奧數(shù)精講與訓(xùn)練第一冊-教師用書

前言在科技飛速開展的時代，在人才聚集的時代，每個國家都愈來愈重視教育，我們國家也提出了“科教興國〞戰(zhàn)略。鄧小平說：“科技是第一生產(chǎn)力〞胡錦濤主席說：“我們要開展成為一個創(chuàng)新型國家。〞然而數(shù)學(xué)的開展對一個國家的科技開展有著決定性作用。人們愈來愈認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要性，也懂得數(shù)學(xué)早期培養(yǎng)的重要性。因此舉辦了很多內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)競賽。其中奧林匹克就是一項很重要也很有用的活動。數(shù)學(xué)奧林匹克競賽能夠很好的開發(fā)孩子智力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)邏輯思維，提高解決問題能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，提高教師教學(xué)水平，促進(jìn)教育改革等，為我國培養(yǎng)出更多更加優(yōu)秀的人才。本叢書根據(jù)學(xué)生的智力開展規(guī)律，掌握的根底知識能力，奧林匹克精神，結(jié)合生活實(shí)際和數(shù)學(xué)故事，以精講的形式結(jié)合方法點(diǎn)撥，思維引導(dǎo)，章節(jié)訓(xùn)練進(jìn)行編輯。將奧數(shù)知識分專題講解，并附帶數(shù)學(xué)故事，真正貫徹了在學(xué)習(xí)中快樂，在快樂中學(xué)習(xí)的精神。使得孩子喜歡學(xué)，自己學(xué)，學(xué)了就懂，學(xué)了會用的目的。本叢書共分為4冊，包括所有小學(xué)奧數(shù)專題知識，由易到難，逐層深入。作者希望同學(xué)們在使用本書后，能夠在奧數(shù)專題知識，解決問題能力上有一個新的提高，在解決問題方法上，有一個新的突破。參加本書編寫的都是長期在數(shù)學(xué)各種競賽輔導(dǎo)第一線的有豐富經(jīng)驗(yàn)的老師，為本書增添了不少光榮。讓我們積極的享受學(xué)習(xí)奧數(shù)的樂趣，積極的參與各種奧數(shù)競賽，為自己人生寫下美好一筆，為祖國增添光榮吧！目錄第一章速算與巧算１第一節(jié)速算與巧算〔一〕１第二節(jié)速算與巧算〔二〕１０第三節(jié)速算與巧算〔三〕１９第四節(jié)速算與巧算〔四〕２３第五節(jié)速算與巧算〔五〕２９第六節(jié)速算與巧算〔六〕３８第七節(jié)巧算與速算〔七〕４６怎樣拿十五點(diǎn)５２第二章和差問題５３啤酒瓶換酒５９第三章和倍問題６０沒有來的舉手６５第四章差倍問題６６國王的重賞７２第五章年齡問題７３白馬不是馬嗎７８第六章統(tǒng)籌計數(shù)７９第一節(jié)簡單的統(tǒng)籌規(guī)化問題７９第二節(jié)平均數(shù)問題８７猴子分桃子９３第七章數(shù)學(xué)中的規(guī)律問題９４第一節(jié)發(fā)現(xiàn)圖形的變化規(guī)律９４第二節(jié)找簡單數(shù)列的規(guī)律９８第三節(jié)找規(guī)律綜合訓(xùn)練〔一〕１０７第四節(jié)找規(guī)律綜合訓(xùn)練〔二〕１１３第五節(jié)幾何計數(shù)１１９看起來簡單１３０第八章奇偶問題１３１馴鹿有多少只１４２第九章火柴棍問題１４３第一節(jié)火柴棍問題〔一〕１４３第二節(jié)火柴棍問題〔二〕１４８怎樣分配鑰匙１５０第十章一筆畫問題１５２動物的大小１６１普數(shù)奧數(shù)公式一覽１６３第一章速算與巧算第一節(jié)速算與巧算〔一〕一、加法中的巧算“補(bǔ)數(shù)〞？兩個數(shù)相加，假設(shè)能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補(bǔ)數(shù)〞。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“補(bǔ)數(shù)〞；89叫11的“補(bǔ)數(shù)〞，11也叫89的“補(bǔ)數(shù)〞.也就是說兩個數(shù)互為“補(bǔ)數(shù)〞。對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補(bǔ)數(shù)〞來呢？一般來說，可以這樣“湊〞數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9，到最后個位數(shù)字相加得10。如：87655→12345，46802→53198，87362→12638，…下面講利用“補(bǔ)數(shù)〞巧算加法，通常稱為“湊整法〞。2.互補(bǔ)數(shù)先加。例1巧算下面各題：①36+87+64②99+136＋101③1361＋972＋639＋28解：①式=〔36＋64〕＋87=100＋87=187②式=〔99＋101〕＋136=200+136=336③式=〔1361＋639〕＋〔972＋28〕=2000+1000=30003.拆出補(bǔ)數(shù)來先加。例2①188＋873②548＋996③9898＋203解：①式=〔188+12〕+〔873-12〕〔熟練之后，此步可略〕＝200+861=1061②式=〔548-4〕＋〔996＋4〕=544+1000=1544③式=〔9898＋102〕＋〔203-102〕=10000+101=101014.豎式運(yùn)算中互補(bǔ)數(shù)先加。如：二、減法中的巧算“補(bǔ)數(shù)〞的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。例3①300-73-27②1000-90-80-20-10解：①式=300-〔73＋27〕＝300-100=200②式=1000-〔90＋80＋20＋10〕＝1000-200＝8002.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。例4①4723-〔723＋189〕②2356-159-256解：①式=4723-723-189＝4000-189=3811②式=2356-256-159＝2100-159=1941“補(bǔ)數(shù)〞把接近整十、整百、整千…的數(shù)先變整，再運(yùn)算〔注意把多加的數(shù)再減去，把多減的數(shù)再加上〕。例5①506-397②323-189③467＋997④987-178-222-390解：①式=500＋6-400+3〔把多減的3再加上〕=109②式=323-200+11〔把多減的11再加上〕=123+11＝134③式=467＋1000-3〔把多加的3再減去〕＝1464④式=987-〔178＋222〕-390＝987-400-400+10=197三、加減混合式的巧算在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號前面是“＋〞號，那么不管去掉括號或添上括號，括號里面的運(yùn)算符號都不變；如果括號前面是“-〞號，那么不管去掉括號或添上括號，括號里面的運(yùn)算符號都要改變，“+〞變“-〞，“-〞變“+〞，即：a＋〔b＋c＋d〕＝a＋b＋c＋da-〔b＋a＋d〕＝a-b-c-da-〔b-c〕＝a-b+c例6①100＋〔10＋20＋30〕②100-〔10＋20+3O〕③100-〔30-10〕解：①式=100＋10＋20＋30=160②式=100-10-20-30=40③式=100-30＋10＝80例7計算下面各題：①100＋10＋20＋30②100-10-20-30③100-30＋10解：①式=100＋〔10+20+30〕=100＋60=160②式=100-〔10＋20+30〕＝100-60=40③式=100-〔30-10〕=100-20=80“搬家〞例8計算325＋46-125＋54解：原式=325-125＋46+54＝〔325-125〕+〔46＋54〕=200+100＝300注意：每個數(shù)前面的運(yùn)算符號是這個數(shù)的符號.如+46，-125，+54.而325前面雖然沒有符號，應(yīng)看作是+325?！暗窒暤衾?計算9+2-9＋3解：原式=9-9＋2+3=5“基準(zhǔn)數(shù)〞法幾個比擬接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)〞。