正弦平面電磁波

第七章正弦平面電磁波時諧場：場量隨時間按正弦規(guī)律變化的電磁場。時諧場也稱為正弦電磁場。正弦電磁波在工程上應(yīng)用廣泛，有如下特點：

1、易于激勵；

2、由傅立葉級數(shù)可知：在線性媒質(zhì)中，正弦電磁波可以合成其他形式的電磁波。本章主要內(nèi)容：時諧場的波動方程——亥姆霍茲方程無界理想媒質(zhì)中的均勻平面波無界導(dǎo)電媒質(zhì)（損耗媒質(zhì)）中的均勻平面波在媒質(zhì)分界面上波的反射與透射第一節(jié)亥姆霍茲方程一、時諧場場量的復(fù)數(shù)表示時諧場所滿足的波動方程即為亥姆霍茲方程。對于時諧場，其場量和都是以一定的角頻率隨時間t按正弦規(guī)律變化。在直角坐標系下，電場可表示為：

式中：為電場在各方向分量的幅度為電場各分量的初始相位由復(fù)變函數(shù)，知：，則：式中：場量上加點表示為復(fù)數(shù)。因此時諧場中，電場強度可表示為式中：同理，可得：二、麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式很明顯，對于時諧場故由麥克斯韋方程組微分形式，可得：為了簡化書寫，約定寫做，而項則省略不寫，則方程變?yōu)椋蝴溈怂鬼f方程組復(fù)數(shù)形式注意：1）方程中各場量形式上是實數(shù)及源量均應(yīng)為復(fù)數(shù)形式（為了簡化書寫而略寫）。

2）方程中雖然沒有與時間相關(guān)的因子，時間因子為缺省式子。

3）麥克斯韋方程組復(fù)數(shù)形式只能用于時諧場。說明：場量的復(fù)數(shù)形式：

場量的實數(shù)形式：

場量的復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為實數(shù)形式的方法：三、亥姆霍茲方程在時諧場中，由于場量隨時間呈正弦規(guī)律變化，則則無源空間的波動方程變?yōu)椋汉ツ坊羝澐匠倘袅睿海瑒t亥姆霍茲方程變?yōu)?/p>

說明：亥姆霍茲方程的解為時諧場（正弦電磁波）。可以推知，在時諧場中，平均坡印廷矢量可以表示為：上式中：、為場量的復(fù)數(shù)表達式；為對場量取共軛運算。第二節(jié)平均坡印廷矢量

坡印廷矢量瞬時形式：

平均坡印廷矢量：在上面的式子中，和均應(yīng)為實數(shù)形式，即：代入第一式，證明：第三節(jié)理想介質(zhì)中的均勻平面波平面波：波陣面為平面的電磁波（等相位面為平面）。均勻平面波：等相位面為平面，且在等相位面上，電、磁場場量的振幅、方向、相位處處相等的電磁波。在實際應(yīng)用中，純粹的均勻平面波并不存在。但某些實際存在的波型，在遠離波源的一小部分波陣面，仍可近似看作均勻平面波。一、亥姆霍茲方程的平面波解在正弦穩(wěn)態(tài)下，在均勻、各向同性理想媒質(zhì)的無源區(qū)域中，電場場量滿足亥姆霍茲方程，即：

考慮一種簡單情況，即電磁波電場沿x方向，波只沿z方向傳播，則由均勻平面波性質(zhì)，知只隨z坐標變化。則方程可以簡化為：解一元二次微分方程，可得上方程通解為：式中:、為待定常數(shù)（由邊界條件確定）.討論：1、為通解的復(fù)數(shù)表達形式，通解的實數(shù)表達形式為：

