北師數(shù)學(xué)七下綜合與實(shí)踐七巧板教師用書

綜合與實(shí)踐七巧板一、教學(xué)目標(biāo)1.以七巧板為活動素材，進(jìn)一步加深對邊、角、垂直、平行等概念的認(rèn)識.2.綜合應(yīng)用平行、垂直、軸對稱的概念和性質(zhì)，從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)一步認(rèn)識七巧板以及相關(guān)的操作活動.3.通過拼圖活動，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，反思數(shù)學(xué)活動過程.4.在活動中，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)交流等能力，進(jìn)一步體驗(yàn)合作交流、自主探究的學(xué)習(xí)方式.二、設(shè)計(jì)思路基本意圖：七巧板是學(xué)生熟悉的一種活動工具，也是學(xué)生較為感興趣的內(nèi)容.七巧板本身與幾何對象的度量關(guān)系及位置關(guān)系有著密切聯(lián)系，同時“拼七巧板”這個活動對學(xué)生而言，也是從事數(shù)學(xué)活動、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、反思數(shù)學(xué)活動過程的一個有效載體.在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)開始使用七巧板進(jìn)行拼圖活動，大多數(shù)學(xué)生對它都有初步的了解，但是受到學(xué)生的認(rèn)知水平的限制，當(dāng)時的活動往往具有盲目性，學(xué)生更多關(guān)注的是“我拼出了什么”，而不是“我是怎么拼的，我是怎么思考的”，即學(xué)生關(guān)注較多的可能是“拼”這個活動的結(jié)果，而對于蘊(yùn)藏在活動之中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、數(shù)學(xué)道理等往往是不太關(guān)心的.因此本綜合與實(shí)踐以七巧板為活動載體，進(jìn)一步加深對平行、垂直、軸對稱等概念的理解，力圖通過拼圖、思考等環(huán)節(jié)，加深學(xué)生對七巧板的認(rèn)識，立足于綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識認(rèn)識七巧板、解決相關(guān)問題，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生勤于反思，善于反思.思路和重心：教科書以七巧板的制作開始.這樣安排一方面說明七巧板的構(gòu)成方式，使得學(xué)生動手做一副七巧板以供課堂使用成為可能；另一方面，通過制作方式的介紹，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生去思考七巧板中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)問題，尋找邊與邊之間、角與角之間的關(guān)系.于是教科書順次提出了四個問題，分別考慮七巧板中分割線和邊界線之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，探討七塊板中出現(xiàn)的角的大小關(guān)系、數(shù)量規(guī)律，以及面積之間的關(guān)系.其中不但關(guān)注學(xué)生能否尋找到相應(yīng)的關(guān)系（位置、數(shù)量等），更關(guān)注學(xué)生是如何找到的，有什么理由可以支持自己的想法.這些活動和思考都是為了后面“理性”地拼圖做鋪墊.接下來，教科書設(shè)計(jì)了“做一做”環(huán)節(jié).這個環(huán)節(jié)是本綜合與實(shí)踐內(nèi)容的重心.從這里開始，教科書開始討論有條件約束的拼圖問題.第一個問題以拼三角形為目標(biāo)，所用七巧板的塊數(shù)逐步增加（由2塊變成3塊）；第二個問題是第一個問題的延續(xù)，只是目標(biāo)圖形由三角形變成了梯形，塊數(shù)由少至多；第三個問題發(fā)生了改變，此時固定了塊數(shù)（7塊板要全用上），而目標(biāo)圖形在不斷變化.第一個問題比較簡單，學(xué)生可以嘗試，為了盡可能多地拼成符合條件的圖形，學(xué)生就需要思考拼圖的策略：為了拼成三角形，選擇滿足什么條件的板才可以，對邊有什么要求，對角有什么要求……上一環(huán)節(jié)的相關(guān)思考可以給予學(xué)生一定的幫助.這三個問題，一方面給學(xué)生提供了動手操作、進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的機(jī)會；另一方面，在活動的過程中，通過問題，不斷促使學(xué)生反思自己進(jìn)行的每一個數(shù)學(xué)活動，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).第一個欄目“議一議”則是針對以上拼圖過程進(jìn)行整體性的反思和總結(jié)，進(jìn)一步幫助學(xué)生積累和完善數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生從盲目拼圖轉(zhuǎn)向理性思考.有了以上活動的鋪墊和相關(guān)經(jīng)驗(yàn)的積累后，教科書進(jìn)入了具體的拼圖階段.教科書中呈現(xiàn)了一系列的圖形，其拼圖的難度是不斷遞進(jìn)的，需要學(xué)生在親身操作過程中去思考和選擇，這也是對前面積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的一次遷移和應(yīng)用.