人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修二)同步培優(yōu)講義專題5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（重難點(diǎn)題型精講）（原卷版）

專題5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（重難點(diǎn)題型精講）1．瞬時(shí)速度(1)平均速度設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，則物體在SKIPIF1<0到SKIPIF1<0+SKIPIF1<0t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)瞬時(shí)速度①物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

②一般地，當(dāng)SKIPIF1<0t無(wú)限趨近于0時(shí)，SKIPIF1<0無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說當(dāng)SKIPIF1<0t趨近于0時(shí)，SKIPIF1<0的極限是v，這時(shí)v就是物體在t=SKIPIF1<0時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度v=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.2．拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設(shè)二次函數(shù)y=f(x)，則拋物線上過點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的割線的斜率為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)拋物線切線的斜率一般地，在二次函數(shù)y=f(x)中，當(dāng)SKIPIF1<0x無(wú)限趨近于0時(shí)，SKIPIF1<0無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)k，我們就說當(dāng)SKIPIF1<0x趨近于0時(shí)，SKIPIF1<0的極限是k，這時(shí)k就是拋物線在點(diǎn)SKIPIF1<0處切線的斜率，即切線的斜率k=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3．函數(shù)的平均變化率函數(shù)平均變化率的定義

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從SKIPIF1<0變化到SKIPIF1<0+SKIPIF1<0x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(SKIPIF1<0)變化到f(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0x).這時(shí)，x的變化量為SKIPIF1<0x，y的變化量為SKIPIF1<0y=f(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0x)-f(SKIPIF1<0).我們把比值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0叫做函數(shù)y=f(x)從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0+SKIPIF1<0x的平均變化率.4．函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,f(SKIPIF1<0))時(shí)，割線SKIPIF1<0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線SKIPIF1<0T(T是直線SKIPIF1<0T上的一點(diǎn))稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線.(2)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在x=SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)f'(SKIPIF1<0)就是切線SKIPIF1<0T的斜率SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=f'(SKIPIF1<0).這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為y-f(SKIPIF1<0)=f'(SKIPIF1<0)(x-SKIPIF1<0).5．導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)y=f(x)在x=SKIPIF1<0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)x=SKIPIF1<0時(shí)，f'(SKIPIF1<0)是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y=f'(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y'，即f'(x)=y'=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【題型1瞬時(shí)速度、平均速度】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)瞬時(shí)速度、平均速度的定義進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知物體做直線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為S=S(t)，其中S表示路程，t表示時(shí)間．則S'A．經(jīng)過4s后物體向前走了10mB．物體在前4秒內(nèi)的平均速度為10m/sC．物體在第4秒內(nèi)向前走了10mD．物體在第4秒時(shí)的瞬時(shí)速度為10m/s【變式1-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)st=t2+t+1A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【變式1-2】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系?(t)=?4.9t2+4.8t+11.該運(yùn)動(dòng)員在t=1sA．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【變式1-3】（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s=t2+2t，設(shè)其在t∈[2,3]內(nèi)的平均速度為v1，在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為v2A．76 B．73 C．6【題型2平均變化率】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合函數(shù)的平均變化率的定義，即可得解.【例2】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+2A．4 B．3 C．2 D．1【變式2-1】（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）函數(shù)fx=?x3+1A．3 B．2 C．?2 D．?3【變式2-2】（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））若函數(shù)f(x)=x2?t，當(dāng)1≤x≤m時(shí)，平均變化率為2，則mA．5 B．2 C．3 D．1【變式2-3】（2022·陜西安康·高二期末（文））為了評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時(shí)間t的關(guān)系為c=f(t)，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間t變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t【題型3利用導(dǎo)數(shù)的定義解題】【方法點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·新疆·高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為2，則limΔA．0 B．12【變式3-1】（2022·上海市高二期末）已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若lim△x→0f(2)?f(2+Δx)2A．?1 B．?14【變式3-2】（2022·湖北襄陽(yáng)·高二期末）若函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為1，則limA．2 B．3 C．－2 D．－3【變式3-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，若limΔx→0f1+A．1 B．2 C．3 D．4【題型4導(dǎo)數(shù)的幾何意義】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的斜率或切線方程.【例4】（2023·上海·高三專題練習(xí)）limx→2f(5?x)?3x?2=2,f(3)=3，A．2x+y+9=0 B．2x+y?9=0C．?2x+y+9=0 D．?2x+y?9=0【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)y=fx的圖像在點(diǎn)M3,f3處的切線方程是y=13A．1 B．2 C．3 D．5【變式4-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1，則limΔx→0f(1+A．4 B．2 C．1 D．1【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=?x+8，則limΔx→0A．?12 B．2 C．?1【題型5函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)函數(shù)圖象、導(dǎo)函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知f'x是fx的導(dǎo)函數(shù)，f'xA． B．C． D．【變式5-1】若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是A． B． C． D．【變式5-2】（2022·北京高二期末）已知函數(shù)fx=ax3+bA． B．C． D．【變式5-3】（2022·河南高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若y=f'A． B．C． D．【題型6導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢.結(jié)合具體條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)fx的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的