全國優(yōu)質課一等獎人教版九年級數學上冊《第二十一章一元二次方程（全章總結）》復習課件

一元二次方程章節(jié)總結第二十一章學習目標1）了解一元二次方程的概念，會把一元二次方程化成為一般形式。2）利用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程。3）利用一元二次方程解決實際問題。重點利用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程。難點利用一元二次方程根與系數的關系進行計算。

解一元二次方程方法為本章基礎內容，它的計算量相對較大，對正確率要求比較高，要求根據方程的結構，選用合適的方法解方程。大題通?？疾槔靡辉畏匠探鉀Q實際問題（如利潤題型、面積題型、增長率等）。本章的難點在于根與系數關系部分，基礎考查兩根和與兩根乘積，綜合考查利用根與系數的關系求代數式的值，難度較大，需要多加練習，靈活運用根與系數關系變形求解！01基礎回顧02熱考題型03直擊中考基礎回顧基礎鞏固（一元二次方程的概念）只含有_______未知數（元），并且未知數最高次數是_____，等號兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。一個2整式ax2+

bx

+

c

=

0（a≠0）一元二次方程的一般形式為___________________________________。二次項一次項常數項二次項系數一次項系數【提問】為什么強調a≠0基礎鞏固（一元二次方程的概念）一元一次方程一元二次方程一般形式相同點不同點一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）整式方程，只含有一個未知數未知數最高次數是1未知數最高次數是2基礎鞏固（直接開平方法）一般地，對于方程x2＝p，1)當p＞0時，根據平方根的意義，方程有兩個________________的實數根______________________；2)當p＝0時，根據平方根的意義，方程有兩個________________的實數根______________________；3)當p＜0時，因為對于任意實數x，都有x2____0，所以方程_______實數根。不相等相等x1＝x2＝0無≥

基礎鞏固（直接開平方法）一般地，對于方程(mx＋n)2＝p，1)當p＞0時，根據平方根的意義，方程有兩個________________的實數根______________________；2)當p＝0時，根據平方根的意義，方程有兩個________________的實數根______________________；3)當p＜0時，因為對于任意實數x，都有(mx＋n)2____0，所以方程_______實數根。不相等相等

無≥

基礎鞏固（配方法）將方程通過配成____________形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個一元二次方程轉化成______一元一次方程來解。(若方程二次項系數為1時，方程兩邊加)用配方法解一元二次方程的關鍵：將一元二次方程配成完全平方形式。完全平方降次兩個一次項系數一半的平方基礎鞏固(公式法)一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。判別式概念：判別式表示：通常用希臘字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.

由前面的推導過程，可知：1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有____________________________的實根。1）若△=0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有____________________________的實根。1）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）____________________________實根。即當Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根為兩個不相等兩個相等無注意：a，b，c的符號基礎鞏固（因式分解法）利用因式分解法求解一元二次方程的基本步驟①移項，使一元二次方程等式右邊為0;②分解，把左邊運用因式分解法化為兩個一次因式相乘的形式;③賦值，分別令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程;④求解，分別解這兩個一元一次方程，得到方程的解?；A鞏固（一元二次方程根與系數關系）如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么根與系數的關系（韋達定理）內容應用條件：?≥0內容應用利用一元二次方程解決實際問題：1）傳播問題：明確每輪傳播中的___________個數，以及這一輪被傳染的__________．2)增長率問題：①如果增長率問題中的基數為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數量為____________，第二次增長后的數量為____________．②如果下降率問題中的基數為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數量為__________，第二次下降后的數量為___________．3）幾何問題：

①常見幾何____________是等量關系。

②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程?；A鞏固（利用一元二次方程解決實際問題）傳染源總數a(1＋x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2周長面積圖形平移利用一元二次方程解決實際問題：4)數字問題：

①若個位數字為a，十位數字為b，百位數字為c，則十位數字表示為____________.百位數字表示_____________.

②日歷中的某個日期，左右相差___________，上下相差___________.