例10計算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85=640習(xí)題一一、直接寫出計算結(jié)果：①1000-547②100000-85426③④78053000000-78053二、用簡便方法求和：①536+〔541+464〕+459②588＋264＋148③8996＋3458＋7546④567+558+562＋555＋563三、用簡便方法求差：①1870-280-520②4995-〔995-480〕③4250-294＋94④1272-995四、用簡便方法計算以下各題：①478-128+122-72②464-545＋99+345③537-〔543-163〕-57④947+〔372-447〕-572五、巧算以下各題：①996＋599-402②7443＋2485＋567＋245③2000-1347-253+1593④3675-〔11+13+15＋17＋19〕習(xí)題一解答一、直接寫出計算結(jié)果：①1000-547＝453②100000-85426=14574③111④78053000000-78053＝78052921947此題主要是練習(xí)直接寫出“補(bǔ)數(shù)〞的方法：從最高位寫起，其各位數(shù)字用“湊九〞而得，最后個位湊10而得。二、用簡便方法求和：①536＋〔541＋464〕＋459＝〔536+464〕+〔541＋459〕=2000②588＋264＋148=588+〔12+252〕+148＝〔588＋12〕+〔252＋148〕＝600+400=1000③8996＋3458＋7546=〔8996＋4〕＋〔3454＋7546〕=9000+11000〔把3458分成4和=9000+110003454〕＝20000④567＋558+562＋555＋563＝560×5+〔7-2+2-5+3〕〔以560為基準(zhǔn)數(shù)〕＝2800+5＝2805三、用簡便方法求差：①1870-280-520＝1870-〔280+520〕=1870-800＝1070②4995-〔995-480〕=4995-995+480=4000+480=4480③4250-294＋94=4250-〔294-94〕=4250-200=4050④1272-995=1272-1000+5=277四、用簡便方法計算加減混合運(yùn)算：①478-128＋122-72=〔478+122〕-〔128＋72〕＝600-200＝400②464-545＋99＋345＝464-〔545-345〕+100-1=464-200＋100-1＝363③537-〔543-163〕-57＝537-543＋163-57=〔537＋163〕-〔543+57〕=700-600=100④947＋〔372-447〕-572=947+372-447-572=〔947-447〕-〔572-372〕=500-200=300五、巧算以下各題：①996＋599-402=1193②7443＋2485＋567＋245=10740③2000-1347-253＋1593=1993④3675-〔11+13+15+17+19〕=3600第二節(jié)速算與巧算〔二〕一、湊十法：同學(xué)們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結(jié)果，可以使計算又快又準(zhǔn)。例1計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：對于這道題，當(dāng)然可以從左往右逐步相加：1+2=33+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=2828+8=3636+9=4545+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點(diǎn)是麻煩、容易出錯；而且一步出錯，以后步步都錯。假設(shè)是利用湊十法，就能克服這種缺點(diǎn)。二、湊整法同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如：1+19=2023+9=302+18=2023+28=403+17=2023+37=504+16=2023+46=605+15=2023+55=706+14=2023+64=807+13=2023+73=908+12=2023+82=1009+11=20又如：15+85=10014+86=10025+75=10024+76=10035+65=10034+66=10045+55=10044+56=100等等巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準(zhǔn)。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標(biāo)。例2計算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做：例3計算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做：例4計算：2+13+25+44+18+37+56+75解：用湊整法：例5計算：〔1〕24+44+56〔2〕53+36+47解：〔1〕24+44+56=24+〔44+56〕=24+100=124這樣想：因?yàn)?4+56=100是個整百的數(shù)，所以先把它們的和算出來.〔2〕53+36+47=53+47+36=〔53+47〕+36=100+36=136這樣想：因?yàn)?3+47=100是個整百的數(shù)，所以先把+47帶著符號搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出來.例6計算：〔1〕96+15〔2〕52+69解：〔1〕96+15=96+〔4+11〕=〔96+4〕+11=100+11=111這樣想：把15分拆成15=4+11，這是因?yàn)?6+4=100，可湊整先算.〔2〕52+69=〔21+31〕+69=21+〔31+69〕=21+100=121這樣想：因?yàn)?9+31=100，所以把52分拆成21與31之和，再把31+69=100湊整先算.例7計算：〔1〕63+18+19〔2〕28+28+28解：〔1〕63+18+19=60+2+1+18+19=60+〔2+18〕+〔1+19〕=60+20+20=100這樣想：將63分拆成63=60+2+1就是因?yàn)?+18和1+19可以湊整先算.〔2〕28+28+28=〔28+2〕+〔28+2〕+〔28+2〕-6=30+30+30-6=90-6=84這樣想：因?yàn)?8+2=30可湊整，但最后要把多加的三個2減去.三、用求未知利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認(rèn)識事物的一般過程，湊十法、湊整法的實(shí)質(zhì)就是這個道理，可見把這種認(rèn)識規(guī)律用于計算方面，可使計算更快更準(zhǔn)。下面再舉兩個例子。例8計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3，已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10個雙數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=〔1+3+5+7+9+11+13+15+17+19〕+〔2+4+6+8+10+12+14+16+18+20〕=100+110〔這步利用了例2和例3的結(jié)果〕=210例9計算5+6+7+8+9+10解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。5+6+7+8+9+10=〔1+2+3+4+5+6+7+8+9+10〕-〔1+2+3+4〕〔熟練后，此步驟可省略〕=55-10=45四、改變運(yùn)算順序在只有加減運(yùn)算的算式中，有時改變加、減的運(yùn)算順序可使計算顯得十分巧妙！例10計算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：這題如果從左到右按順序進(jìn)行加減運(yùn)算，是能夠得出正確結(jié)果的。但因?yàn)樗闶捷^長，屢次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運(yùn)算順序，先減后加，就使運(yùn)算顯得非?！捌哩?。下式括號中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=〔10-9〕+〔8-7〕+〔6-5〕+〔4-3〕+〔2-1〕=1+1+1+1+1=5例11計算：〔1〕45-18+19〔2〕45+18-19解：〔1〕45-18+19=45+19-18=45+〔19-18〕=45+1=46這樣想：把+19帶著符號搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.〔2〕45+18-19=45+〔18-19〕=45-1=44這樣想：加18減19的結(jié)果就等于減1.五、帶著“+〞、“-〞號搬家例11計算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：這題只有加減運(yùn)算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“+〞號或“-〞號，搬家時要帶著符號一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+〔3-2〕+〔5-4〕+〔7-6〕+〔9-8〕+〔11-10〕[先減后加]=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運(yùn)算中，把“+3〞搬到“-2〞的前面，把“+5〞搬到了“-4〞的前面，……把“+11〞搬到了“-10〞的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。