2、通解的物理意義：波動方程平面波解

不同時刻的波形kzEx

0π2π3π首先考察。其實數(shù)形式為：在不同時刻，波形如右圖。從圖可知，隨時間t增加，波形向+z方向平移。故：表示向+z方向傳播的均勻平面波；同理可知：表示向-z方向傳播的均勻平面波；亥姆霍茲方程通解的物理意義：表示沿z向(+z,-z)方向傳播的均勻平面波的合成波。二、無界理想媒質(zhì)中均勻平面波的傳播特性在無界媒質(zhì)中，若均勻平面波向+z向傳播，且電場方向指向方向，則其電場場量表達式為：電磁波的場量表達式包含了有關(guān)波特性的信息。

1、均勻平面波電場場量的一般表達式式中：表示電磁波中電場的幅度的方向表示電磁波中電場的方向表示電磁波動的角頻率為波矢量為波的初始相位

2、波的頻率和周期頻率：周期：波數(shù)k:長為距離內(nèi)包含的波長數(shù)。

3、波數(shù)k、波長與波矢量波長:波矢量：表征波傳播特性的矢量式中：k即為波數(shù)即為表示波傳播方向的單位矢量。

4、相位速度（波速）

zEx

0π2π3π如圖所示電磁波向+z方向傳播，從波形上可以認為是整個波形隨著時間變化向+z方向平移。相位：兩邊對時間t去導(dǎo)數(shù)，得：討論：1、電磁波傳播的相位速度僅與媒質(zhì)特性相關(guān)。

2、真空中電磁波的相位速度：

真空中電磁波相位速度為光速。

5、場量，的關(guān)系為表示波傳播方向的單位矢量。同理可以推得：

從公式可知：均勻平面電磁波中電場幅度和磁場幅度之比為一定值。定義電場幅度和磁場幅度比為媒質(zhì)本征阻抗，用表示，即：——媒質(zhì)本征阻抗

特殊地：真空（自由空間）的本振阻抗為：

結(jié)論：在自由空間中傳播的電磁波，電場幅度與磁場幅度之比為377。

說明：、、三者相互垂直，且滿足右手螺旋關(guān)系。6、能量密度和能流密度電場能量密度：磁場能量密度：結(jié)論：理想媒質(zhì)中均勻平面波的電場能量等于磁場能量。實數(shù)表達形式電磁波的能量密度：kEH小結(jié)：無界理想媒質(zhì)中均勻平面波的傳播特性：電場與磁場的振幅相差一個因子電場、磁場的時空變化關(guān)系相同。電場、磁場的振幅不隨傳播距離增加而衰減。電場和磁場在空間相互垂直且都垂直于傳播方向。、、（波的傳播方向）滿足右手螺旋關(guān)系電磁波的能流密度：例頻率為100MHz的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿+Z方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為。設(shè)電場沿x方向，即。已知：當t=0,z=1/8m時，電場等于其振幅值。試求:（1）波的傳播速度、波長、波數(shù)；（2）電場和磁場的瞬時表達式；（3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。解：由已知條件可知：頻率:

振幅:(1)(2)設(shè)由條件，可知：由已知條件，可得：(3)另解：第四節(jié)波的極化特性注意：電磁波的極化方式由輻射源(即天線)的性質(zhì)決定。一、極化的定義波的極化：指空間某固定位置處電場強度矢量隨時間變化的特性。極化的描述：用電場強度矢量終端端點在空間形成的軌跡表示。二、極化的分類：線極化：電場僅在一個方向振動，即電場強度矢量端點的軌跡是一條直線；橢圓極化：電場強度矢量端點的軌跡是一個橢圓（橢圓的一種特殊情況是圓）E=excos(wt-kz)yxo觀察平面，z=constz顯然，電場的振動方向始終是沿x軸方向，所以這是一個沿x方向的線極化波。三、極化的判斷通過兩個相互正交的線極化波疊加，合成得到不同的極化方式。由電磁波電場場量或者磁場場量，可以判斷波的極化方式。yzxo設(shè)均勻平面電磁波向+z方向傳播，則一般情況下，其電場可以表示為：由于空間任意點處電場隨時間的變化規(guī)律相同，故選取z=0點作為分析點，即：場量表達式中，的取值將決定波的極化方式。1、當時電場與x軸夾角為：結(jié)論：當時，電磁波為線極化波。2、當且時合成電場的模及其與x軸夾角為：從上可知：合成電場矢量終端形成軌跡為一圓，電場矢量與x軸夾角隨時間變化而改變。如圖，當時，可以判斷出：電場矢量終端運動方向與電磁波傳播方向滿足右手螺旋關(guān)系——右旋極化波。

