2023年河南省TOP20名校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）

2023年河南省TOP20名校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)集合4={利乳刀-2）<0},B={-1,0,1,2},則4nB=（）

A.{-1}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z+l|=—且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x,y）,則（）

A.x=1B.y=lC.x+y=0D.x-y=0

3.下列直線中，可以作為曲線y=cos（2x-今的對(duì)稱軸的是（）

A.X=B.X=C.%D.X=y

4.設(shè)x,y滿足約束條件（，"2，則z=x+2y的最大值為（）

（x2y+4?0

A.1B.2C.4D.8

ZJ.I

5.已知曲線/",，過曲線上48兩點(diǎn)分別作曲線的切線交于點(diǎn)P,

1/riz.n/1

4PJLBP.記A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為%i，%2?則％i%2=（）

A.\B.1C.1D.2

6.尿酸是鳥類和爬行類的主要代謝產(chǎn)物，正常情況下人體內(nèi)的尿酸處于平衡的狀態(tài)，但如

果體內(nèi)產(chǎn)生過多來(lái)不及排泄或者尿酸排泄機(jī)制退化，則體內(nèi)尿酸滯留過多，當(dāng)血液尿酸濃度

大于7,皿,〃時(shí)，人體體液變酸，時(shí)間長(zhǎng)會(huì)引發(fā)痛風(fēng)，而隨低食物（低喋吟食物）對(duì)提高痛風(fēng)

病人緩解率、降低血液尿酸濃度具有較好的療效.科研人員在對(duì)某類隨低食物的研究過程中發(fā)

現(xiàn)，在每天定時(shí)，定量等特定條件下，可以用對(duì)數(shù)模型，/描述血液尿酸濃度

單位：，隨攝入隨低食物天數(shù)t的變化規(guī)律，其中%為初始血液尿酸濃度，K為

參數(shù).己知/“JI,在按要求攝入隨低食物50天后，測(cè)得血液尿酸濃度為15,若使血液尿酸

濃度達(dá)到正常值，則需將攝入隨低食物的天數(shù)至少提高到，Il”i（）

A.69B.71C.73D.75

7.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-2,2］上的大致圖象，則該函數(shù)是（）

AB

-「-/⑺C./(/1?―Z7D.M-

8.已知拋物線C：y2=2px(p>0)焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,點(diǎn)力(3,2門)在C上，直線91與，交于

點(diǎn)B,則踹=()

A.1B.V-2C.CD.2

9.在正方體ABC。-&B1C1D1中，M,N,P分別為&B,&G，&D的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中

錯(cuò)誤的是()

A.MN"AD[B.平面MNP〃平面BG。

C.MN1CDD.平面MNP_L平面480

10.已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=5,圓C'是以圓/+y?=1上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為

1的圓.圓C與圓C'交于4,B兩點(diǎn)，則當(dāng)乙4cB最大時(shí)，('(1/()

A.1B.y/~2C.y/~3D.2

11.已知無(wú)窮數(shù)列｛即｝滿足：如果。m=斯，那么"I,且%=。5=1，。3=-3，

a4=4,a2是由與CZ4的等比中項(xiàng),若｛即｝的前n項(xiàng)和%存在最大值S,則S=()

A.0B.1C.2D.3

12.已知圓臺(tái)01。的上、下底面半徑分別為r,R,高為九，平面a經(jīng)過圓臺(tái)。10的兩條母線,

設(shè)a截此圓臺(tái)所得的截面面積為S,則()

A.當(dāng)/，I：時(shí),S的最大值為。?斗”

(7?+/?)，：+(/?r)Jl

B.當(dāng)人!；;時(shí),S的最大值為

2(/?-r)

C.當(dāng)一II時(shí),S的最大值為。?

S的最大值為“["

D.當(dāng)人n「時(shí),

2(Itr)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知向量2=(1,2),另=(一2,—1)，寫出一個(gè)與G—3垂直的非零向量蕓=.

14.從48等5處水樣監(jiān)測(cè)點(diǎn)中隨機(jī)選3處進(jìn)行水樣檢測(cè)，則48不同時(shí)入選的概率為

15.記△48C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,iv'2aL"a=V_2c,

則?=.