“想一想”環(huán)節(jié)是對上面“做一做”的進(jìn)一步思考，其中不但包括對拼圖活動的反思，還對拼出的圖形進(jìn)行了研究，同時考慮到本冊學(xué)習(xí)的軸對稱相關(guān)內(nèi)容，又對拼出圖形的軸對稱性加以要求，借此為今后學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)等知識積累感性經(jīng)驗(yàn).第二個欄目“議一議”環(huán)節(jié)承接活動的開頭，提出換一種分割方式學(xué)生可以設(shè)計(jì)出自己的“七巧板”，通過這種變式一方面加強(qiáng)學(xué)生對各塊圖形及其關(guān)系的認(rèn)識，另一方面也激發(fā)了學(xué)生的興趣與能動性.最后，考慮到七巧板本身歷史悠久，可以討論和研究的話題還很多，于是布置學(xué)生就七巧板進(jìn)一步查找資料，小組完成報(bào)告.這樣有利于完善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，進(jìn)一步提供了合作交流的機(jī)會和空間.三、教學(xué)建議1.課時建議.本綜合與實(shí)踐可以安排2課時.第1課時的主要任務(wù)是認(rèn)識七巧板，包括七巧板中各線段之間的關(guān)系、各塊板所含的角度、各塊板面積的關(guān)系，并通過簡單的拼圖活動（拼多邊形）幫助學(xué)生反思拼圖過程，積累活動經(jīng)驗(yàn).第2課時的主要任務(wù)是在第1課時的基礎(chǔ)上，完成一系列的拼圖活動，并進(jìn)一步反思拼圖活動，對拼出的圖形進(jìn)行再認(rèn)識.如果學(xué)生的思維層次比較高，也可合并為1課時.其中七巧板的制作以及原本第1課時的相關(guān)活動可以課前布置學(xué)生完成，課堂上學(xué)生匯報(bào)、討論對拼圖活動的反思和認(rèn)識，并完成第2課時的內(nèi)容.這時要尤為關(guān)注學(xué)生的匯報(bào)反思，因?yàn)檫@和他們即將進(jìn)行的活動能否順利完成有重要的關(guān)系.2.關(guān)注數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)反思，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).不論是1課時，還是2課時，數(shù)學(xué)活動及對活動的反思都是本活動的核心.之所以在中學(xué)階段再次展開七巧板這一課題，是因?yàn)橄胍龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，完成從盲目拼圖向理性思考過渡.因此教師要引導(dǎo)學(xué)生思考“我是怎么選擇的”“我是怎么拼的”等問題.當(dāng)然，在具體的教學(xué)活動中，對于目標(biāo)圖形的選擇教師可以靈活掌控，可以根據(jù)學(xué)生的能力，適當(dāng)減少或增大目標(biāo)圖形的難度.3.注重學(xué)生的活動，關(guān)注學(xué)生的交流.在活動中，合作交流是一種重要的學(xué)習(xí)方式.充分的研討，廣泛交流各自的觀點(diǎn)，必能擴(kuò)大學(xué)生的思維視角，深化學(xué)生對活動的反思.因此，教學(xué)中要加強(qiáng)活動的教學(xué)，特別是小組合作活動的組織與教學(xué).在合作交流中，通過相互幫助，讓所有學(xué)生都得到發(fā)展，達(dá)到共同進(jìn)步.四、評價建議1.注重對學(xué)生活動的評價，主要評價學(xué)生的參與程度、活動過程中的思維方式、與同學(xué)合作與交流的情況.本綜合與實(shí)踐涉及很多拼圖活動，因此對學(xué)生活動的考查應(yīng)成為教學(xué)評價的主要方面.這方面的評價主要以學(xué)生在從事活動時的表現(xiàn)作為對象，評價可以從兩個方面來進(jìn)行：一是學(xué)生在活動中的投入程度——能否積極、主動地從事各項(xiàng)活動，向同伴解釋自己的想法，聽取別人的建議和意見；二是學(xué)生在活動中表現(xiàn)出來的思維水平、表述水平等.因此教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否積極地參與討論，是否有自己的觀點(diǎn)，能否將自己的觀點(diǎn)清晰而有條理地表述出來等.2.關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)反思.本綜合與實(shí)踐中，關(guān)注數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)反思是核心.因此在評價時，也應(yīng)予以關(guān)注這方面，特別是數(shù)學(xué)反思的評價，包括能否完成拼圖、能否用多種方式完成拼圖、能否合理解釋自己的拼圖行為、能否在拼圖的過程中獲得或積累一定的數(shù)字活動經(jīng)驗(yàn)等.當(dāng)然，學(xué)生之間是有差異的，不同學(xué)生的想法和思考可能是不同的，但對于學(xué)生合理、正確的想法應(yīng)給予肯定.3.提倡運(yùn)用定性的方法對學(xué)生進(jìn)行評價.鑒于本綜合與實(shí)踐學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，在評價時應(yīng)注重定性的方法.教師在教學(xué)中應(yīng)多觀察學(xué)生，特別是他們在小組中的表現(xiàn)，及時記錄學(xué)生的獨(dú)特想法，這不僅有利于教師全面評價學(xué)生，而且使得評價與教學(xué)成為一個有機(jī)的整體.同時要求學(xué)生以小組為單位完成的小論文也是評價學(xué)生的一個方面.論文的選題意義、內(nèi)容的完成程度、小組的分工是否合理、合作是否愉快等都是應(yīng)當(dāng)關(guān)注的.

