)環(huán)與域的概念和性質(zhì)主要內(nèi)容本節(jié)將主要介紹環(huán)與域的基本定義，并探究一些特殊類(lèi)型的環(huán)和域的性質(zhì)，例如交換環(huán)、高斯整數(shù)環(huán)和分式域等。此外，本節(jié)還將給出環(huán)同態(tài)與環(huán)同構(gòu)的定義，并說(shuō)明同態(tài)思想在公鑰密碼學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。環(huán)與域的概念和性質(zhì)環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

環(huán)與域的概念和性質(zhì)

子環(huán)、理想和商環(huán)第2節(jié)子環(huán)、理想和商環(huán)主要內(nèi)容本節(jié)將主要介紹子環(huán)和理想的基本定義，并承接子群與商群的概念，進(jìn)一步介紹由環(huán)的理想生成的商環(huán)。子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)

子環(huán)、理想和商環(huán)三類(lèi)重要的環(huán)第3節(jié)三類(lèi)重要的環(huán)主要內(nèi)容本節(jié)將主要討論三類(lèi)重要的環(huán)——唯一析因環(huán)、主理想整環(huán)與歐幾里得環(huán)，并對(duì)它們所具有的特殊性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)地介紹。三類(lèi)重要的環(huán)

唯一析因環(huán)

唯一析因環(huán)

唯一析因環(huán)

唯一析因環(huán)唯一析因環(huán)

唯一析因環(huán)

唯一析因環(huán)

唯一析因環(huán)

唯一析因環(huán)

主理想整環(huán)

主理想整環(huán)

主理想整環(huán)

歐幾里得環(huán)定理6.3.9歐幾里得環(huán)是主理想整環(huán).

推論6.3.2歐幾里得環(huán)是唯一析因環(huán).歐幾里得環(huán)多項(xiàng)式環(huán)第4節(jié)多項(xiàng)式環(huán)主要內(nèi)容本節(jié)將討論多項(xiàng)式環(huán)，包括交換幺環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)與域上的一元多項(xiàng)式環(huán)，并給出有限域的構(gòu)造方式。多項(xiàng)式環(huán)

交換幺環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)

交換幺環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)

交換幺環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)

交換幺環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)

域上的多項(xiàng)式

域上的多項(xiàng)式

域上的多項(xiàng)式

域上的多項(xiàng)式

域上的多項(xiàng)式

域上的多項(xiàng)式

域上的多項(xiàng)式

域上的多項(xiàng)式

域上的多項(xiàng)式素理想和極大理想第5節(jié)素理想和極大理想主要內(nèi)容本節(jié)將主要討論環(huán)的兩類(lèi)重要的理想——素理想與極大理想，并通過(guò)這兩類(lèi)理想的概念定義，給出一種由已知的環(huán)構(gòu)造域的方法。素理想和極大理想素理想和極大理想

素理想和極大理想

素理想和極大理想

素理想和極大理想

素理想和極大理想

素理想和極大理想

素理想和極大理想環(huán)與域本章小結(jié)

環(huán)與域是在群的基礎(chǔ)上,引入第二種運(yùn)算后產(chǎn)生的代數(shù)結(jié)構(gòu)。較為常見(jiàn)的環(huán)有整數(shù)環(huán)、多項(xiàng)式環(huán)等。

本章首先介紹了環(huán)與域的基本定義和性質(zhì)，然后討論了理想以及相應(yīng)的商環(huán)，幾種特殊類(lèi)型的環(huán)，

最后通過(guò)素理想和極大理想的概念，給出一種由已知的環(huán)構(gòu)造域的方法。第7章有限域《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》有限域主要內(nèi)容本章主要介紹了有限域的相關(guān)概念和性質(zhì)。首先從域的擴(kuò)張出發(fā)，給出有限域的一些重要性質(zhì)，然后介紹有限域中的基，最后探討有限域中多項(xiàng)式的相關(guān)問(wèn)題。學(xué)習(xí)要求：掌握域擴(kuò)張的概念與性質(zhì)；掌握有限域的概念與性質(zhì)及其應(yīng)用；理解基的概念及其應(yīng)用；理解有限域上的多項(xiàng)式分解的方法和理論,了解不可約多項(xiàng)式的概念和構(gòu)造方法.268CONTENTS目錄有限域域的擴(kuò)張1有限域及其性質(zhì)2基3有限域上的多項(xiàng)式4域的擴(kuò)張第1節(jié)域的擴(kuò)張主要內(nèi)容本節(jié)將主要介紹域的擴(kuò)張的相關(guān)概念與性質(zhì)，為后續(xù)理解有限域的代數(shù)結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)。271域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張