5）利潤問題：單件利潤=___________,總利潤=________________6)表格問題：理解題干內容，從題干中獲取信息。7）動點問題：在動點中觀察圖形的變化情況，需理解動點在圖形不同位置情況，才能做好計算推理過程。在變化中找到不變的性質是解決動點問題的基本思路?；A鞏固（利用一元二次方程解決實際問題）100c+10b+a10b+a17售價-進價單件利潤×銷量熱考題型

1）用直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程。

2）一元二次方程根的判別式，有兩種考查方式：①給出一元二次方程，求方程的根的情況。②給出帶有參數的一元二次方程和根的情況，求參數的取值范圍。

3）一元二次方程的根與系數的關系，主要考查方式：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根；②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數；③不解方程求關于根的式子的值，如求x12+x22等；④判斷兩根的符號；⑤求作新方程；⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值。4）列一元二次方程解決實際問題，以實際生活為背景，命題比較廣泛（常見的題型是增長率/傳播問題）.

（題型一：一元二次方程定義及一般式）

（題型二：配方法求解一元二次方程）

（題型三：公式法求解一元二次方程）

（題型四：判別式）

（題型五：分解因式法求解一元二次方程）

【詳解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；當x2﹣x＝﹣2時，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程無實數解；當x2﹣x＝6時，x2﹣x+1＝7，故選A．（題型六：一元二次方程根與系數的關系）

（題型六：一元二次方程根與系數的關系）

（題型七：利用一元二次方程解決實際問題）1.矩形面積為864平方步，寬與長共60步，問長與寬各多少步．利用所學知識，可求出長與寬分別是_______________2.組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊都要比賽一場.根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，則比賽組織者應邀請_________個隊參賽？

【詳解】解：設長為x步，則寬為（60?x）步，依題意，得：x（60?x）＝864，解得：x1＝36，x2＝24，答：長與寬分別是36步，24步，（題型七：利用一元二次方程解決實際問題）

（題型七：利用一元二次方程解決實際問題）

直擊中考

一元二次方程是初中數學的重要內容，在歷次中考中均占重要地位。根據近幾年各地中考發(fā)現，考查題型不固定，基礎題、中檔題、難題均有涉及，解答題中通常會出現解一元二次方程的題型，這類題型較為基礎，應用題會出現一元二次方程、一元二次方程組，不等式綜合命題，而且一元二次方程常與二次函數、解直角三角形、圓等知識綜合命題作為中考壓軸題出現。

11．（江蘇省泰州市中考數學真題）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？【詳解】解：設道路的寬應為x米，由題意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)答：道路的寬應為4米．類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價（元/件）3025銷售價（元/件）453712．（貴州省畢節(jié)市中考數學真題）2022北京冬奧會期間，某網店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價-進貨價）

(1)網店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數；(2)第一次購進的冰墩嫩鑰匙扣售完后，該網店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？(3)冬奧會臨近結束時，網店打算把B款鑰匙扣調價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經調查發(fā)現，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？（3）解：設B款冰墩墩鑰匙扣降價a元銷售，則平均每天多銷售2a件，每天能銷售(4+2a)件，每件的利潤為(12-a)元，由題意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩鑰匙扣售價為34元或30元一件時，平均每天銷售利潤為90元．嘗試求解問題一、二第二十一章一元二次方程章末總結21.2解一元二次方程第4課時：一元二次方程根與系數的關系第二十一章學習目標1）掌握一元二次方程根與系數的關系。2）利用一元二次方程根與系數的關系進行簡單計算。重點掌握一元二次方程根與系數的關系。難點利用一元二次方程根與系數的關系進行簡單計算。探索一元二次方程根與系數的關系

解下列方程并完成填空：方程兩根兩根和x1+x2兩根積x1x2x1x2x2?2x=02x2+3x-2=0341270220-2

-1

觀察方程的系數與兩根的和與積有什么聯(lián)系？把猜想的結果在小組內交流。

探索一元二次方程根與系數的關系

ax2+bx+c而

ax2+bx+c=

則

.根據兩個多項式相等的規(guī)定，得

探索一元二次方程根與系數的關系

（考查一元二次方程根與系數的關系）

注意：1)必須先求證Δ≥0才可以使用韋達定理

2)先把方程化為一般式，才能使用韋達定理（考查一元二次方程根與系數的關系）變式1-1小明說：“一元二次方程x2+x+2=0中，兩根之和為-1，兩根之積為2。”你覺得他說的對嗎？不存在，一元二次方程x2+x+2=0中b2-4ac<0，方程無實數根。（已知一元二次方程一個根求另一個根）典例2若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一個解為x=﹣1，則另一個解為（）A．1 B．﹣3 C．3 D．4【詳解】設方程的另一個解為x1，根據題意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3，故選C．（已知一元二次方程一個根求另一個根）變式2-1已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值。解：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數關系，得x1×2=3k=-6∴x1