16.已知雙曲線C：胃一，=l(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A,P為C的一條漸近線上一點(diǎn)，4P與

C的另一條漸近線交于點(diǎn)Q,若直線4P的斜率為1,且4為PQ的三等分點(diǎn)，貝IC的離心率為

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛an｝,等差數(shù)列｛%｝滿足“=冊(cè)+與+1，坊=一3,〃，也12.

(1)證明：an-an+2=2；

(2)若｛a.｝為等差數(shù)列，求｛即｝的前n項(xiàng)和.

18.(本小題12.0分)

太平洋是地球上島嶼最多的大洋，有大小島嶼2萬(wàn)多個(gè)，島嶼面積約占世界島嶼總面積的45%,

蘊(yùn)藏著豐富的動(dòng)植物資源.為了解太平洋某海域的島嶼上植物種數(shù)的生態(tài)學(xué)規(guī)律，隨機(jī)選擇了

6個(gè)島嶼，搜集并記錄了每個(gè)島嶼的植物種數(shù)(單位：個(gè))和島嶼面積(單位：平方千米)，整理

得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i123456

島嶼面積X61525344454

植物種數(shù)y51015192431

并計(jì)算得工「2012.V/-12"1.

(1)由數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與％的關(guān)系.根據(jù)表中前4號(hào)樣本數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線

性回歸方程；

(2)根據(jù)所求的線性回歸方程計(jì)算第5,6號(hào)樣本植物種數(shù)的預(yù)報(bào)值y,并與相應(yīng)植物種數(shù)的真

實(shí)值y進(jìn)行比較.若滿足1,則可用此回歸方程估計(jì)該海域其他島嶼的植物種數(shù)，并

估計(jì)面積為100平方千米的島嶼上的植物種數(shù)；若不滿足，請(qǐng)說(shuō)明理由.

關(guān)寶?八Th--y)_^x-nxy._■_

參考么式：入第臼一刀一孤田=1一iy戰(zhàn)2'a=y-bx-

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐A-BCD中，/.BCD=90°,AB=AC=AD.

(1)證明：平面4BD_L平面BCD；

(2)設(shè)BC=CD=2,E為AC的中點(diǎn)，乙BED=90°,求點(diǎn)B到平面4CD的距離.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓C：^+，=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,P為C上一點(diǎn)，。為原點(diǎn)，\PA\=\PO\,

乙4Po=90。，△APO的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)B為C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)(1,0)且斜率不為0的直線，與C交于M,N兩點(diǎn)，證明：

3'>in.\lAHt.m.\H\■

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=xlnx—ax2,77'(%)為/'(%)的導(dǎo)數(shù).

(1)討論f'(x)的單調(diào)性；

(2)若直線［與曲線y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程是'」，為參數(shù))，曲線Q的參數(shù)方程是

(；7-1,，卜.

j--t'.

，，為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的

Iy-廣2

極坐標(biāo)方程為P=1.

(1)求Q,。2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線I與G交于A，B兩點(diǎn)，與交于C,。兩點(diǎn)，\OA\=\OB\,且|OC|=|OD|,求|C￡)|.

23.（本小題12.0分）

已知a,b均不為零，且滿足。2+力2=1證明:

（l）o-b■\2；

a3b1

（2）.?-1

oa

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合A=(x\x(x-2)<0}={x|0<x<2},而8={-1,0,1,2),

所以4nB={1}.

故選:B.

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合4再利用交集的定義求解作答.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由題意，z=x+yi(x,yeR),

由|Z+11=\Z-l\,得J(X+1)2+y2=J.+(y—1)2,

整理得：x+y=0,

故選：C.