習(xí)題二1．計算：13+14+15+16+17+252．計算：2+3+4+5+15+16+17+18+203．計算：21+22+23+24+25+26+27+28+294．計算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+205．計算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06．計算：10-20+30-40+50-60+70-80+907．計算：〔2+4+6+8+10〕-〔1+3+5+7+9〕8．計算：〔2+4+6+…+20〕-〔1+3+5+…+19〕9．計算：〔2+4+6+…+100〕-〔1+3+5+…+99〕習(xí)題二解答1．解：見以下圖：2．解：見以下圖：3．解：見以下圖：4．解：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-(1+2+3+4)=210-10〔利用例5的結(jié)果〕=2005．解：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0=〔22-20〕+〔18-16〕+〔14-12〕+〔10-8〕+〔6-4〕+〔2-0〕=2+2+2+2+2+2=126．解：10-20+30-40+50-60+70-80+90=10+30-20+50-40+70-60+90-80=10+〔30-20〕+〔50-40〕+〔70-60〕+〔90-80〕=10+10+10+10+10=507．解：〔2+4+6+8+10〕-〔1+3+5+7+9〕=〔2-1〕+〔4-3〕+〔6-5〕+〔8-7〕+〔10-9〕=1+1+1+1+1=58．解：〔2+4+6+…+20〕-〔1+3+5+…+19〕=109．解：〔2+4+6+…+100〕-〔1+3+5+…+99〕=50第三節(jié)速算與巧算〔三〕例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？再算妹妹共拿了多少塊？72-64=8〔塊〕方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8〔塊〕可以看出方法2要比方法1巧妙！平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運(yùn)算結(jié)果，非常有助于速算。比方，請同學(xué)記住幾個自然數(shù)相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例2星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會分？〞結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？解：按小明提的要求確實(shí)無法分。因?yàn)橐沟妹總€人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，…第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55〔塊〕而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比方說，應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多〞的要求?！沧⒁猓骸鞍葱∶魈岬囊鬅o法分〞就是此題的答案。在數(shù)學(xué)上“無解〞也叫問題的答案?！忱?時鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下，……照這樣敲下去，從1點(diǎn)到12點(diǎn)，這12個小時時鐘共敲了幾下？解：這是一道美國小學(xué)奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。方法1：湊十法方法2：如果能記住從1到10前十個自然數(shù)之和是55，計算會更快?！?+2+3+4+5+6+7+8+9+10〕+11+12=55+11+12=78〔下〕習(xí)題三1．三個小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？2．①把16只小雞分別裝進(jìn)5個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？②按同樣要求，把15只小雞裝進(jìn)5個籠子能辦得到嗎？③按同樣要求，把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎？3．①把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？②把99塊糖按同樣要求分給10個小朋友，你能分嗎？4．從1到20這20個數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？5．小方家的鐘除了幾點(diǎn)鐘敲幾下外，每半點(diǎn)鐘也敲一下。比方說，0點(diǎn)半敲1下，1點(diǎn)鐘敲1下，1點(diǎn)半敲1下，2點(diǎn)敲2下，2點(diǎn)半敲1下，……照這樣敲下去，從夜里0點(diǎn)開始，計到白天中午12點(diǎn)鐘，在這12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下？習(xí)題三解答1．答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個人分1塊，第2個人分2塊，第3個人分3塊，這樣三個人共需要有1+2+3=6〔塊〕，但總的糖塊數(shù)只有5塊，不夠分。如果第3個人也分得2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2個人分得糖塊數(shù)一樣多了，又不符合分糖的要求了。2．①5只籠子裝16只小雞的裝法是1，2，3，4，6。1+2+3+4+6=16〔只〕②5只籠子裝15只小雞的裝法是1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15〔只〕③5只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。3．①記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個人的分法是：各人所得糖塊數(shù)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。②99塊糖按要求分給10個小朋友無法分。4．解：方法1：單數(shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2：改變運(yùn)算順序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105．解：先記錄時鐘敲的整點(diǎn)數(shù)和半點(diǎn)數(shù)如下：列算式求和，并改變運(yùn)算順序：1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90〔下〕第四節(jié)速算與巧算〔四〕一、計算等差連續(xù)數(shù)的和相鄰的兩個數(shù)的差都相等的一串?dāng)?shù)就叫等差連續(xù)數(shù)，又叫等差數(shù)列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差連續(xù)數(shù).1.等差連續(xù)數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，它們的和等于中間數(shù)乘以個數(shù)，簡記成：例1〔1〕計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9解：原式=5×9中間數(shù)是5=45共9個數(shù)〔2〕計算：1+3+5+7+9解：原式=5×5中間數(shù)是5=25共有5個數(shù)〔3〕計算：2+4+6+8+10解：原式=6×5中間數(shù)是6=30共有5個數(shù)〔4〕計算：3+6+9+12+15解：原式=9×5中間數(shù)是9=45共有5個數(shù)〔5〕計算：4+8+12+16+20解：原式=12×5中間數(shù)是12=60共有5個數(shù)2.等差連續(xù)數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，它們的和等于首數(shù)與末數(shù)之和乘以個數(shù)的一半，簡記成：〔1〕計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=〔1+10〕×5=11×5=55共10個數(shù)，個數(shù)的一半是5，首數(shù)是1，末數(shù)是10.