人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修一)同步培優(yōu)講義專(zhuān)題1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算-重難點(diǎn)題型精講（原卷版）

專(zhuān)題1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算-重難點(diǎn)題型精講1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．向量SKIPIF1<0的投影(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量．類(lèi)似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱(chēng)為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【題型1數(shù)量積的計(jì)算】求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入SKIPIF1<0求解．【例1】（2021秋?溫州期末）已知四面體ABCD，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則AF→A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【變式1-1】（2021秋?沈河區(qū)校級(jí)期末）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為a，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則GE→?GFA．2a28 B．a(chǎn)28 C．【變式1-2】（2021秋?南海區(qū)校級(jí)月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)AB→=a→，AD→A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【變式1-3】（2022春?南明區(qū)校級(jí)月考）已知MN是棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則PM→A．4 B．12 C．8 D．6【題型2向量的夾角及其應(yīng)用】求兩個(gè)向量的夾角：利用公式SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0求SKIPIF1<0，進(jìn)而確定SKIPIF1<0．【例2】（2021秋?定遠(yuǎn)縣期末）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，設(shè)AB→=a→，AD→=bA．30° B．60° C．90° D．120°【變式2-1】（2021秋?吉安期末）已知空間中四個(gè)不共面的點(diǎn)O、A、B、C，若|OB→|＝|OC→|，且cos＜OA→，OB→＞=cos＜OAA．1 B．12 C．32 D【變式2-2】（2020秋?洪澤縣校級(jí)期末）空間四邊形OABC中，OB＝6，OC＝4，BC＝4，∠AOB=∠AOC=π3，則cos＜OA→，【變式2-3】（2021秋?玉林期末）如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若AB→?AE→+AC→?AF【題型3利用數(shù)量積求向量的?！壳缶€段長(zhǎng)度(距離)：①取此線段對(duì)應(yīng)的向量；②用其他已知夾角和模的向量表示該向量；③利用SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，計(jì)算出SKIPIF1<0，即得所求長(zhǎng)度(距離)．【例3】（2020秋?秦皇島期末）在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．6【變式3-1】（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在大小為45°的二面角A﹣EF﹣D中，四邊形ABFE與CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B與D兩點(diǎn)間的距離是（）A．3 B．2 C．1 D．3?【變式3-2】（2021秋?鄭州期末）在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．6【變式3-3】如圖，圓臺(tái)的高為4，上、下底面半徑分別為3、5，M、N分別在上、下底面圓周上，且＜O2M→，O1N→A．65 B．52 C．35 D．5【題型4向量垂直的應(yīng)用】【例4】（2021秋?大連月考）已知a，b是異面直線，e1→，e2→分別為取自直線a，b上的單位向量，且a→=2e1→+3e2→，bA．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3【變式4-1】（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（）A．AD1→?B1C→ B．B【變式4-2】若A，B，C，D是空間中不共面的四點(diǎn)，且滿足AB→?AC→=AC→?AD→=A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形