由已知可得z=x+yiix.yGR),代入|z+1|=|z-i|,利用復(fù)數(shù)的模相等列式化簡(jiǎn)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解："■''(力

對(duì)于力，當(dāng)％=彳時(shí)，u--必：1,則％［是曲線丫=cos(2x-勺的對(duì)稱軸，A是；

對(duì)于8,當(dāng)％=軻，y.三」，「1，則x=g不是曲線y=cos(2x—勺的對(duì)稱軸，B不是；

對(duì)于C,當(dāng)％=鄂寸，U.、⑺二II,±1,則％］不是曲線、=cos(2%-1)的對(duì)稱軸，C不是；

對(duì)于。，當(dāng)％=莖時(shí)…、:3：=I，則％=與不是曲線y=cos(2x-合的對(duì)稱軸，。不

是.

故選：A.

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)代入驗(yàn)證作答.

本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：作出可行域如圖中陰影部分所示,

z=x+2y化為y=+|,

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，縱截距f最大，

聯(lián)立｛"，解得｛泮，則4。，2)，

此時(shí)Zmax=0+2x2=4.

故選：C.

作出可行域，利用其幾何意義轉(zhuǎn)化為截距最值即可得到答案.

本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：當(dāng)0<x<1時(shí)，/(久)=一：<0,當(dāng)x>1時(shí)，/(x)=：>0,

依題意，曲線/(x)在點(diǎn)4,B處的切線互相垂直，貝I」/,&在1的兩側(cè)，不妨令0</<1<不，

因此?’1,解得x62=l-

故選：B.

分段求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系求解作答.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處切線方程，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)模型(八/.u.iA/,當(dāng)t=50時(shí)，II15,

可得】：，可"即1；?”而)如加L.

設(shè)血液尿酸濃度達(dá)到正常值時(shí)，攝入天數(shù)為t',

則72'I,(A即：23〃〃Jih'/Jv2,

②-①得-s—211/M—,即加，

50Ml?嗚

故選：D.

代入t=50得廣JU.'.21山水,設(shè)濃度為7.“〃.時(shí)，攝入天數(shù)為t',則有

7中打〃2hfnA,通過作差解出t'即可.

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：對(duì)于B,yU_—r<2|>|?II>,

X

…2八，x“_，，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，B不是；

?,，,L-一,

對(duì)于C,,/1---------,x€I-2.IHJii>.2>,r，”，函數(shù)/(x)

i-r(fC

是偶函數(shù)，c不是；

對(duì)于。，V="―-.J?w[_2."JJU),力，/U)-*111D不是；

對(duì)于4,yI---------.x€[-2JHJIII2b/(-X)=-/(x)?函數(shù)

x-<r<r-

f(x)是奇函數(shù)，

且/，1「'Jl>,4符合題意.

故選:A.

根據(jù)給定的函數(shù)圖象特征，利用函數(shù)的奇偶性排除BC；利用-1）的正負(fù)即可判斷作答.

本題主要考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：點(diǎn)4(3,2，？)在拋物線C：y2=2px(p>0)±,

12=2px3,??p=2,F(l,0).

\AF\=I(3-I)2+(2V-3)2=4，

過點(diǎn)4作，的垂線，垂足為H,由拋物線的定義可知|4川=\AF\=

4,

設(shè)/與x軸交于點(diǎn)G,則尸G|=p=2,

\AH\=2|FG|,V.AH//FG,

|4B|=2|BF|,.?.尸為AB中點(diǎn),

\BF\

故選:A.

將點(diǎn)4（3,2門）代入拋物線方程中，可得p=2,過點(diǎn)4作，的垂線，垂足為H,，與x軸交于點(diǎn)G,則

\AH\^2\FG\,所以尸為中點(diǎn)，從而可得提的值.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】解：對(duì)4在A/liBCi中，因?yàn)镸,N分別為&B,&G的

中點(diǎn)，

所以MN〃BC1又BC\〃AD\,所以MN〃AD°A正確.

對(duì)B,在△&BD中，因?yàn)镸,P分別為4山的中點(diǎn)，

所以MP〃BD,

因?yàn)镸PC平面BG。，BOu平面BQO,

所以MP〃平面BCi。

因?yàn)镸N//BC],MNC平面BG。，BC】u平面8G。，

所以MN〃平面BG。.

又因?yàn)镸PCMN=M,MP,MNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面BQ。，B正確.