〔2〕計算：3+5+7+9+11+13+15+17=〔3+17〕×4=20×4=80共8個數(shù)，個數(shù)的一半是4，首數(shù)是3，末數(shù)是17.〔3〕計算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=〔2+20〕×5=110共10個數(shù)，個數(shù)的一半是5，首數(shù)是2，末數(shù)是20.二、基準(zhǔn)數(shù)法例2計算：23+20+19+22+18+21解：仔細(xì)觀察，各個加數(shù)的大小都接近20，所以可以把每個加數(shù)先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的減去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236個加數(shù)都按20相加，其和=20ד3〞，所以再加上“3〞；19按20計算多加了“1〞，所以再減去“1〞，以此類推.例3計算：102+100+99+101+98解：方法1：仔細(xì)觀察，可知各個加數(shù)都接近100，所以選100為基準(zhǔn)數(shù)，采用基準(zhǔn)數(shù)法進(jìn)行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2：仔細(xì)觀察，可將5個數(shù)重新排列如下：〔實(shí)際上就是把有的加數(shù)帶有符號搬家〕102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可發(fā)現(xiàn)這是一個等差連續(xù)數(shù)的求和問題，中間數(shù)是100，個數(shù)是5.習(xí)題四1.計算：〔1〕18+28+72〔2〕87+15+13〔3〕43+56+17+24〔4〕28+44+39+62+56+212.計算：〔1〕98+67〔2〕43+28〔3〕75+263.計算：〔1〕82-49+18〔2〕82-50+49〔3〕41-64+294.計算：〔1〕99+98+97+96+95〔2〕9+99+9995.計算：〔1〕5+6+7+8+9〔2〕5+10+15+20+25+30+35〔3〕9+18+27+36+45+54〔4〕12+14+16+18+20+22+24+266.計算：〔1〕53+49+51+48+52+50〔2〕87+74+85+83+75+77+80+78+81+847.計算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5習(xí)題四解答1.解：〔1〕18+28+72=18+〔28+72〕=18+100=118〔2〕87+15+13=〔87+13〕+15=100+15=115〔3〕43+56+17+24=〔43+17〕+〔56+24〕=60+80=140〔4〕28+44+39+62+56+21=〔28+62〕+〔44+56〕+〔39+21〕=90+100+60=2502.解：〔1〕98+67=98+2+65=100+65=165〔2〕43+28=43+7+21=50+21=71或43+28=41+〔2+28〕=41+30=71〔3〕75+26=75+25+1=100+1=1013.解：〔1〕82-49+18=82+18-49=100-49=51〔2〕82-50+49=82-1=81〔減50再加49等于減1〕〔3〕41-64+29=41+29-64=70-64=64.解：〔1〕99+98+97+96+95=100×5-1-2-3-4-5=500-15=485〔每個加數(shù)都按100算，再把多加的減去〕或99+98+97+96+95=97×5=485〔2〕9+99+999=10+100+1000-3=1110-3=11075.解：〔1〕5+6+7+8+9=7×5=35〔2〕5+10+15+20+25+30+35=20×7=140〔3〕9+18+27+36+45+54=〔9+54〕×3=63×3=189〔4〕12+14+16+18+20+22+24+26=〔12+26〕×4=38×4=1526.解：〔1〕53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0=300+3=303〔2〕87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4=800+4=8047.解：方法1：原式=21+21+21+15=78方法2：原式=21×4-6=84-6=78方法3：原式=〔1+2+3+4+5+6〕×3+15=21×3+15=63+15=78第五節(jié)速算與巧算〔五〕一、乘法中的巧算1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：5×2=1025×4=100125×8=1000例1計算①123×4×25②125×2×8×25×5×4解：①式=123×〔4×25〕=123×100＝12300②式=〔125×8〕×〔25×4〕×〔5×2〕=1000×100×10=10000002.分解因數(shù)，湊整先乘。例2計算①24×25②56×125③125×5×32×5解：①式=6×〔4×25〕=6×100=600②式=7×8×125=7×〔8×125〕=7×1000=7000③式=125×5×4×8×5=〔125×8〕×〔5×5×4〕=1000×100=1000003.應(yīng)用乘法分配律。例3計算①175×34＋175×66②67×12+67×35＋67×52+6解：①式=175×〔34+66〕=175×100=17500②式=67×〔12＋35＋52＋1〕＝67×100＝6700〔原式中最后一項67可看成67×1〕例4計算①123×101②123×99解：①式=123×〔100＋1〕=123×100＋123＝12300＋123=12423②式=123×〔100-1〕=12300-123=121774.幾種特殊因數(shù)的巧算。例5一個數(shù)×10，數(shù)后添0；一個數(shù)×100，數(shù)后添00；一個數(shù)×1000，數(shù)后添000；以此類推。如：15×10=15015×100=150015×1000＝15000例6一個數(shù)×9，數(shù)后添0，再減此數(shù)；一個數(shù)×99，數(shù)后添00，再減此數(shù)；一個數(shù)×999，數(shù)后添000，再減此數(shù)；…以此類推。如：12×9＝120-12＝10812×99＝1200－12＝118812×999＝12000-12=11988例7一個偶數(shù)乘以5，可以除以2添上0。如：6×5＝3016×5＝80116×5=580。例8一個數(shù)乘以11，“兩頭一拉，中間相加〞。如2222×11＝244422456×11＝27016例9一個偶數(shù)乘以15，“加半添0〞.24×15＝〔24+12〕×10＝360因?yàn)?4×15＝24×〔10+5〕＝24×〔10＋10÷2〕=24×10+24×10÷2〔乘法分配律〕＝24×10+24÷2×10〔帶符號搬家〕＝〔24+24÷2〕×10〔乘法分配律〕例10個位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字×〔十位數(shù)字加1〕×100+25如15×15=1×〔1+1〕×100+25=22525×25=2×〔2+1〕×100+25=62535×35=3×〔3+1〕×100+25=122545×45=4×〔4+1〕×100+25=202555×55=5×〔5+1〕×100+25=302565×65＝6×〔6+1〕×100+25=422575×75=7×〔7+1〕×100+25＝562585×85=8×〔8+1〕×100+25=722595×95＝9×〔9+1〕×100＋25＝9025還有一些其他特殊因數(shù)相乘的簡便算法，有興趣的同學(xué)可參看《算得快》一書。二、除法及乘除混合運(yùn)算中的巧算1.在除法中，利用商不變的性質(zhì)巧算商不變的性質(zhì)是：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)〔零除外〕，商不變.利用這個性質(zhì)巧算，使除數(shù)變?yōu)檎?、整百、整千的?shù)，再除。例11計算①110÷5②3300÷25③44000÷125解：①110÷5=〔110×2〕÷〔5×2〕＝220÷10=22②3300÷25＝〔3300×4〕÷〔25×4〕＝13200÷100＝132③44000÷125=〔44000×8〕÷〔125×8〕＝352000÷1000＝3522.在乘除混合運(yùn)算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號“搬家〞。例12864×27÷54＝864÷54×27=16×27=4323.當(dāng)n個數(shù)都除以同一個數(shù)后再加減時，可以將它們先加減之后再除以這個數(shù)。