以折疊的方式引入七巧板的制作，一方面有別于小學(xué)階段七巧板的引入；另一方面也與本冊的軸對稱內(nèi)容相呼應(yīng).在制作的基礎(chǔ)上，教科書設(shè)計(jì)了四個問題，這四個問題所涉及的內(nèi)容，如平行關(guān)系、垂直關(guān)系、角度等都是本冊所學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容，相等線段、面積相等圖形的尋找也可以從軸對稱的角度加以分析.這些問題的解決，可以進(jìn)一步加深學(xué)生對七巧板的認(rèn)識，也為后繼實(shí)現(xiàn)“理性”拼圖做一些鋪墊.（1）如AD∥HG∥BC，AB∥CD，JF∥AG，BD∥EF，…如AI⊥BD，HG⊥AB，…（2）如AB=BC=CD=AD，AI=BI=DI=EF，HG=BE=CE=CF=FD，BH=HI=IJ=JD=JF=FG=GI=EG，…（3）角度為45°，90°，135°，全部是45°的正整數(shù)倍.（4）如，其中=4∶2∶1.對于以上四個問題，不要求學(xué)生的答案全面無遺漏，重要的在于學(xué)生是如何得到這些結(jié)論的.關(guān)注學(xué)生能否利用已學(xué)的知識去解決這些問題.做一做第一個問題是從拼三角形出發(fā)，所用七巧板的塊數(shù)逐步增加（由2塊變成3塊）；第二個問題是第一個問題的延續(xù)，只是目標(biāo)圖形由三角形變成了梯形，依然從塊數(shù)入手，由少到多；第三個問題發(fā)生了改變，此時固定了塊數(shù)（7塊板要全用上），目標(biāo)圖形不斷變化.這三個問題都是為后面拼圖做鋪墊，希望學(xué)生不是盲目嘗試，而是在一定的思考下（以上一環(huán)節(jié)提出的四個問題為拼圖的基礎(chǔ)），進(jìn)行嘗試，因此每一問題的操作之后，都有類似“你是怎么選擇的”“你是怎么拼的”這樣的問題，希望幫助學(xué)生反思自己的拼圖過程，為下一環(huán)節(jié)“你積累了什么經(jīng)驗(yàn)”打下基礎(chǔ).（1）選兩塊拼三角形，如①與②，③與⑤等；選三塊拼三角形，如③④⑤，③⑤⑥，③⑤⑦等.（2）至少兩塊，如③④，⑤⑥；三塊拼梯形，如③④⑤，④⑤⑥，③⑤①等.（3）七塊都用上可以拼三角形，也能拼成長方形、平行四邊形.下面是一些學(xué)生作品，供參考.議一議旨在對前面的數(shù)學(xué)活動進(jìn)行反思，為下面的拼圖活動做鋪墊.做一做教科書呈現(xiàn)了6幅用七巧板拼成的圖片，要求學(xué)生先想一想，再拼一拼，由易到難.想一想（1）這個問題一方面比較有意思，利于激發(fā)學(xué)生的興趣和探究欲；另一方面也是對學(xué)生拼圖活動的進(jìn)一步提升和反思.小學(xué)階段往往完成拼圖活動后，關(guān)于數(shù)學(xué)思考的部分就結(jié)束了，這里除了對活動需要反思，還需要對拼出的圖形進(jìn)行再認(rèn)識.（2）在拼圖中提出了軸對稱的問題，這一方面與本冊的教學(xué)內(nèi)容呼應(yīng)；另一方面也與一開始利用軸對稱制作七巧板的活動相呼應(yīng).這一問題比較開放，僅對即將完成的拼圖提出了唯一要求——軸對稱.這樣設(shè)置有兩個目的：一是對拼圖活動的再深入；二是希望可以通過該問題進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性.由于問題（2）具有開放性，因此多數(shù)學(xué)生可能更關(guān)注拼出的圖形，拼圖過程較為盲目，缺乏對拼圖的反思.因此，要適時引導(dǎo)學(xué)生展開對問題（3）的研討.（3）目的不在于拼圖活動，而是為了幫助學(xué)生反思與總結(jié)：拼一個軸對稱圖形有沒有什么策略?如何可以快速拼出一個軸對稱圖形?