對(duì)C,因?yàn)镸N〃4Di，ADr1CD,所以MN1CD,C正確.

對(duì)D,取BO的中點(diǎn)E,連接4E,EG，則N&EC1是二面角①一BD-G的平面角.

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則I：EQ--,,0,

2?（黃尸**

又n.4（/（1,Isi,則.I/Cf,

所以平面A/D與平面BCi。不垂直.

又平面MNP〃平面BG。，

所以平面MNP與平面不垂直，D錯(cuò)誤.

故選：D.

根據(jù)中位線以及平行的傳遞性判斷選項(xiàng)4根據(jù)面面平行的判定定理判斷選項(xiàng)8；由平行的性質(zhì)

可判斷選項(xiàng)C；先證明平面48D與平面BGD不垂直.再根據(jù)平面MNP〃平面BGD即可判斷選項(xiàng)

D.

本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

10.【答案】D

【解析】解:在A4BC中,\(BC遙，如圖所示:

Z.ACB"又函數(shù)y=sinx在(0,勺上遞增,

顯然0<\AB\<2,是銳角,疝

1C|證

因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦AB最大時(shí)，乙4cB最大，此時(shí)弦4B為圓C'的直徑,

在RM4CC'中，\Ce!MI,\('iI,所以J"\.1。:」('，-2.

故選：D.

根據(jù)給定條件，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.

本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：由%=1,a4=4,a?是由與的等比中項(xiàng)，得。2=±2,

若。2=2,由%=&5=1及已知，得。6=2,由。3=—3,得a7=-3,則a,-內(nèi)

因此數(shù)列｛an｝的項(xiàng)依次為：1,2,-3,4,1,2,-3,4,數(shù)列｛%｝是以4為周期的數(shù)列,

顯然「I.'.I.'；,數(shù)列｛Sm｝單調(diào)遞增，無(wú)最大項(xiàng)，因此數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和

無(wú)最大值；

若。2=-2,同理可得數(shù)列｛冊(cè)｝的項(xiàng)依次為：1,-2,-3,4,1,-2,-3,4,數(shù)列｛an｝是以

4為周期的數(shù)列，

S]=1,S2=-1,S3=-4,S4=0,S5=1,、I,SQ=0,…,

數(shù)列｛Sn｝是以4為周期的數(shù)列，且?1,1，*1I,Ih此時(shí)｛an｝的前

九項(xiàng)和Sn存在最大值，

所以Sn的最大值5=1.

故選：B.

由是的與a4的等比中項(xiàng)求出a2,再分情況計(jì)算判斷作答.

本題主要考查數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：如圖，將圓臺(tái)。1。補(bǔ)成圓錐PO.

設(shè)圓臺(tái)為。的母線長(zhǎng)為，，則M=/+(R—r)2,等腰梯形4BCC為過兩母線的截面.

rx7?/

設(shè)PC=x,"PB=。，由/Q，得"百

則S<r-/r—/-.、，〃〃，

22,2(R-r)

當(dāng)，一U「時(shí)，e<90°,當(dāng)s譏9最大,即截面為軸截面時(shí)面積最大,

則S的最大值為2r\hR./?I.-.

當(dāng)八1(.，時(shí)，9>90°,當(dāng)s譏8=1時(shí)，截面面積最大，

則s的最大值為骷?四喘華力.

故選：D.

通過將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，利用圖形分"r和”〃，?討論即可.

本題主要考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，解題的關(guān)鍵的是通過補(bǔ)圖，利用三角形相似和三角形面積公式求

解即可，考查分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】(1,一1)(答案不唯一)

【解析】解：由題意可知abi3.3),設(shè)日=(x,y),則3x+3y=0,

取x=1,則y=-l,則與a-3垂直的非零向量可以為不=(1,-1).

故答案為：(1,一1)(答案不唯一).

首先計(jì)算“，工小，設(shè),=(%/),利用向量垂直，數(shù)量積為0,即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】Yo

【解析】解：設(shè)5處水樣監(jiān)測(cè)點(diǎn)分別為4B,C,D,E,從中隨機(jī)選擇3處的結(jié)果有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，

其中4,B同時(shí)入選的有ABC,ABD,ABE,共3種情況，

所以4B不同時(shí)入選的概率P=1-磊=5.

