第五節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.了解指數(shù)冪的拓展過(guò)程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.通過(guò)具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).2．有理數(shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義ar＋sarsarbr3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時(shí)，需分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論．(3)任意兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象都是相交的，過(guò)定點(diǎn)(0,1)，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(4)指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)的大小關(guān)系如圖所示，其中0<c<d<1<a<b.2．(蘇教版必修第一冊(cè)P155·T5改編)若函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值之和為3，則a的值為

(

)答案：A3．函數(shù)y＝2x＋1的圖象是

(

)答案：A4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，則

(

)A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b答案：B層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)指數(shù)冪的運(yùn)算

[題點(diǎn)全訓(xùn)][一“點(diǎn)”就過(guò)](1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運(yùn)算的先后順序．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)．(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．基礎(chǔ)點(diǎn)(二)指數(shù)型函數(shù)圖象的識(shí)辨

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是

(

)解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域?yàn)?－∞，0]，排除C.答案：A

2．函數(shù)y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的圖象可能是

(

)[一“點(diǎn)”就過(guò)]有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問(wèn)題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．層級(jí)二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用

(1)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問(wèn)題，可以通過(guò)直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．2．函數(shù)y＝|3x－2|＋m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：作出函數(shù)y＝|3x－2|的圖象如圖所示．由圖可知，若函數(shù)y＝|3x－2|＋m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則將函數(shù)y＝|3x－2|的圖象至少向下移動(dòng)2個(gè)單位，則m≤－2.答案：(－∞，－2][方法技巧]比較指數(shù)冪大小的常用方法

單調(diào)性法不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底取中間值法不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時(shí)，先與中間值(特別是0,1)比較大小，然后得出大小關(guān)系圖象法根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，借助圖象比較大小[方法技巧]解指數(shù)不等式的常用方法性質(zhì)法解形如ax>ab的不等式，可借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論隱含性質(zhì)法解形如ax>b的不等式，可先將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解圖象法解形如ax>bx的不等式，可利用對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象求解考法3求參數(shù)值(范圍)[例3]

(1)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________．求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．求參數(shù)值(范圍)的方法是：首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解．

[針對(duì)訓(xùn)練]答案：D

2．(2022·臨沂模擬)已知a＝31.1，b＝41.1，c＝30.9，則a，b，c的大小關(guān)系為

(

)A．c<a<b B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a解析：由題意，構(gòu)造函數(shù)y＝3x，y＝x1.1，由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可知兩個(gè)函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；∵0.9<1.1，∴30.9<31.1，∴c<a；∵3<4，∴31.1<41.1，∴a<b.綜上，c<a<b.答案：A

A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上分別單調(diào)遞減C．f(x)的值域?yàn)?－1,1)D．若g(x)＝f(2－x)，則g(a)＋g(4－a)＝0(a≠2)4．若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．2．(注意新元的取值范圍)已知函數(shù)y＝4x－3·2x＋3，若其值域?yàn)閇1,7]，則x可能的取值范圍是

(

)A．[2,4] B．(－∞，0]C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]二、融會(huì)貫通應(yīng)用創(chuàng)新題3．(借助數(shù)學(xué)文化)《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，內(nèi)有中國(guó)特色的十四種算法．它最早記錄中國(guó)古代關(guān)于大數(shù)的記法：“黃帝為法，數(shù)有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載．三等者，謂上、中、下也．其下數(shù)者，十十變之，若言十萬(wàn)曰億，十億曰兆，十兆曰京也．中數(shù)者，萬(wàn)萬(wàn)變之，若言萬(wàn)萬(wàn)曰億，萬(wàn)萬(wàn)億曰兆，萬(wàn)萬(wàn)兆曰京．上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬(wàn)萬(wàn)曰億，億億曰兆，兆兆曰京也．從億至載，終于大衍．下數(shù)淺短，計(jì)事則不盡，上數(shù)宏闊，世不可用．故其傳業(yè)，唯以中數(shù)耳．”我們現(xiàn)在用的是中數(shù)之法：萬(wàn)萬(wàn)為億，萬(wàn)億為兆，萬(wàn)兆為京，……，即104＝1萬(wàn)，108＝1億，1012＝1兆，1016＝1京，……，已知地球的質(zhì)量大約是5.965秭千克，則5.965秭的位數(shù)是

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)A．21 B．20C．25 D．24解析：由題意知相鄰記數(shù)單位之間后面的比前面的多4位.1兆＝1012是13位數(shù)，因此1京是17位數(shù)，1垓是21位數(shù)，1秭是25位數(shù)，所以5.965秭是25位數(shù)．故選C.答案：C

5．(創(chuàng)新考查方式)設(shè)有兩個(gè)命題：①指數(shù)函數(shù)f(x)＝(2－a)x是增函數(shù)；②方程x2－ax－1＝0在(0,2]上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)①與②至少有一個(gè)真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．6．(體現(xiàn)開(kāi)放探究)能說(shuō)明