結(jié)論：當且時，合成波為右旋圓極化波。同理：當且時，合成波為左旋圓極化波。說明：上述結(jié)論適用于向+z方向傳播的均勻平面波。對于向－z方向傳播的均勻平面波，其波的極化旋轉(zhuǎn)方向與向+z方向傳播的同幅同相波相反。結(jié)論：兩個頻率相同、傳播方向相同的正交電場分量的振幅和相位是任意的，則其合成波為橢圓極化波。說明：圓極化波和線極化波可看作是橢圓極化波的特殊情況。3、其他情形例根據(jù)電場表示式判斷它們所表征的波的極化形式。所以，合成波為線極化波。解：解：故：合成波為左旋圓極化波。解：合成波為右旋圓極化波。解：故：合成波為右旋圓極化波。解：合成波為橢圓極化波。第五節(jié)導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波一、導(dǎo)電媒質(zhì)中的波動方程在無源的導(dǎo)電媒質(zhì)區(qū)域中，麥克斯韋方程為第一個方程可以改寫為稱為復(fù)介電常數(shù)或等效介電常數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)的典型特征是電導(dǎo)率

≠0。電磁波在其中傳播時，有傳導(dǎo)電流存在，同時伴隨著電磁能量的損耗，電磁波的傳播特性與非導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性有所不同。說明：復(fù)介電常數(shù)其中：，僅與媒質(zhì)本身介電常數(shù)有關(guān)；，與媒質(zhì)本身導(dǎo)電率和波的頻率有關(guān)；為了方便描述導(dǎo)電媒質(zhì)的損耗特性，引入媒質(zhì)損耗正切角(用表示)的概念。定義：引入等效復(fù)介電常數(shù)后，麥克斯韋方程組可記做：推得導(dǎo)電媒質(zhì)中的波動方程為：式中：稱為復(fù)波數(shù)。比較損耗媒質(zhì)中的波動方程和理想介質(zhì)中的波動方程可知：方程形式完全相同，差別僅在于二、導(dǎo)電媒質(zhì)中的波動方程的解因此，在損耗媒質(zhì)中波動方程對應(yīng)于沿+z方向傳播的均勻平面波解為：式中：，為復(fù)數(shù)?？山⒎匠探M：令,則由

所以損耗媒質(zhì)中波動方程解可以寫為：寫成實數(shù)形式（瞬時形式），得：三、導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波的傳播特性

1、波的振幅和傳播因子振幅：隨著波傳播(z增加)，振幅不斷減小。傳播因子：波為均勻平面波（行波）。

2、幅度因子和相位因子只影響波的振幅，故稱為幅度因子；只影響波的相位，故稱為相位因子；其意義與k相同，即為損耗媒質(zhì)中的波數(shù)。

3、相位速度（波速）在理想媒質(zhì)中：在損耗媒質(zhì)中：很明顯：損耗媒質(zhì)中波的相速與波的頻率有關(guān)。

色散現(xiàn)象：波的傳播速度（相速）隨頻率改變而改變的現(xiàn)象。具有色散效應(yīng)的波稱為色散波。結(jié)論：導(dǎo)電媒質(zhì)（損耗媒質(zhì)）中的電磁波為色散波。

4、場量，的關(guān)系可以推知：在導(dǎo)電媒質(zhì)中，場量，之間關(guān)系與在理想介質(zhì)中場量間關(guān)系相同，即：式中：為波傳播方向為導(dǎo)電媒質(zhì)本征阻抗討論：(1)、、三者相互垂直，且滿足右手螺旋關(guān)系

(2)

在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電場和磁場在空間中不同相。電場相位超前磁場相位。小結(jié)：無限大導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的特性：