例13①13÷9＋5÷9②21÷5-6÷5③2090÷24-482÷24④187÷12-63÷12-52÷12解：①13÷9+5÷9=〔13＋5〕÷9=18÷9＝2②21÷5-6÷5＝〔21-6〕÷5＝15÷5=3③2090÷24-482÷24＝〔2090-482〕÷24＝1608÷24＝67④187÷12-63÷12-52÷12＝〔187-63-52〕÷12＝72÷12=6“去括號〞或添“括號〞的方法：如果“括號〞前面是乘號，去掉“括號〞后，原“括號〞內(nèi)的符號不變；如果“括號〞前面是除號，去掉“括號〞后，原“括號〞內(nèi)的乘號變成除號，原除號就要變成乘號，添括號的方法與去括號類似。即a×〔b÷c〕=a×b÷c從左往右看是去括號，a÷〔b×c〕＝a÷b÷c從右往左看是添括號。a÷〔b÷c〕＝a÷b×c例14①1320×500÷250②4000÷125÷8③5600÷〔28÷6〕④372÷162×54⑤2997×729÷〔81×81〕解：①1320×500÷250＝1320×〔500÷250〕=1320×2＝2640②4000÷125÷8＝4000÷〔125×8〕＝4000÷1000＝4③5600÷〔28÷6〕=5600÷28×6=200×6=1200④372÷162×54=372÷〔162÷54〕＝372÷3＝124⑤2997×729÷〔81×81〕＝2997×729÷81÷81＝〔2997÷81〕×〔729÷81〕＝37×9＝333習(xí)題五一、用簡便方法求積：①17×100②1112×5③23×9④23×99⑤12345×11⑥56789×11⑦36×15二、速算以下各題：①123×25×4②456×2×125×25×5×4×8③25×32×125三、巧算以下各題：①15000÷125÷15②1200÷25÷4③27000÷〔125×3〕④360×40÷60四、巧算以下各題：①11÷3＋4÷3②19÷5-9÷5③234×11+234×88習(xí)題五解答一、用簡便方法求積：①17×100=1700②1112×5＝5560③23×9=230-23=207④23×99=2300-23=2277⑤12345×11=135795⑥56789×11=624679⑦36×15=〔36+18〕×10＝540二、速算以下各題：①123×25×4=123×〔25×4〕＝12300②456×2×125×25×5×4×8=456×〔2×5〕×〔25×4〕×〔125×8〕=456000000③25×32×125＝〔25×4〕×〔125×8〕=100000三、巧算以下各題：①15000÷125÷15＝15000÷15÷125=8②1200÷25÷4=1200÷〔25×4〕=12③27000÷〔125×3〕＝27000÷3÷125＝9×〔1000÷125〕=9×8=72④360×40÷60＝360÷60×40＝240四、巧算以下各題：①11÷3+4÷3=〔11＋4〕÷3＝5②19÷5-9÷5＝〔19-9〕÷5=2③234×11＋234×88=234×〔11+88〕＝234×99＝234×100-234=23166第六節(jié)速算與巧算〔六〕復(fù)雜混和運(yùn)算中的巧算例1計算9＋99＋999＋9999＋99999—1去計算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝〔10－1〕＋〔100-1〕＋〔1000－1〕＋〔10000-1〕＋〔100000-1〕＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2計算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用湊整法.不過這里是加1湊整.〔如199＋1＝200〕199999＋19999＋1999＋199＋19＝〔19999＋1〕＋〔19999＋1〕＋〔1999＋1〕＋〔199＋1〕＋〔19＋1〕－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3計算〔1＋3＋5＋…＋1989〕－〔2＋4＋6＋…＋1988〕解法2：先把兩個括號內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一個括號內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從1到1989共有995個奇數(shù)，湊成497個1990，還剩下995，第二個括號內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從2到1988共有994個偶數(shù)，湊成497個1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4計算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：認(rèn)真觀察每個加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，所以選390為基準(zhǔn)數(shù).389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以選380為基準(zhǔn)數(shù)，那么有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5計算〔4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943〕÷6解：認(rèn)真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號中6個相接近的數(shù)之和，故可選4940為基準(zhǔn)數(shù).〔4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943〕÷6＝〔4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3〕÷6＝〔4940×6＋6〕÷6〔這里沒有把4940×6先算出來，而是運(yùn)＝4940×6÷6＋6÷6運(yùn)用了除法中的巧算方法〕＝4940＋1＝4941.例6計算54＋99×99＋45解：此題外表上看沒有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可得99，就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡算了.54＋99×99＋45＝〔54＋45〕＋99×99＝99＋99×99＝99×〔1＋99〕＝99×100＝9900.例7計算9999×2222＋3333×3334×3，規(guī)律就出現(xiàn)了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×〔6666＋3334〕＝3333×10000＝33330000.例81999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×〔1＋999〕＝1000＋999×1000＝1000×〔999＋1〕＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×〔1000-1〕＝1999＋999000-999＝〔1999-999〕＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少個零.總之，要想在計算中到達(dá)準(zhǔn)確、簡便、迅速，必須付出辛勤的勞動，要多練習(xí)，多總結(jié)，只有這樣才能做到熟能生巧.習(xí)題六1.計算899998＋89998＋8998＋898＋882.計算799999＋79999＋7999＋799＋793.計算〔1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2〕－〔1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987〕—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.時鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下，依次類推.從1點(diǎn)到12點(diǎn)這12個小時內(nèi)時鐘共敲了多少下？6.求出從1～25的全體自然數(shù)之和.7.計算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.計算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.計算〔125×99＋125〕×1610.計算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9×7805312.兩個10位數(shù)1111111111和9999999999的乘積中，有幾個數(shù)字是奇數(shù)？，乘數(shù)是，它們的積是多少？習(xí)題六解答1.