域的擴(kuò)張有限域及其性質(zhì)第2節(jié)有限域及其性質(zhì)主要內(nèi)容本節(jié)將簡(jiǎn)要介紹有限域的結(jié)構(gòu)及其若干代數(shù)性質(zhì)。282有限域及其性質(zhì)

2.1有限域及其子域

2.2有限域的群結(jié)構(gòu)

2.2有限域的群結(jié)構(gòu)

2.2有限域的群結(jié)構(gòu)

2.2有限域的群結(jié)構(gòu)（1）有限域中的非零元素表示為該有限域一個(gè)本原元的方冪（2）利用向量來(lái)表示有限域中的元素（3）利用矩陣表示有限域中的元素2.3有限域中元素的表示基第3節(jié)基主要內(nèi)容本節(jié)將主要介紹有關(guān)基的內(nèi)容。為了便于理解，本節(jié)將從跡和范數(shù)的基礎(chǔ)概念入手，進(jìn)一步詳細(xì)地介紹基的定義和性質(zhì)。290基

3.1跡和范數(shù)

3.1跡和范數(shù)

3.1跡和范數(shù)

3.2多項(xiàng)式基和對(duì)偶基

3.2多項(xiàng)式基和對(duì)偶基

3.3正規(guī)基*有限域上的多項(xiàng)式第4節(jié)有限域上的多項(xiàng)式主要內(nèi)容本節(jié)將介紹有限域上的多項(xiàng)式的相關(guān)問(wèn)題，其中包括有限域上的多項(xiàng)式分解和不可約多項(xiàng)式。298有限域上的多項(xiàng)式

有限域上的多項(xiàng)式

有限域上的多項(xiàng)式

4.1有限域上的多項(xiàng)式分解

4.1有限域上的多項(xiàng)式分解

4.1有限域上的多項(xiàng)式分解

4.2有限域上的不可約多項(xiàng)式

4.2有限域上的不可約多項(xiàng)式

4.2有限域上的不可約多項(xiàng)式小結(jié)本章小結(jié)有限域在通信、密碼學(xué)和編碼理論中有著廣泛的應(yīng)用。本章對(duì)有限域的相關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)介紹。從域的擴(kuò)張出發(fā)，給出了有限域的一些重要性質(zhì)，并介紹了有限域中的基，以及探討了有限域中多項(xiàng)式的相關(guān)問(wèn)題。307第8章橢圓曲線(xiàn)《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》橢圓曲線(xiàn)

CONTENTS目錄橢圓曲線(xiàn)仿射平面和射影平面1Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)2橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)3有限域上的橢圓曲線(xiàn)4仿射平面和射影平面第1節(jié)仿射平面和射影平面主要內(nèi)容本節(jié)主要介紹射影平面的概念及其性質(zhì)，從而為后續(xù)橢圓曲線(xiàn)概念中涉及的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)奠定基礎(chǔ)。仿射平面和射影平面

仿射平面和射影平面

仿射平面和射影平面Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)第2節(jié)Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)主要內(nèi)容本節(jié)主要討論Weierstrass方程的性質(zhì)。橢圓曲線(xiàn)就是由該方程確定的。316Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)

Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)

Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)

Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)

Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)

Weierstrass方程與橢圓曲線(xiàn)橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)第3節(jié)橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容本節(jié)將主要介紹橢圓曲線(xiàn)與群結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，通過(guò)巧妙地定義橢圓曲線(xiàn)上的點(diǎn)對(duì)運(yùn)算構(gòu)成Abel群。323橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)

橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)

橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)

橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)

橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)有限域上的橢圓曲第4節(jié)有限域上的橢圓曲線(xiàn)

329有限域上的橢圓曲

有限域上的橢圓曲線(xiàn)

有限域上的橢圓曲線(xiàn)

有限域上的橢圓曲線(xiàn)小結(jié)本章小結(jié)橢圓曲線(xiàn)是算術(shù)代數(shù)幾何中一類(lèi)極為重要的曲線(xiàn)。有限域上橢圓曲線(xiàn)的離散對(duì)數(shù)計(jì)算等問(wèn)題，構(gòu)成了公鑰密碼學(xué)的一類(lèi)主要問(wèn)題，在信息科學(xué)中得到廣泛地應(yīng)用。本章對(duì)橢圓曲線(xiàn)進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，包括仿射空間和射影空間、橢圓曲線(xiàn)、橢圓曲線(xiàn)上的群結(jié)構(gòu)、有限域上的橢圓曲線(xiàn)等。333第9章密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題《信息安全數(shù)學(xué)