1、為橫電磁波（TEM波），、、三者滿足右手螺旋關(guān)系2、電磁場的幅度隨傳播距離的增加而呈指數(shù)規(guī)律減小；3、電、磁場不同相，電場相位超前于磁場相位；4、是色散波。波的相速與頻率相關(guān)。四、媒質(zhì)導(dǎo)電性對場的影響對電磁波而言，媒質(zhì)的導(dǎo)電性的強弱由決定。從上可知：媒質(zhì)是良導(dǎo)體還是弱導(dǎo)體，與電磁波的頻率有關(guān)，是一個相對的概念。

1、良導(dǎo)體中的電磁波在良導(dǎo)體中，，則前面討論得到的，近似為

重要性質(zhì)：在良導(dǎo)體中，電場相位超前磁場相位在良導(dǎo)體中，衰減因子。對于一般的高頻電磁波(GHz)，當媒質(zhì)導(dǎo)電率較大時，往往很大，電磁波在此導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播很小的距離后，電、磁場場量的振幅將衰減到很小。因此：電磁波只能存在于良導(dǎo)體表層附近，其在良導(dǎo)體內(nèi)激勵的高頻電流也只存在于導(dǎo)體表層附近，這種現(xiàn)象成為趨膚效應(yīng)。我們用趨膚深度(穿透深度)來表征良導(dǎo)體中趨膚效應(yīng)的強弱。趨膚深度：電磁波穿入良導(dǎo)體中，當波的幅度下降為表面處振幅的時，波在良導(dǎo)體中傳播的距離，稱為趨膚深度。

2、弱導(dǎo)體中的電磁波在良導(dǎo)體中，，則前面討論得到的，近似為在弱導(dǎo)電媒質(zhì)中，仍存在能量損耗，波的相位常數(shù)近似等于理想媒質(zhì)中波的相位常數(shù)，第六節(jié)

均勻平面波對分界面的垂直入射本節(jié)討論單一頻率均勻平面波在兩個半無界介質(zhì)分界面上的反射與透射，設(shè)分界面為無限大平面，分界面位于z=0處。本節(jié)以入射波為x方向的線極化波為例進行討論。一、對理想導(dǎo)體的分界面的垂直入射x入反yz設(shè)左半空間是理想介質(zhì)，

1＝0；右半空間為理想導(dǎo)體，

2＝∞。分界面在z=0平面上。理想介質(zhì)內(nèi)將存在入射波和反射波。設(shè)入射波電場為設(shè)反射波電場為則入射波磁場為則反射波磁場為由理想導(dǎo)體邊界條件可知：反射波電場為：理想媒質(zhì)中的合成場為：合成波場量的實數(shù)表達式為：討論：1、合成波的性質(zhì)：對任意時刻t，在合成波電場皆為零對任意時刻t，在合成波磁場皆為零zEx0zHy0zHy0zEx0合成波的性質(zhì)：

合成波為純駐波振幅隨距離變化電場和磁場最大值和最小值位置錯開

/4電場和磁場原地振蕩，電、磁能量相互轉(zhuǎn)化。2、導(dǎo)體表面的場和電流在理想導(dǎo)體表面的感應(yīng)面電流為：3、合成波的平均能流密度結(jié)論：合成波(駐波)不傳播電磁能量，只存在能量轉(zhuǎn)化。二、對兩種理想介質(zhì)分界面的垂直入射x入反12yz透設(shè)左、右半空間均為理想介質(zhì)，

1＝

2＝0。電磁波在介質(zhì)分界面上將發(fā)生反射和透射。透射波在介質(zhì)2中將繼續(xù)沿＋z方向傳播。設(shè)入射波電場為(一般已知)設(shè)反射波電場為設(shè)透射波電場為由兩種理想介質(zhì)邊界條件可知：媒質(zhì)1中總的電場、磁場為：式中：，為媒質(zhì)1、2的本征阻抗。定義：反射系數(shù)透射系數(shù)則媒質(zhì)1中合成波為：討論：1、媒質(zhì)1中合成波的傳播特點：前一項包含行波因子，表示振幅為(1+