此時教師可以鼓勵學(xué)生自己去反思拼圖過程，尋找方法，也可以引導(dǎo)學(xué)生思考：七塊板中，哪幾塊本身是軸對稱的，哪些組合在一起構(gòu)成的圖形可以和另一些的組合構(gòu)成的圖形成軸對稱，這也是對前面活動的回顧與反思.如①與②成軸對稱，③④的組合與⑤⑥的組合成軸對稱，⑦本身是軸對稱圖形，因此只要將①與②成軸對稱放置，③④的組合與⑥⑤的組合也成軸對稱放置，將⑦的對稱軸與上述對稱軸重合即可組成軸對稱圖形；又如，⑥與⑦可組成等腰梯形（軸對稱圖形），其余各塊都是軸對稱的，因此也可很快組成軸對稱圖形.問題（4）較其他三個問題更為開放，沒有任何限制，為七巧板這一素材提供了更廣闊的發(fā)揮空間，鼓勵學(xué)生拼出更多有趣的圖形.議一議這里提出換一種分割方式可以得到自己設(shè)計(jì)的“七巧板”，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的主觀能動性.同時對于這樣一幅“新板”，我們與本“綜合與實(shí)踐”開頭相呼應(yīng)，也提出了它們的邊、角、面積之間關(guān)系的問題，希望學(xué)生的研究重心不僅僅停留在“拼出好玩圖形”這一點(diǎn)上，也引導(dǎo)他們關(guān)注圖形本身蘊(yùn)含的數(shù)量、位置等關(guān)系，進(jìn)行數(shù)學(xué)地思考.可以從七巧板的歷史、發(fā)展、演變等多角度切入，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生查閱資料、收集整理以及合作交流等各種能力.習(xí)題1.共四種.不要求學(xué)生全部拼出，能拼出一種即可.2.

附錄一學(xué)科知識拓展四巧板四巧板是一種類似七巧板的智力玩具.中國古代稱它為調(diào)合板，這個名字很吉祥，是拼出的圖塊很協(xié)調(diào)的意思；西方叫它為“T字板”，因?yàn)樗芷闯鲆粋€T字來；日本也叫“博士板”，因?yàn)檫@種板不僅用來作為課外活動的玩具，而且還用來測試智能，根據(jù)拼圖的難易，分成九檔：嬰兒水平、幼兒水平、初小水平、高小水平、初中水平、高中水平、專科水平、大學(xué)水平和博士水平.也就是說，如果能拼出最難的圖形，就能達(dá)到博士水平的智力.把一個長方形按如圖所示的方式分割成四部分，就可以得到一副四巧板，其中有大小不同的直角梯形各一塊，等腰直角三角形一塊，凹五邊形一塊.這幾個多邊形的內(nèi)角除了有直角外，還有45°，135°和270°的角.你能用四巧板拼出下列圖形嗎?答案：

附錄二典型案例評析七巧板設(shè)計(jì)：江蘇教育學(xué)院凌曉牧評析：北京教育學(xué)院史炳星一、學(xué)情分析1.在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)開始使用七巧板進(jìn)行拼圖活動，大多數(shù)學(xué)生對它都有了初步的了解，但當(dāng)時的活動具有盲目性，缺乏數(shù)學(xué)思考.2.本冊學(xué)習(xí)了平行、垂直、軸對稱等內(nèi)容，學(xué)生有條件對七巧板進(jìn)行有條理、有邏輯的數(shù)學(xué)思考.3.學(xué)生已經(jīng)具備從事數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)思考的活動經(jīng)驗(yàn)，有利于對七巧板進(jìn)行再活動、再思考.二、任務(wù)分析本綜合與實(shí)踐主要是以七巧板為活動的載體，通過活動進(jìn)一步加深學(xué)生對平行、垂直、軸對稱等概念的理解，力圖通過拼圖、思考等環(huán)節(jié)，深化學(xué)生對七巧板的認(rèn)識，立足于綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識認(rèn)識七巧板、解決相關(guān)問題，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生養(yǎng)成勤于反思、善于反思的習(xí)慣.