＝-3答：方程的另一個根是-3,k的值是-2。利用一元二次方程根與系數的關系計算技巧

（利用根與系數的關系進行計算）

411464（利用根與系數的關系進行計算）

解：由根與系數的關系得x1+x2=-k,x1.x2=k+2，而x12+x22=4

即(x1+x2)2-2x1x2=4∴k2-2(k+2）=4

解得：k=4或k=－2∵△=k2-4k-8當k=4時，△＜0當k=-2時，△＞0∴k=-2（利用根與系數的關系進行計算）變式3-2若一個矩形的長和寬是一元二次方程x2-10x+20=0的兩根，求這個矩形的周長和面積？（利用根與系數的關系求解未知數的值）

（利用根與系數的關系求解未知數的值）

（利用根與系數的關系進行計算）（提高）

（利用根與系數的關系進行計算）（提高）變式5-1若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的兩個實數根，則α2+3α+β的值為（）A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010【詳解】α,β是方程x2+2x?2005=0的兩個實數根，則有α+β=?2.α是方程x2+2x?2005=0的根,得α2+2α?2005=0,即：α2+2α=2005.所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α?2=2005?2=2003，故選B.如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么根與系數的關系（韋達定理）內容應用條件：?≥0內容應用第4課時：一元二次方程根與系數的關系21.3實際問題與一元二次方程第1課時：傳播問題和增長率問題第二十一章學習目標1）根據實際問題中的數量關系，正確列出一元二次方程。2）根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理。3）通過一元二次方程解決實際生活問題。重點通過一元二次方程解決實際生活問題。難點通過實際問題中的數量關系，列方程并求解。1）審：分清已知未知，明確數量關系；2）設：設未知數；3）列：列方程；4）解：解方程；5）驗：根據實際驗結果；6)答：寫出答案。列方程解決方程的基本步驟利用一元二次方程解決傳播問題

有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，開始傳染源一輪傳染二輪傳染具體傳播過程…………………………xx(x+1)分析：1）開始傳染源_________人；2）第一輪后有_________人患了流感；3）第二輪傳染中，已經患病的人平均又傳染了x人，第二輪后有___________人患了流感；x+1xx

+

1

（）1傳染源數、第一輪被傳染數和第二輪被傳染數的總和是121

個人．列方程

1

+

x

+

x(1

+

x)=

121解方程得x1=10，x2=-12

（不合題意，舍去）

答：平均一個人傳染了10個人．利用一元二次方程解決傳播問題

有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，開始傳染源一輪傳染二輪傳染具體傳播過程………………………………xx(x+1)【問題】如果按照這樣的傳播速度，第三輪傳染過后總共會有多少人得流感？121+121×10=1331（人）前2輪患病人數第三輪患病人數三輪總共患病人數利用一元二次方程解決傳播問題若某人感染流感，假設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，填空：起始人數傳播人數傳播后人數第一輪1x第二輪第三輪…………第n輪mx+1x+1x(x+1)

x(x+1)+x+1x[x(x+1)+x+1]

mx

解決“傳播問題”的關鍵步驟是：明確每輪傳播中的傳染源個數，以及這一輪被傳染的總數．【溫馨提示】疫情期間，戴口罩，勤洗手，多鍛煉，少去人多的地方聚集，切不可掉以輕心。利用一元二次方程解決傳播問題某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？假設每個支干長出2枝

假設每個支干長出3枝

假設每個支干長出n枝

利用一元二次方程解決傳播問題某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？解：設每個支干長出x

個小分支，

則

1+x+x2=91解方程，得x1=9，x2=-10（不合題意，舍去）

答：每個支干長出9個小分支（利用一元二次方程解決傳播問題）典例1某班一物理科代表在老師的培訓后學會了某個物理實驗操作，回到班上后第一節(jié)課教會了若干名同學，第二節(jié)課會做該實驗的同學又教會了同樣多的同學，這樣全班共有36人會做這個實驗；若設1人每次都能教會x名同學，則可列方程為()A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36【詳解】設1人每次都能教會x名同學，根據題意得：1+x+(x+1)x＝36．故選B．（利用一元二次方程解決傳播問題）變式1-1為了宣傳垃圾分類，童威寫了一篇倡議書，決定用微博轉發(fā)的方式傳播．他設計了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個好友轉發(fā)，每個好友轉發(fā)之后，又邀請n個互不相同的好友轉發(fā)，依次類推．已知經過兩輪轉發(fā)后，共有111個人參與了宣傳活動，則n的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【詳解】由題意，得

