人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題6.4 排列與組合（重難點(diǎn)題型檢測）（教師版）

專題6.4排列與組合（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）下列問題是排列問題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個(gè)不同的點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？C．集合a1D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？【解題思路】根據(jù)排列的定義逐個(gè)選項(xiàng)辨析即可.【解答過程】A中握手次數(shù)的計(jì)算與次序無關(guān)，不是排列問題；B中線段的條數(shù)計(jì)算與點(diǎn)的次序無關(guān)，不是排列問題；C中子集的個(gè)數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān)，不是排列問題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D.2．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知n，m為正整數(shù)，且n≥m，則在下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A．A63=120； B．A12【解題思路】據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及排列數(shù)公式計(jì)算可得【解答過程】解：對(duì)于A，A6對(duì)于B，因?yàn)镃127=對(duì)于C，因?yàn)閚，m為正整數(shù)，且n≥m，所以令n=3,m=1，則Cnm+Cn+1對(duì)于D，Cn故選：C.3．（3分）（2022春·江蘇·高二階段練習(xí)）不等式An5≤12A．n∣2≤n≤5,n∈N B．n∣3≤n≤6,n∈NC．5 D．5,6【解題思路】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式，結(jié)合n的取值范圍，即可求得結(jié)果.【解答過程】由An5≤12Cn化簡整理得n2?7n+10≤0，解得2≤n≤5，又因?yàn)閚≥5，所以故選：C.4．（3分）（2022春·吉林長春·高二期中）從5本不同的書中選出3本分別送3位同學(xué)每人一本，不同的方法總數(shù)是（

）A．10 B．60 C．243 D．15【解題思路】根據(jù)排列定義即可求解．【解答過程】不同的方法總數(shù)是A5故選：B.5．（3分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)期間，從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰壺”“花樣滑冰”“短道速滑”三項(xiàng)比賽志愿者工作，其中冰壺項(xiàng)目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．則不同的支援方法的種數(shù)是（

）A．36 B．24 C．18 D．42【解題思路】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及組合公式求解即可.【解答過程】第一步從3名男志愿者和2名女志愿者各選一名志愿者去支援冰壺項(xiàng)目，選法共有C3第二步從剩余的3人中選一人去支援花樣滑冰，選法共有C3第三步從剩余的2人中選一人去支援短道速滑，選法共有C2依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的支援方法的種數(shù)是6×3×2=故選：A.6．（3分）（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．為傳承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每藝安排一次講座，共講六次．講座次序要求“禮”在第一次，“數(shù)”不在最后，“射”和“御”兩次相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．20種【解題思路】由題意，將“射”和“御”捆綁看作一個(gè)元素與“樂”和“書”進(jìn)行全排列，再將“射”和“御”交換位置，最后安排“數(shù)”，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【解答過程】解：因?yàn)椤岸Y”在第一次，所以只需安排后面五次講座的次序即可，又“數(shù)”不在最后，“射”和“御”兩次相鄰，所以先將“射”和“御”捆綁看作一個(gè)元素與“樂”和“書”進(jìn)行全排列有A33種排法，再將“射”和“御”交換位置有A2所以根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有A3故選：B.7．（3分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）綠水青山就是金山銀山，浙江省對(duì)“五水共治”工作落實(shí)很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個(gè)省市宣傳，每個(gè)省市至少一個(gè)志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒有條件限制，共有多少種不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【解題思路】本題分抽取的4人中含甲和不含甲兩大類討論，采取捆綁法分析情況，再利用加法和乘法原理得到所有情況即可.【解答過程】4人去3個(gè)省份，且每個(gè)省至少一個(gè)人則必會(huì)有兩人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在這四人中任意取兩人進(jìn)行捆綁，則共有C4②若4人中含有甲，則在剩余的4人中抽取3人，共有C43=4種，接下來若甲和另1人去同一省份，則共有C31綜上共有36+96=132種.故選：B.8．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是（