三、教學(xué)目標(biāo)1.以七巧板為活動素材，進(jìn)一步加深對平行、垂直、軸對稱等概念的認(rèn)識.2.綜合應(yīng)用平行、垂直、軸對稱的概念和性質(zhì)，從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)一步認(rèn)識七巧板以及相關(guān)的操作活動.3.通過拼圖活動，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，反思數(shù)學(xué)活動過程.4.在活動中，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)交流等能力，進(jìn)一步體驗(yàn)合作交流、自主探究的學(xué)習(xí)方式.四、教學(xué)過程活動1：準(zhǔn)備一張正方形紙片，先照圖1的方式折疊，然后打開.圖1按照圖2的方式畫線，然后沿實(shí)線分割，從而得到一副七巧板（圖3）.圖2圖3（1）請你在圖2的實(shí)線中，分別找出三對具有平行關(guān)系和垂直關(guān)系的線段.（2）請你在圖2的實(shí)線中，找出三對相等的線段.你是怎么知道它們是相等的?（3）你能設(shè)法標(biāo)出圖3七巧板中每一塊中各角的度數(shù)嗎?你有什么發(fā)現(xiàn)?（4）在圖3所示的七塊板中，你能找到幾對面積相等的圖形?它們的面積有怎樣的關(guān)系?活動目的：以折疊的方式引入七巧板的制作，與本冊的軸對稱內(nèi)容相呼應(yīng).四個問題都與學(xué)生所學(xué)過的幾何內(nèi)容有聯(lián)系.活動效果預(yù)期：對于問題（1）（2）（3），絕大多數(shù)學(xué)生都可以順利找出.如果細(xì)問理由，有的學(xué)生是“觀察”出來的，有的學(xué)生可以通過說理得到，理由源于通過折疊（軸對稱）可以得到一系列的垂直關(guān)系和角度的具體值，利用這些可以判斷平行、垂直、線段相等等關(guān)系.問題（3）涉及的角度問題，在小學(xué)討論七巧板時很少提及，這里出現(xiàn)的角度是45°，90°和135°，都是45°的倍數(shù).對于問題（4），有的學(xué)生基于圖2根據(jù)軸對稱得出結(jié)論，也有學(xué)生直接把剪下的圖形重疊在一起進(jìn)行判斷.后一種方法容易漏掉一些面積相等但是形狀不同的圖形，如圖3中的⑥與⑦.活動2：通過動手操作，完成下列活動，并回答有關(guān)問題.（1）在7塊板中任選2塊，你能拼出多少種大小不同的三角形?你有幾種不同的拼法?如果選3塊，你是怎么選擇的?與同伴交流各自的拼圖過程.（2）想拼一個梯形，至少要用幾塊板?你是怎么拼的?多選幾塊板，你還有哪些不同的拼法?你是怎么選擇的?（3）如果將7塊板都用上，你能拼成三角形嗎?你是怎么拼的?能拼成長方形、平行四邊形嗎?你有幾種不同的拼法?你還能拼出其他的多邊形嗎?（4）在上面的拼圖活動中，你積累了什么經(jīng)驗(yàn)?活動目的：問題（1）（2）（3）試圖體現(xiàn)兩條線索：一是七巧板的使用從部分到全部，塊數(shù)逐步增多；二是拼出的圖形從三角形到四邊形，邊數(shù)逐步增多.同時希望學(xué)生不是盲目地嘗試，而是在一定的思考下進(jìn)行活動，因此每一個操作之后，都有類似“你是怎么選擇的”“你是怎么拼的”這樣的問題.另外活動2可以幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)、反思自己的拼圖過程，也是為后面拼圖活動做鋪墊.活動效果預(yù)期：對于選擇2塊或3塊板拼三角形的問題，拼出圖形（特別是2塊板的活動）相對較為