n+n2+1=111，解得：n1=-11（舍去），n2=10，故選B．（利用一元二次方程解決比賽/握手/紅包/贈送類問題）

【詳解】解：根據題意得：每人要贈送（x-1）張賀卡，有x個人，

∴全班共送：（x-1）x=1980，

故選：D．（利用一元二次方程解決比賽/握手/紅包/贈送類問題）變式2-1今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內所有人共收到90個紅包，則該群一共有_____人．【詳解】解：設該群一共有x人，則每人收到（x﹣1）個紅包，依題意，得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．故答案為：10．（利用一元二次方程解決比賽/握手/紅包/贈送類問題）

（利用一元二次方程解決比賽/握手/紅包/贈送類問題）變式2-3有n支球隊參加籃球比賽，共比賽了15場，每兩個隊之間只比賽一場，則下列方程中符合題意的是()A．n(n﹣1)＝15 B．n(n+1)＝15C．n(n﹣1)＝30 D．n(n+1)＝30

利用一元二次方程解決增長率問題1．某農戶的小麥產量年平均增長率為

x，第一年的產量為

50000kg，第二年的產量為____________kg，第三年的產量為______________kg．50000(1

+

x)2．某糧食廠2016年面粉產量為a噸，如果在以后兩年平均減產的百分率為

x，那么預計

2017年的產量將是_________．2018年的產量將是__________．a(1–x)

年平均增長率為

x5000050000(1+x)

利用一元二次方程解決增長率問題

兩年前生產

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產技術的進步，現在生產

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降額較大？思考：什么是下降額？下降率如何計算？下降額=下降前的量-下降后的量增長額=增長后的量-增長前的量利用一元二次方程解決增長率問題

兩年前生產

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產技術的進步，現在生產

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降額較大？乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3600）÷2=1200（元）．甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000（元），顯然，乙種藥品的年平均下降額較大利用一元二次方程解決增長率問題解：設甲種藥品成本的年平均下降率為

x一年后甲種藥品成本為____________元，兩年后甲種藥品成本為____________元．

答：甲種藥品成本的年平均下降率為0.225

【擴展】下降率是用減少的數除以原數，則所得結果必定小于1，因此不能大于或等于1。

兩年前生產

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產技術的進步，現在生產

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？利用一元二次方程解決增長率問題

兩年前生產

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產技術的進步，現在生產

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？解：設乙種藥品成本的年平均下降率為

x一年后乙種藥品成本為____________元，兩年后乙種藥品成本為____________元．

答：乙種藥品成本的年平均下降率為0.225

兩種藥品成本的年平均下降率相等，成本下降額較大的產品，其成本下降率不一定較大。

成本下降額表示絕對變化量，成本下降率表示相對變化量，兩者兼顧才能全面比較對象的變化狀況。利用一元二次方程解決增長率問題理解變化率1)如果增長率問題中的基數為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數量為____________，第二次增長后的數量為____________．2)如果下降率問題中的基數為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數量為__________，第二次下降后的數量為___________．a(1＋x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2（利用一元二次方程解決增長率問題）典例3某校去年對操場改造的投資為3萬元，預計今明兩年的投資總額為9萬元，若設該校今明兩年在操場改造投資上的平均增長率是x，則可列方程為_____________________.