）A．每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為AC．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為(D．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C【解題思路】對(duì)于選項(xiàng)A，每人有4種安排法，故有45種；對(duì)于選項(xiàng)B，5名同學(xué)中有兩人工作相同，先選人再安排；對(duì)于選項(xiàng)C，先分組再安排；對(duì)于選項(xiàng)D【解答過程】解：①每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為45，即選項(xiàng)A②每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C52A③如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為：（C53C21④分兩種情況：第一種，安排一人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有C31,從余下四人中安排三個(gè)崗位故有C31C從余下三人中安排三個(gè)崗位A33，故有甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C3即選項(xiàng)D正確，故選：D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春·重慶萬州·高二階段練習(xí)）下列等式正確的是（

）A．n+1AnC．Cnm【解題思路】利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【解答過程】對(duì)于A，n+1A對(duì)于B，n!n對(duì)于C，Cnm=Anmm!，而m!對(duì)于D，1n?m故選：ABD.10．（4分）（2022春·浙江寧波·高二期中）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1，A2，A3，A4是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)M，N處的甲?乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N，A．甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為20B．甲從M必須經(jīng)過A3到達(dá)NC．甲乙兩人能在A3D．甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為162【解題思路】由M到N的最短路徑向上3步，向右3步，問題為6步中任選3步向上或向右走，根據(jù)各選項(xiàng)的描述，同理分析各種走法的種數(shù)，即可確定答案.【解答過程】A：從M到達(dá)N只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法種數(shù)為C6B：從M到A3的走法有C32，再到達(dá)N的走法有C32C：由上，甲經(jīng)過A3的走法有9種，同理乙經(jīng)過AD：要使甲乙以相同的速度相遇，則相遇點(diǎn)A1，A2，A3，A4中的一個(gè)，而在A1、A4相遇各有1種走法，在A故選：AB.11．（4分）（2022春·江蘇南通·高二階段練習(xí)）2022年2月5日晩，在北京冬奧會(huì)短道速滑混合團(tuán)體接力決賽中，中國隊(duì)率先沖過終點(diǎn)，為中國體育代表團(tuán)拿到本屆奧運(yùn)會(huì)首枚金牌.賽后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，張雨婷5名運(yùn)動(dòng)員從左往右排成一排合影留念，下列結(jié)論正確的是（

）A．武大靖與張雨婷相鄰，共有48種排法B．范可欣與曲春雨不相鄰，共有72種排法C．任子威在范可欣的右邊，共有120種排法D．任子威不在最左邊，武大靖不在最右邊，共有78種排法【解題思路】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列與排列數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷即可.【解答過程】解：A項(xiàng)中，武大靖與張雨婷相鄰，將武大靖與張雨婷排在一起有A2再將二人看成一個(gè)整體與其余三人全排列，有A4由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有A2B項(xiàng)中，范可欣與曲春雨不相鄰，先將其余三人全排列，有A3再將范可欣與曲春雨插入其余三人形成的4個(gè)空位中，有A4由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有A3C項(xiàng)中，任子威在范可欣的右邊，先從五個(gè)位置中選出三個(gè)位置排其余三人，有A5剩下兩個(gè)位置排任子威、范可欣，只有1種排法，所以任子威在范可欣的右邊，共有A5D項(xiàng)中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，張雨婷5人全排列，有A5任子威在最左邊，有A44種排法，武大靖在最右邊，有任子威在最左邊，且武大靖在最右邊，有A3所以任子威不在最左邊，武大靖不在最右邊，共有A5故選：ABD.12．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）為響應(yīng)政府部門疫情防控號(hào)召，某紅十字會(huì)安排甲?乙?丙?丁4名志愿者奔赴A，B，C三地參加防控工作，則下列說法正確的是（