故答案為：

對(duì)另外3處水樣監(jiān)測(cè)點(diǎn)編號(hào)，利用列舉法結(jié)合古典概率求解作答.

本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1

【解析】解：?'v2?/bitiniB,

???在48c中，由正弦定理得、【八八3”小

則\一1，整理得\二、；心(,",".1，

(wtBcmC

vAG???sinAH0,則cosC=殍，

??,CE(0,7r),-*-C=p

又”\L，則由正弦定理得、I\l，

???A€(O,TT),???A=/,???B=3,??.Z?=c,'1.

故答案為：1,

利用正弦定理及三角恒等變換得。sin4cosc=sinA,貝UcosC=殍，可得2,C,最后得到角B,

即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】三

【解析】解：己知直線AP的斜率為1,

設(shè)PQ所在的直線方程為y=x+a,

又雙曲線的漸近線方程為y=±：x,

b,

消x可得“「巴，

b-a

0+a

b,

（1一丁

消X可得”廣匕，

又A為PQ的三等分點(diǎn)，

里旦

b-aub

即a=3b,

即M-W[*!<-'!kr,

即￡=色，

a3

即C的離心率為等.

故答案為：

由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線離心率的求法求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎(chǔ)題.

17.【答案】（1）證明：設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由，…,12,得M12,

由瓦=-3,得d=-2,故%=—2n—1,

即〃?ll,

遞推，得八,-2n-3^

a

①一②得an-n+2=2,

故冊(cè)-an+2=2得證.

(2)解：若｛an｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d',

由“+2一。九=一2,可得2/2,則d'=1l.

又.u,a,(.?2H1,,.2a-tf2H1,：?an=-n,???ar=-1,

???5｝的前71項(xiàng)和又?(~X~W)n--y:.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得d,從而可得b=-2九-1,則

an+an+1=—2n—1,a?o,._2ii作差即可證明；

(2)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d',由(1)解得力=-1,結(jié)合an+a“+i=-2n-1求出0n=-小再利用

等差數(shù)列求和公式即可得到答案.

本題主要考查數(shù)列的遞推式，數(shù)列的求和，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中

檔題.

18.【答案】解：⑴依題意，“S+lSyS+MnS+W+J

4

FXM.-tri/

人H"1201-4x20x12.25

用「_?xMIO-'"a=”12.25-II7、202.25,

iwl

所以所求線性回歸方程為y(I,-,,-

(2)當(dāng)x=44時(shí)，！/-業(yè)「，?”?2125-yi/\21.521」311

當(dāng)x=54時(shí)，(I,",.-2.2；2<t2r>>，：2'<Jj111.7j1.

所以不能用此回歸方程估計(jì)該海域其他島嶼的植物種數(shù).

【解析】(1)根據(jù)給定數(shù)表，求出再利用最小二乘法公式求解作答.

(2)利用(1)中線性回歸方程，按要求計(jì)算并判斷作答.

本題考查線性回歸方程的性質(zhì)，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：如圖，取BD的中點(diǎn)F,連接AF,CF,EF,

v乙BCD=90°,BF=DF,：.BF=CF.

y.-.-AB=AC,4F為公共邊，

..,.?ZFB=/-AFC.

同理可得乙4FC=N4FD,.?.NAFB=44FD,

?.?乙H/J、￡AFDiso,,.z,4Fa=Z4FC=Z4FD=90，

AF1BD,AF1CF,

又?F，BD,CFu平面BCD,

AF_L平面BCD,又AFu平面4BD,

.,?平面ABD1平面BCD；

(2)在ABDE中，,:乙BED=9Q°,F為BD的中點(diǎn)，EF=

???BC=CD=2,4BCD=90。，BD=2/7,EF=V-2.

在AACF中，???ZJ1FC=9O。，E為4c的中點(diǎn)，

Z

AC1EF2V2.