（利用一元二次方程解決增長率問題）變式3-1某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個．設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196【詳解】一般增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示八、九月份的產量：八、九月份的產量分別為50（1+x）、50（1+x）2，從而根據題意得出方程：50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故選C．（利用一元二次方程解決增長率問題）變式3-2我市某樓盤準備以每平方6000元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產的新政策出臺后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉，房地產開發(fā)商對價格經過連續(xù)兩次下調后，決定以每平方4860元的均價開盤銷售，則平均每次下調的百分率是（）.A．8% B．9% C．10% D．11%【解析】設平均每次下調的百分率為x，由題意，得6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下調的百分率為10%．故選C．列方程的步驟01提問根據實際問題的數量關系列一元二次方程02巧妙通過數學方法解決實際問題03第1課時：傳播問題和增長率問題21.3實際問題與一元二次方程第2課時：幾何問題和數字問題第二十一章學習目標1）根據實際問題中的數量關系，正確列出一元二次方程。2）根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理。3）通過一元二次方程解決實際生活問題。重點通過一元二次方程解決實際生活問題。難點通過實際問題中的數量關系，列方程并求解。1）審：分清已知未知，明確數量關系；2）設：設未知數；3）列：列方程；4）解：解方程；5）驗：根據實際驗結果；6)答：寫出答案。列方程解決方程的基本步驟利用一元二次方程解決幾何問題

要設計一本書的封面，封面長

27cm，寬

21cm，正中央是一個矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？2721【分析】封面的長寬之比是9∶7，中央的矩形的長寬之比也應是9∶7。設中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是：9a7a=9(3-a):7(3-a)=9:7利用一元二次方程解決幾何問題

要設計一本書的封面，封面長

27cm，寬

21cm，正中央是一個矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？27219a7a整理,得：16y2-

48y

+

9

=

0

方程的哪個根合乎實際意義？為什么？

則上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm利用一元二次方程解決幾何問題

要設計一本書的封面，封面長

27cm，寬

21cm，正中央是一個矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？27219a7a

則上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm利用一元二次方程解決幾何問題

如圖,在一塊長為92m,寬為60m

的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊，水渠應挖多寬？

分析：設水渠寬為xm，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個新的矩形，長為(92–2x)m,寬(60-x)m.解：設水渠的寬應挖xm.(92-

2x)（60-

x）=6×885.解得x1=105(舍去），x2=1.注意：結果應符合實際意義609260-x92-2x利用一元二次方程解決幾何問題解：設這個長方體底面邊長為xm，則3x2＝4.32，解得：x＝1.2或x＝﹣1.2（舍去）∴該木箱的底面周長為4x＝4.8（m），答：該木箱的底面周長4.8m．

現有一個長方體木箱，底面是一個正方形，高為3m，體積為4.32m3，求該木箱的底面周長。xx3利用一元二次方程解決幾何問題

等腰梯形的面積為160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求這個梯形的高。

解：設這個梯形的高為xcm，則上底為（x+4）cm，下底為(x+20)cm.根據題意得整理，得解得x1=8,x2=－20(不合題意，舍去)答：這個梯形的高為8cm.幾何問題與一元二次方程幾何圖形常見幾何圖形面積是等量關系.類型課本封面問題小路寬度問題常采用圖形平移，聚零為整方便列方程.（利用一元二次方程解決幾何問題）

典例1（利用一元二次方程解決幾何問題）變式1-1在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=080cmxxxx50cm25m180m2（利用一元二次方程解決幾何問題）變式1-2某農場要建一個長方形的養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場的一邊靠墻(墻長25m)，另外三邊用木欄圍成，木欄長40m。養(yǎng)雞場的面積能達到180m2嗎？如果能，請給出設計方案，如果不能，請說明理由.x解:設養(yǎng)雞場的長為xm,根據題意得:

即x2-40x+360=0.解方程,得x1=

x2=

(舍去),

答：雞場的為（）m滿足條件.利用一元二次方程解決數字問題讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）將題干內容轉換為數學語言：一個兩位數（不小于30），個位數字比十位數字大3，且個位數字的平方剛好等于這個兩位數，求這個兩位數是多少？

利用一元二次方程解決數字問題如果一個數的相反數等于這個數的平方，這個數是多少？【詳解】解：設這個數為x，列方程-x=x2整理得x（x+1）=0，解得x1=0，x2=-1利用一元二次方程解決數字問題

一個兩位數的個位數字與十位數字的和為9，并且個位數字與十位數字的平方和為45，求這個兩位數.