）A．不同的安排方法共有64種B．若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法共有42種C．若甲?乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有44種D．若該紅十字會(huì)又計(jì)劃為這三地捐贈(zèng)20輛救護(hù)車（救護(hù)車相同），且每地至少安排一輛，則不同的安排方法共有171種【解題思路】根據(jù)分類、分布計(jì)數(shù)原理和排列、組合，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】對(duì)于A中，安排甲?乙?丙?丁4名志愿者奔赴A，B，C三地參加防控工作，每人都有3種安排方法，則不同的安排方法共有34對(duì)于B中，若恰有一地?zé)o人去，則需先在三地中選出兩地，再將4人安排到這兩個(gè)地方，不同的安排方法有C3對(duì)于C中，根據(jù)題意，需將4人分為3組，若甲?乙在同一組，有1種分組方法，又甲?乙兩人不能去A地，所以安排甲?乙一組到B地或C地，有2種情況，剩余2組安排到其余2地，有A22種情況，此時(shí)不同的安排方法有若甲?乙不在同一組，有C42?1=5所以安排沒有甲?乙的一組去A地，甲?乙所在的兩組安排到B，C兩地，有A2此時(shí)不同的安排方法有5A22所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，只需將20輛救護(hù)車排成一排，在形成的19個(gè)間隙中插入擋板，將20輛救護(hù)車分為3組，依次對(duì)應(yīng)A，B，C三地即可，此時(shí)不同的安排方法有C192=171故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022秋·江西上饒·高二階段練習(xí)）若C82x?1=C8x+3，則x=【解題思路】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得到方程，解得即可；【解答過程】因?yàn)镃8所以2x?1=x+3或2x?1+x+3=8,解得x=4或x=2，經(jīng)檢驗(yàn)成立，故答案為：4或2.14．（4分）（2022春·北京順義·高二階段練習(xí)）從5名男生和2名女生中，選出3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有25種．【解題思路】計(jì)算反面全是男生的方法數(shù)，運(yùn)用排除法即可.【解答過程】從5名男生和2名女生中,選出3名代表的方法數(shù)為C7從5名男生和2名女生中,選出3名代表全是男生的方法數(shù)為C5所以從5名男生和2名女生中,選出3名代表,要求至少包含1名女生的方法數(shù)為35?10=25，故答案為：25.15．（4分）（2022春·河北保定·高二階段練習(xí)）某單位計(jì)劃安排6名志愿者在人民路上相鄰的6個(gè)十字路口進(jìn)行“創(chuàng)建文明城市”的宣傳活動(dòng)，每個(gè)路口安排一名志愿者，則甲、乙兩名志愿者必須在相鄰兩個(gè)路口，丙不在第一個(gè)和最后一個(gè)路口的安排方式共有144種．【解題思路】將甲、乙兩名志愿者看作一個(gè)整體，再與其余四名志愿者全排列，減去甲、乙兩名志愿者必須在相鄰兩個(gè)路口，且丙在第一個(gè)或最后一個(gè)路口的情況求解.【解答過程】當(dāng)甲、乙兩名志愿者必須在相鄰兩個(gè)路口時(shí)，利用“捆綁法”，將甲、乙兩名志愿者看作一個(gè)整體，再與其余四名志愿者全排列，一共有A2當(dāng)甲、乙兩名志愿者必須在相鄰兩個(gè)路口，且丙在第一個(gè)或最后一個(gè)路口時(shí)，一共有A2故所求安排方式一共有A2故答案為：144.16．（4分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為5040．【解題思路】參加“演講團(tuán)”人數(shù)分為有1人或無人的情況，而每種情況又各自包含2種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的方法數(shù)，結(jié)合計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【解答過程】若有1人參加“演講團(tuán)”，則從6人選1人參加該社團(tuán)，其余5人去剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有2種情況：1，1，1，2和1，2，2，故1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為C6若無人參加“演講團(tuán)”，則6人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排安排有2種情況：1，1，2，2和2，2，2，故無人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為C6故滿足條件的方法數(shù)為3600+1440=5040，故答案為：5040.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春·河北石家莊·高二期中）（1）計(jì)算：2A（2）若A2n3=10【解題思路】（1）（2）按照排列數(shù)公式計(jì)算即可.【解答過程】（1）2A（2）∵A2n3=10A又n≥3，化簡得4n?2=5n?10，解得n=8.18．