)Eim、沿+z方向傳播的行波；后一項是振幅為2

Eim的駐波；合成波為行駐波（混合波）：相當于一個行波疊加在一個駐波上，電場的中心值不再是零，出現(xiàn)波節(jié)，但波節(jié)點場值不為零。

2、反射系數(shù)和透射系數(shù)關(guān)系為：當媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體時，，可知電磁波垂直入射到理想導(dǎo)體面上時，反射系數(shù)為－1。

3、當分界面兩邊為導(dǎo)電媒質(zhì)時，媒質(zhì)本征阻抗為復(fù)數(shù)，即均為復(fù)數(shù)，故：也為復(fù)數(shù)。

在導(dǎo)電媒質(zhì)兩邊，入射波和反射波、入射波和透射波不同相。第七節(jié)

均勻平面波對分界面的斜入射電磁波垂直入射時，電場和磁場總是平行分界面的。斜入射時，傳播方向與分界面法向不平行，電場或磁場可能與分界面不平行。yxE∥EiE⊥k入射角

i入射面分界面介質(zhì)2介質(zhì)1入射方向z一、幾個重要概念入射面：入射射線與分界面法線構(gòu)成的平面。平行極化入射：入射波電場方向平行于入射面的入射方式。垂直極化入射：入射波電場方向垂直于入射面的入射方式。入射角：入射射線與分界面法線夾角。二、反射定律和折射定律xkin

i分界面21z

r

tkrkt電磁波斜入射到介質(zhì)分解面上時，將發(fā)生反射和折(透)射現(xiàn)象。反射波和透射波的傳播方向遵循反射定律和折射定律。斯耐爾反射定律：斯耐爾折射定律：三、垂直極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射

設(shè)z<0和z>0空間分別為兩個半無限完純介質(zhì)。設(shè)入、反、透射三波的傳播方向分別為ei、er、et，且ki=eik1，kr=erk1，kr=erk2，有xein

i分界面21z

i

teretHiEiErHrHtEt設(shè)：則：在邊界面上，有由斯耐爾折射定律，知三者相等。即：由邊界條件可知，在邊界面上可得：菲涅爾公式若媒質(zhì)為非磁性媒質(zhì)，即：

⊥＞0，入、透射波同相

2＜

1時,

i＜

t,⊥＞0,入、反射波同相

2＞

1時,

i＞

t,⊥＜0,入、反射波反相，半波損失同理：說明：1）2）入射波、反射波相位關(guān)系：四、平行極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射xein

i分界面21z

i

teretHiEiErHrEtHt同理，在介質(zhì)分界面兩邊根據(jù)邊界條件，可以求得：非磁性媒質(zhì)中五、兩種特殊情況1、全反射和臨界角從斯耐爾折射定律可知，對于非磁性媒質(zhì)，當(即波從光密媒質(zhì)入射到光疏媒質(zhì))時即：透射角大于入射角。很明顯，當入射角增大為某一特定角度時，透射角。當入射角進一步增大時，就將不再存在透射波——全反射。定義：剛好產(chǎn)生全反射時的入射角稱為臨界角,即討論：1)當時，

即電磁波被完全反射回來。2）當發(fā)生全反射時透射波的性質(zhì)：由折射定律，有當時，此時為復(fù)角。此時，透射波的行波因子可以變形為：透射波沿+x傳播，但其振幅沿+z按指數(shù)規(guī)律衰減；當電磁波以大于臨界角的角度入射時，進入介質(zhì)2的電磁波將沿著分界面?zhèn)鞑?，且其振幅隨進入介質(zhì)2的深度迅速衰減，這種波稱為表面波；可以證明進入介質(zhì)2平均能流密度（平均功率）為零，即沒有能量進入介質(zhì)2；

工程上利用這個原理制做介質(zhì)波導(dǎo)（如光纖）。2、無反射(全透射)和布儒斯特角