利用湊整法解.899998＋89998＋8998＋898＋88＝〔899998＋2〕＋〔89998＋2〕＋〔8998＋2〕＋〔898＋2〕〔88＋2〕－10＝900000＋90000＋9000＋900＋90-10＝999980.2.利用湊整法解.799999＋79999＋7999＋799＋79＝800000＋80000＋8000＋800＋80-5＝888875.3.〔1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2〕－〔1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987〕＝1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2-1-3-5…－1983－1985－1987＝〔1988-1987〕＋〔1986-1985〕＋…＋〔6-5〕＋〔4-3〕＋〔2－1〕＝994.4.1－2＋3—4＋5－6＋…＋1991-1992＋1993＝1＋〔3-2〕＋〔5-4〕＋…＋〔1991-1990〕＋〔1993－1992〕＝1＋1×996＝997.5.1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝13×6＝78〔下〕.6.1＋2＋3＋…＋24＋25＝〔1＋25〕＋〔2＋24〕＋〔3＋23〕＋…＋〔11＋15〕＋〔12＋14〕＋13＝26×12＋13＝325.7.解法1：1000＋999—998—997＋996＋995—994－993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101＝〔1000＋999—998—997〕＋〔996＋995—994－993〕＋…＋〔108＋107—106—105〕＋〔104＋103—102—101〕解法2：原式＝〔1000—998〕＋〔999—997〕＋〔104—102〕＋〔103—101〕＝2×450＝900.解法3：原式＝1000＋〔999—998—997＋996〕＋〔995—994－993＋992〕＋…＋〔107—106—105＋104〕＋〔103—102—101＋100〕－100＝1000—100＝900.8.92+94+89+93+95+88+94+96+87=90×9+2+4-1+3+5-2+4+6-3=810+18=8289.〔125×99＋125〕×16＝125×〔99＋1〕×16＝125×100×8×2＝125×8×100×2＝200000.10.3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9＝3×〔999＋1〕＋8×〔99＋1〕＋2×〔9＋1〕＋9＝3×1000＋8×100＋2×10＋9＝3829.11.999999×78053＝〔1000000—1〕×78053＝78053000000—78053＝78052921947.12.1111111111×9999999999＝1111111111×—1〕—1111111111答：這個積有10個數(shù)字是奇數(shù).第七節(jié)巧算與速算〔七〕最值問題例1比擬下面兩個積的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析經(jīng)審題可知A的第一個因數(shù)的個位數(shù)字比B的第一個因數(shù)的個位數(shù)字小1，但A的第二個因數(shù)的個位數(shù)字比B的第二個因數(shù)的個位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個大.但是無論是對A或是對B，直接把兩個因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將A和B先進(jìn)行恒等變形，再作判斷.解：A＝987654321×123456789＝987654321×〔123456788＋1〕＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝〔987654321＋1〕×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因?yàn)?87654321＞123456788，所以A＞B.例2不用筆算，請你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.241×249242×248243×247244×246245×245.解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.241×249＝〔240＋1〕×〔250—1〕＝240×250＋1×9；242×248＝〔240＋2〕×〔250—2〕＝240×250＋2×8；243×247＝〔240＋3〕×〔250—3〕＝240×250＋3×7；244×246＝〔240＋4〕×〔250—4〕＝240×250＋4×6；245×245＝〔240＋5〕×〔250—5〕＝240×250＋5×5.恒等變形以后的各式有相同的局部240×250，又有不同的局部1×9，2×8，3×7，4×6，5×5，由此很容易看出245×245的積最大.一般說來，將一個整數(shù)拆成兩局部〔或兩個整數(shù)〕，兩局部的差值越小時，這兩局部的乘積越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5那么5×5＝25積最大.例3求1966、1976、1986、1996、2006五個數(shù)的總和.解：五個數(shù)中，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大10，可看出1986是這五個數(shù)的平均值，故其總和為：1986×5＝9930.例42、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù)，如果五個連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個.解：五個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)應(yīng)為320÷5＝64，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計算方法.三個連續(xù)自然數(shù)，中間一個數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)——它是五個自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個數(shù)可以記作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對于奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.如：對于2n＋1個連續(xù)自然數(shù)可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是這2n＋1個自然數(shù)的平均值.巧用中數(shù)的計算方法，還可進(jìn)一步推廣，請看下面例題.例5將1～1001各數(shù)按下面格式排列：一個正方形框出九個數(shù)，要使這九個數(shù)之和等于：①1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請說明理由.解：仔細(xì)觀察，方框中的九個數(shù)里，最中間的一個是這九個數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個連續(xù)自然數(shù)，豎列3個數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù).①1986不是9的倍數(shù)，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍數(shù)，但是281÷7＝40×7＋1，這說明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍數(shù)，且221÷7＝31×7＋4，這就是說221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.這個例題是所謂的“月歷卡〞上的數(shù)字問題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！所以平時要注意觀察，認(rèn)真思考，積累巧算經(jīng)驗(yàn).習(xí)題七1.右圖的30個方格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個格子中的數(shù)等于同一橫行最左邊的數(shù)與同一豎列最上面的數(shù)之和〔如方格中a＝14＋17＝31〕.右圖填滿后，這30個數(shù)的總和是多少？2.有兩個算式：①98765×98769，②98766×98768，請先不要計算出結(jié)果，用最簡單的方法很快比擬出哪個得數(shù)大，大多少？