（6分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）解下列不等式或方程(1)A(2)1【解題思路】（1）先求出2≤x≤8，解不等式得到7<x<12，從而得到答案；（2）先得到0≤m≤5，解方程得到m=21或2，舍去不合題意的根.【解答過程】（1）由題意得：0≤x≤80≤x?2≤8，解得：2≤x≤8A8x<6解得：7<x<12，結(jié)合2≤x≤8，可得：x=8（2）1C5m即m!5?m解得：m=21（舍去）或2，故方程的解為：m=2.19．（8分）（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）現(xiàn)有8個(gè)人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(6)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？【解題思路】（1）分兩步，先考慮甲必須站在排頭的特殊要求，用特殊元素優(yōu)先法可解；（2）女生必須排在一起，用捆綁法求解；（3）甲、乙兩人不能排在兩端，用插空法求解；（4）甲在乙的左邊，可采用倍縮法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置優(yōu)先法可解；（6）女生兩旁必須有男生，用插空法求解.【解答過程】（1）根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有A7則甲必須站在排頭有A7（2）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個(gè)整體，考慮三人之間的順序，有A3將這個(gè)整體與5名男生全排列，有A66種情況，則女生必須排在一起的排法有（3）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在中間6個(gè)位置，有A62種情況，將剩下的6人全排列，有則甲、乙兩人不能排在兩端有A6（4）根據(jù)題意，將8人全排列，有A8則甲在乙的左邊有12（5）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在后面的5個(gè)位置，有A5將剩下的6人全排列，有A66種情況，甲、乙不能排在前3位，有（6）根據(jù)題意，將5名男生全排列，有A55種情況，排好后除去2端有4個(gè)空位可選，在4個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名女生，有則女生兩旁必須有男生，有A520．（8分）（2022秋·江西宜春·高三階段練習(xí)）現(xiàn)有男選手3名，女選手5名，其中男女隊(duì)長各1名.選派4人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）(1)至少有1名男選手；(2)既要有隊(duì)長，又要有男選手.【解題思路】（1）考慮“至少有1名男選手”的對(duì)立事件進(jìn)行求解；（2）按是否選入男隊(duì)長分2種情況討論，再由加法原理求解即可.【解答過程】(1)由題意可知，“至少有1名男選手”的對(duì)立事件為“全為女選手”，從8人中任選4人，有C84=70所以“至少有1名男選手”的選法有70?5=65種；(2)①當(dāng)選男隊(duì)長時(shí)，其他人選法任意，有C7②當(dāng)不選男隊(duì)長，必選女隊(duì)長時(shí)，有C63=20則不選男隊(duì)長的選法有20?4=16種，所以既要有隊(duì)長，又要有男選手的選法有35+16=51種.21．（8分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）用0、1、2、3四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．(1)把這些自然數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)列，1230是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)其中的四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)？它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？它們的和是多少？【解題思路】（1）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理討論1位自然數(shù)、2位自然數(shù)、3位自然數(shù)、4位自然數(shù)的情況即可.（2）利用分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【解答過程】（1）1位自然數(shù)有C42位自然數(shù)有C33位自然數(shù)有C34位自然數(shù)中小于1230的有“10XX”型A2所以1230是此數(shù)列的第4+9+18+3+1=35項(xiàng).（2）四位數(shù)偶數(shù)有個(gè)位是0和個(gè)位是2兩種情況，其中個(gè)位是0有A33=6所以四位偶數(shù)共有10個(gè).它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為10×0+1+2+3這10個(gè)偶數(shù)中，個(gè)位是2的有4個(gè)；當(dāng)個(gè)位是0時(shí)由A3當(dāng)個(gè)位不是0