（利用一元二次方程解決數字問題）典例2兩個相鄰自然數的積是132．則這兩個數中，較大的數是（）A．11 B．12 C．13 D．14【詳解】解：設這兩個數中較大的數為x，則較小的數為（x﹣1），依題意，得：x（x﹣1）＝132，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合題意，舍去）．故選：B．（利用一元二次方程解決數字問題）

變式2-1（利用一元二次方程解決日歷問題）變式2-2如圖所示的是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個正方形圈出3×3個位置相鄰的9個數（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個數中，最小數x與最大數的積為192，那么根據題意可列方程為（）A．x(x+3)=192 B．x(x+16)=192C．(x+8)(x-8)=192 D．x(x-16)=192【詳解】解：根據圖表可以得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，設最小數為x，則最大數為x+16，根據題意得出：x（x+16）=192，故選：B．第2課時：幾何問題和數字問題21.3實際問題與一元二次方程第3課時：利潤問題、表格問題和動點問題第二十一章學習目標1）根據實際問題中的數量關系，正確列出一元二次方程。2）根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理。3）通過一元二次方程解決實際生活問題。重點通過一元二次方程解決實際生活問題。難點通過實際問題中的數量關系，列方程并求解。1）審：分清已知未知，明確數量關系；2）設：設未知數；3）列：列方程；4）解：解方程；5）驗：根據實際驗結果；6)答：寫出答案。列方程解決方程的基本步驟九年級學生小明在暑假期間進行勤工儉學.問題一：他每天在村上以每斤2.5元買進黃瓜，到市場以每斤4元賣掉黃瓜，那么他賣1斤黃瓜的利潤是

元；問題二：如果他每天買進并賣完300斤黃瓜，則他每天銷售利潤是

元。1.5450售價-進價=單件利潤單件利潤×銷量=總利潤利用一元二次方程解決利潤問題某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？分析：設襯衫單價應降x元，根據題意可列表分析單價利潤銷量總利潤降價前4020800降價后120040-x20+2x（40-x）（20+2x）=1200求這個一元二次方程的解，站在商家角度你覺得如何降價合適？利用一元二次方程解決利潤問題

某商店進了一批服裝，進貨單價為50元，若按每件60元出售，則可銷售800件；若每件再提價1元出售，則其銷售量就減少20件?，F在預算要獲利潤12000元，應按每件多少元出售？（僅列方程）分析：如果設襯衫單價為x元，根據題意可列表分析進價售價單價利潤銷量總利潤提價前5060108008000提價后50

xx-50

800-20（x-60）12000（x-50）[800-20（x-60）]=12000如果設提價x元，你能根據提示信息列出方程嗎？（10+x）（800-20x）=12000利用一元二次方程解決利潤問題某工廠生產的某種產品按供需要求分為十個檔次．若生產第一檔次（最低檔次）的產品，一天可生產76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產量將減少4件．設產品的檔次（每天只生產一個檔次的產品）為x，請解答下列問題．1）用含x的代數式表示：一天生產的產品件數為_______件，每件產品的利潤為________元；檔次銷售量（件）單件利潤（元）1（最低）7610234.........10（最高）127214681664284010+2（x-1）76-4（x-1）解（1）一天生產的產品件數為[76-4（x-1）]=（80-4x）件，每件產品的利潤為[10+2（x-1）]=（8+2x）元，利用一元二次方程解決利潤問題某工廠生產的某種產品按供需要求分為十個檔次．若生產第一檔次（最低檔次）的產品，一天可生產76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產量將減少4件．設產品的檔次（每天只生產一個檔次的產品）為x，請解答下列問題．2）若該產品一天的總利潤為1080元，求這天生產產品的檔次x的值．（2）當利潤是1080元時，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，整理得：-8x2+128x+640=1080，解得：x1=5，x2=11，因為x=11＞10，不符合題意，舍去．因此取x=5，當生產產品的質量檔次是在第5檔次時，一天的總利潤為1080元．（利用一元二次方程解決利潤問題）典例1某種新產品進價是120元，在試銷階段發(fā)現每件售價（元）與產品的日銷售量（件）始終存在表中的數量關系：商場經理給該件商品定價為x元時，每日盈利可達到1600元。則可列方程為（

）A．（x-120）（200-x）=1600 B．x（200-x）=1600

C．（x-120）（180-x）=1600 D．x（180-x）=1600每件售價（元）130150165每日銷售量（件）705035【詳解】設定價為x元時，每件盈利是（x-120）元，銷售的件數是[70-(x-130)]件，盈利是（x-120）[70-(x-130)]元，所以（x-120）[70-(x-130)]=1600，即，（x-120）（200-x）=1600，故選：A．（利用一元二次方程解決利潤問題）變式1-1某電商銷售一款夏季時裝，進價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件，每銷售一