×764和567×765哪個積大？4.在下面四個算式中，最大的得數(shù)是多少？①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998③1994×1997＋1997④1995×1996＋19965.五個連續(xù)奇數(shù)的和是85，求其中最大和最小的數(shù).6.45是從小到大五個整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是3，請你寫出這五個數(shù).7.把從1到100的自然數(shù)如下表那樣排列.在這個數(shù)表里，把長的方面3個數(shù)，寬的方面2個數(shù)，一共6個數(shù)用長方形框圍起來，這6個數(shù)的和為81，在數(shù)表的別的地方，如上面一樣地框起來的6個數(shù)的和為429，問此時長方形框子里最大的數(shù)是多少？習(xí)題七解答1.先按圖意將方格填好，再仔細(xì)觀察，找出格中數(shù)字的規(guī)律進(jìn)行巧算.解法1：先算每一橫行中的偶數(shù)之和：〔12＋14＋16＋18〕×6＝360.再算每一豎列中的奇數(shù)之和：〔11＋13＋15＋17＋19〕×5＝375最后算30個數(shù)的總和＝10＋360＋375＝745.解法2：把每格的數(shù)算出填好.先算出10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＝145，再算其余格中的數(shù).經(jīng)觀察可以列出下式：〔23＋37〕＋〔25＋35〕×2＋〔27＋33〕×3＋〔29＋31〕×4＝60×〔1＋2＋3＋4〕＝600最后算總和：總和＝145＋600＝745.2.①98765×98769＝98765×〔98768＋1〕＝98765×98768＋98765.②98766×98768＝〔98765＋1〕×98768＝98765×98768＋98768.所以②比①大3.3.同上題解法相同：568×764＞567×765.4.根據(jù)“假設(shè)保持和不變，那么兩個數(shù)的差越小，積越大〞，那么1996×1996＝3984016是最大的得數(shù).5.85÷5＝17為中數(shù)，那么五個數(shù)是：13、15、17、19、21最大的是21，最小的數(shù)是13.6.45÷5＝9為中數(shù)，那么這五個數(shù)是：3，6，9，12，15.7.÷3＝27求得.利用框中六個數(shù)的這種特點(diǎn)，求方框中的最大數(shù).429÷3＝143〔143＋7〕÷2＝7575＋1＝76最大數(shù)是76.怎樣拿十五點(diǎn)小王和小丁在玩一種15點(diǎn)的游戲。玩法很簡單：把9張撲克牌——黑桃A、黑桃2直到黑桃9，隨便擺在桌子上，兩個人輪流拿牌，l次1張；誰手中的3張牌；首先加起來是15點(diǎn)，誰就勝了。小丁先拿，拿了一張5；小王后拿，拿了一張7。接著；小丁拿了個2，要是再拿個8，就15點(diǎn)了。于是，小王趕快把8拿到手。接著，小丁拿了9。此時小丁手里有2、5、9三張牌，桌子上還有l(wèi)、3、4、6四張牌。在這種情況下，小王要是拿1，小丁就拿4，有2＋9＋4＝15,小王要是拿4，小丁就拿l；有9＋5＋l＝15。所以，小丁一定可以勝利。兩人玩了屢次，小王總是不能取勝，最多是和局，兩人都拿不到15點(diǎn)。最后；小王問小丁，你老贏不輸?shù)母[門在哪里？小丁說我先不告訴你。我們再來玩三子棋，你邊玩邊想。三子棋的玩法也很簡單。棋盤像一個“井〞字，兩人分別執(zhí)黑白子輪流往這9個格子里下子，誰先把3個子擺在一條直線上〔橫、豎、斜都可以〕，便勝利了。還是小丁先下。第一盤，小王執(zhí)黑下到第6步，就發(fā)現(xiàn)無法擋住小丁的勝利。不過，小王很快就掌握了下三子棋的竊門，再也不敗了。小丁說你會下三子棋，也就會玩15點(diǎn)；肯定不會再輸了。小王開始不明白，想了一會，恍然大悟：呵，原來15點(diǎn)和幻方有關(guān)系。把9張牌，按橫、豎、斜3張的和都是15，擺到井字形的9個方格里，拿15點(diǎn)的竅門就明顯了。想叫3張牌相加得15點(diǎn)，相當(dāng)于拿一條直線上的3張牌。從某個格里拿去回1張牌，換上1個石子，拿15點(diǎn)游戲就變成了下三子棋。反過來，每下1個石子，就把石子那里的牌拿出來；三子棋又變成15點(diǎn)游戲了。這樣，兩種游戲就是一回事了。盡管兩種游戲的道理一樣，可是下三子棋的竅門，要比拿15點(diǎn)容易掌握。小丁用下三子棋的竅門來玩15點(diǎn)的游戲，當(dāng)然就老贏不輸了。這是一個例子；它告訴我們利用—一對應(yīng)，有時能把復(fù)雜的問題，變得簡單一些！第二章和差問題和差問題是大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。公式：

(和＋差)÷2＝大數(shù)

(和－差)÷2＝小數(shù)

為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同表達(dá)方式.有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個數(shù)的差“暗藏〞起來，我們管暗藏的差叫“暗差〞。例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.〞這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.〞×2=6支，就是暗差?！鞍呀憬愕你U筆給弟弟3支后還比弟弟多1支〞，這就說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多3×2＋1＝7〔支〕。例1兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？分析這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時，兩筐共重150＋8＝158〔千克〕；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時，兩筐共重150-8＝142〔千克〕.解法1：①第二筐重多少千克？〔150-8〕÷2=71〔千克〕②第一筐重多少千克？71＋8=79〔千克〕或150-71=79〔千克〕解法2：①第一筐重多少千克？〔150+8〕÷2＝79〔千克〕②第二筐重多少千克？79-8=71〔千克〕或150-79=71〔千克〕答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。例2今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？分析題中沒有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28〔歲〕.不管過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。解：①爸爸的年齡：[58＋〔35-7〕]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43〔歲〕②小強(qiáng)的年齡：58-43＝15〔歲〕答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。例3小明期末考試時語文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？分析解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語文成績之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語文成績之和沒有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績是94分，這就可以求得這兩科的總成績.解：①語文和數(shù)學(xué)成績之和是多少分？94×2＝188〔分〕②數(shù)學(xué)得多少分？〔188+8〕÷2＝196÷2=98〔分〕③語文得多少分？〔188-8〕÷2=180÷2=90〔分〕或98-8=90〔分〕答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學(xué)得98分.例4甲乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？分析這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多32×2+48＝112〔人〕.112是兩校人數(shù)差。解：①乙校原有的學(xué)生：〔864-32×2-48〕÷2＝376〔人〕②甲校原有學(xué)生：864-376=488〔人〕答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。