在Rt^ACF中，.112\l.CFv2，則AF=C，

m平面BCD,??.AF為三棱錐4-BCD的高，

???三棱錐4-88的體積一八，.，lS",AF1.2.vti

'1

由"AD2\2.CD2，

可得△ACO的面積、t.,i\,

設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為d,

山%-4CD=匕-BCD'

得)、!，,■!”，解得d2v12，

337

故點(diǎn)B到平面4CD的距離為享.

【解析】(1)取BC的中點(diǎn)F,連接45，CF,EF,首先通過三角形全等證明4F1BC,AF1CF,

再利用面面垂直的判定即可證明；

(2)首先求出1,彳‘，再利用等體積法即可求出點(diǎn)B到平面ACD的距離.

本題考查面面垂直的證明，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，等體積法求解點(diǎn)面距問

題，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)不妨設(shè)點(diǎn)P在%軸的上方,由橢圓的性質(zhì)可知|。川=a,

naa，“（一_a『（-r

???△4P。是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，J代入「一『1,212-

/f/r>->1）_?I?—1,-?'?7_■?■??I

a1（ra'tr

整理得a?=3b2,AP。的面積為1,',?'I；1,a2—4,b2=J,故橢圓C的方程為1+

2234

軍=1：

(2)證明：設(shè)直線4M的斜率為七，直線BN的斜率為七，MQi，%)N(X2，y2)，

直線MN的方程為％=my+1,

不妨設(shè)y2VoV%則tan_MAH,A.Itn./）I,

2+：；：二4，可得（病+3）y2+2my-3=0,

LI/〃/3

A11.",3II，則“'一/；一振3'、1及=一訴5,

;，即2血丫1%=3(%+丫2)，

k\工|十2班(〃讖-1).〃一物一10.2(粉十二)-M./.1

工._22'^1生—帆2a+2^

..：6人1，："〃〃.1/1〃tan.XII\-

【解析】(1)通過分析得四：1,將其坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合△4P。面積和Q,b,C的關(guān)系即

可求出橢圓方程；(2)設(shè)直線4M的斜率為七，直線BN的斜率為七，M(x1,y1)/V(x2,y2),直線MN的

方程為％=my+1,再將其與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，通過化簡(jiǎn)得2叫/1丫2=3(%+為)，最后

計(jì)算自，將上式代入即可證明其為定值.

本題考查了直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，屬中檔題.

21.【答案】解:(1)設(shè)，…f,■332a.1,g(x)的定義域?yàn)?0,+8),

Mi）入，

當(dāng)a40時(shí),g'(x)>肘g(x)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增,

當(dāng)a>。時(shí)，令g'(x)=0,得x=

若xe(0,5,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

若xe(三,+8),Il,g(x)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，((x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，尸(久)在區(qū)間(0,點(diǎn))上單調(diào)遞增，則弓,+8)上單調(diào)遞減.

(2)直線，,與曲線y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程“J:有兩個(gè)解,

令，，其中x>。，則“⑸二號(hào)+捺二^2^，

令s(%)=%—%伍工+?2,則.■/」,「，

當(dāng)0<%<1時(shí)，sz(x)>0,此時(shí)函數(shù)s(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)%>1時(shí)，s'(%)<0,此時(shí)函數(shù)s(%)單調(diào)遞減.

由111??\s(e2)=0,得0V%<1時(shí)，x—xlnx4-e2=x(l-Znx)4-e2>0,則w'(%)>0；

當(dāng)，/?時(shí)，s(x)>s(e2)=0,則”(X)>0；

當(dāng)%>e?時(shí)，s(%)<s(e2)=0,則"(%)<0,

所以函數(shù)9。)在區(qū)間(o,/)上單調(diào)遞增，在區(qū)間,「?、))上單調(diào)遞減，

則伊(X)max=W(?2)=裊

當(dāng)%趨近于+8時(shí)，9(%)趨近于0,即當(dāng)%>e州寸，(p(x)>0；

當(dāng)工趨近于0時(shí)，@(x)趨近于一8.

故要使直線y:與曲線y=/(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，則需?！?即可.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是IL\I