小結(jié)：從以上4個例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問題的一般解題規(guī)律是：〔和+差〕÷2=較大數(shù)較大數(shù)-差=較小數(shù)或〔和-差〕÷2=較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù)也可以求出一個數(shù)后，用和減去這個數(shù)得到另一個數(shù).下面我們用和差問題的思路來解答一個數(shù)學(xué)問題。例5在每兩個數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號使算式成立。123456789=5分析這樣想：從1至9這幾個數(shù)字相加是不會得到5的，只能從一局部數(shù)字相加再減去一局部字后差是5，也就是說1到9的和是45，而兩局部的差是5，先要求出這兩局部數(shù)字，利用和差問題的方法便可以求出?！?5-5〕÷2=20，20+5=25“+〞號，而在組成和是20的幾個數(shù)前面添上“-〞號，此題就算出來了。例如：5+6+9=20可得到。1+2+3+4-5-6+7+8-9=5又如：5+7+8=20可得到。1+2+3+4-5+6-7-8+9=5又如：3+4+6+7=20可得到。1+2-3-4+5-6-7+8+9=5同學(xué)們，這道題你還有其他解法嗎？試試看！習(xí)題1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問甲、乙兩桶原有多少油？3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬元，今年比去年多10萬元，今年與去年的產(chǎn)值各是多少萬元？5.甲、乙兩個學(xué)校共有學(xué)生1245人，如果從甲校調(diào)20人去乙校后，甲校比乙校還多5人，兩校原有學(xué)生各多少人？6.三個物體平均重量是31千克，甲物體比乙、丙兩個物體重量之和輕1千克，乙物體比丙物體重量的2倍還重2千克，三個物體各重多少千克？7.甲、乙兩個工程隊共有1980人，甲隊為了支援乙隊，抽出285人參加乙隊，這時乙隊人數(shù)還比甲隊少24人，求甲、乙兩隊原有工人多少人？8.四年級有3個班，如果把甲班的1名學(xué)生調(diào)整到乙班，兩班人數(shù)相等；如果把乙班1名學(xué)生調(diào)到丙班，丙班比乙班多2人，問甲班和丙班哪班人數(shù)多？多幾人？習(xí)題解答1.桃樹的棵樹：〔150+20〕÷2=85〔棵〕梨樹的棵樹：150-85=65〔棵〕答：有桃樹85棵，梨樹65棵。2.甲桶油重：〔30+6×2〕÷2=21〔千克〕乙桶油重：30-21=9〔千克〕答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。3.錫的重量：〔500-100〕÷2=200〔千克〕鋁的重量：500-200=300〔千克〕答：錫重量是300千克，鋁的重量是200千克。4.今年的產(chǎn)值：〔96×2+10〕÷2=101〔萬元〕去年的產(chǎn)值：101-10=91〔萬元〕答：今年的產(chǎn)值是101萬元，去年的產(chǎn)值是91萬元。5.乙校原有人數(shù)：[1245-〔20×2+5〕]÷2=600〔人〕甲校原有人數(shù)：1245-600＝645〔人〕答：甲校原有學(xué)生645人，乙校原有學(xué)生600人。6.三個物體的總重量：31×3=93〔千克〕甲物體的重量：〔93-1〕÷2=46〔千克〕丙物體的重量：〔93-46-2〕÷〔2+1〕=15〔千克〕乙物體的重量：93-46-15=32〔千克〕答：甲、乙、丙三個物體的重量分別為46千克、32千克、15千克。7.甲隊原有人數(shù)：〔285×2+24+198O〕÷2=1287〔人〕乙隊原有人數(shù)：1287-594=693〔人〕答：甲隊原有1287人，乙隊原有693人。8.解〔略〕，答：甲班比丙班人數(shù)多，多2名學(xué)生.啤酒瓶換酒兒子分羊的故事雖然有趣，但是在數(shù)學(xué)上，它并不合理。因?yàn)槟俏晦r(nóng)民本來是要大兒子分I7只羊的；而不是18只羊的，另外，3個兒子分，即使分的不是羊，而是別的東西，或者是錢；也不行。你看：可見3個兒子分完之后；總會剩下這給誰呢了那位農(nóng)民沒有交代清楚。不知道是不是他臨終時頭腦不夠清楚，沒有安排好呢？這是個智力游戲，不算真正的數(shù)學(xué)。不過，那位聰明的鄰居先送去1只羊；后來又牽回去1只羊；這一借一還的妙法，對我們解決一些真正的數(shù)學(xué)問題，倒是很有啟發(fā)和幫助的。你看這個問題。某啤酒廠為了回收酒瓶；規(guī)定3個空瓶換1瓶酒。一個人買了10瓶酒；喝完之后，又拿空瓶換酒，問他一共可以再換到多少瓶的酒？這個問題好解決。10個空瓶換回3瓶酒；還剩1個空瓶喝完后，手里有4個空瓶，拿3個又換1瓶酒喝完后，手里有2個空瓶。要是你以為用空瓶只能換回4瓶的酒，那就錯了。正確的答案是他可以換回5瓶的酒。因?yàn)樗灰遗笥呀枰粋€空瓶；湊夠3個，換回1瓶酒；把酒喝掉，再把空瓶還給人家。所以，他買了10瓶酒，喝到了15瓶的酒。再多倍瓶子行不行呢？不行。為什么呢？原來這一借一還是有數(shù)學(xué)根據(jù)的：3個空瓶=l瓶酒…l瓶酒=l個空瓶十l瓶的酒…3個空瓶=l個空瓶十l瓶的酒…2個空瓶=l瓶的酒你看，10個空瓶，本來就應(yīng)當(dāng)換回不帶瓶的5瓶酒。借個瓶子，一方面是為了符合啤酒廠的規(guī)定另一方面，也是說明問題的一個方法。第三章和倍問題和倍問題是大小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的應(yīng)用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。公式：

和÷(倍數(shù)＋1)＝小數(shù)

小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)

(或者和－小數(shù)＝大數(shù))例1甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，那么甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用以下圖表示它們的關(guān)系：解：乙班：160÷〔3+1〕=40〔本〕甲班：40×3=120〔本〕或160-40=120〔本〕答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，說明這題作對了.注意驗(yàn)算決不是把原式再算一遍。驗(yàn)算：120＋40=160〔本〕120÷40=3〔倍〕。例2甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？分析解這題的關(guān)鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量.從條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比擬，可以求出甲班給乙班多少本書〔見上圖〕。解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：30＋120=150〔本〕②甲班給乙班假設(shè)干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：2＋1＝3〔倍〕③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50〔本〕④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20〔本〕綜合算式：〔30＋120〕÷〔2+1〕=50〔本〕50-30=20〔本〕答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。驗(yàn)算：〔120-20〕÷〔30+20〕＝2〔倍〕〔120-20〕+〔30+20〕＝150〔本〕。例3光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍〔見以下圖〕。解：①女生人數(shù)：〔760＋40〕÷〔3＋1〕=200〔人〕②男生人數(shù)：200×3-40=560〔人〕或760-200=560〔人〕答：男生有560人，女生有200人。驗(yàn)算：560＋200=760〔人〕〔560+40〕÷200=3〔倍〕。例4果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析以下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比擬、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹那么變?yōu)?52+20-12=560〔棵〕，相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4倍。解：