（新教材）【人教A版】20版必修二6.1（數(shù)學(xué)）

第六章平面向量及其應(yīng)用6.1平面向量的概念1.向量的定義與表示(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)表示方法：①幾何表示法：用以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段___

表示.②字母表示法：在印刷時(shí)，用黑體小寫字母a，b，c，…表示向量，手寫時(shí)，可寫成帶箭頭的小寫字母….(3)向量的模：向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模，如a，的模分別記做|a|,||.【思考】(1)定義中的“大小”與“方向”分別描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一個(gè)方面可以嗎？提示：向量不僅有大小，而且有方向.大小是代數(shù)特征，方向是幾何特征.看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素，二者缺一不可，所以只描述其中一個(gè)方面不可以.(2)由向量的幾何表示方法我們?cè)撊绾螠?zhǔn)確地畫(huà)出向量？提示：要準(zhǔn)確畫(huà)出向量，應(yīng)先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).2.特殊向量(1)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記做0.(2)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.(3)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a與b相等，記作a=b.(4)平行向量或共線向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共線向量.向量a平行于b，記作a∥b.規(guī)定零向量平行于任意向量.【思考】(1)0與0相同嗎？0是不是沒(méi)有方向？提示：0與0不同，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|=0.0有方向，其方向是任意的.(2)若a=b，則兩向量在大小與方向上有何關(guān)系？提示：若a=b，意味著|a|=|b|，且a與b的方向相同.(3)“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎？提示：向量平行與幾何中的直線平行不同，向量平行包括所在直線重合的情況，故也稱向量共線.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同. (

)(2)任意兩個(gè)單位向量都相等. (

)(3)平行向量的方向相同或相反. (

)(4)若則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn). (

)提示：(1)×.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，方向不一定相同，其終點(diǎn)也不一定相同.(2)×.任意兩個(gè)單位向量只是長(zhǎng)度相等，方向不一定相同，故不一定相等.(3)√.由平行向量的定義可知.(4)×.若則A，B，C，D也可能落在同一條直線上.2.下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中不是向量的有(

)

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，沒(méi)有方向，不是向量.3.如圖，在矩形ABCD中，可以用同一條有向線段表示的向量是 (

)【解析】選B.結(jié)合題干圖可知與大小相等，方向相同，所以類型一向量的概念、零向量與單位向量【典例】1.(2019·臨沂高一檢測(cè))以下選項(xiàng)中，都是向量的是 (

)

A.正弦線、海拔 B.質(zhì)量、摩擦力C.三角形的邊長(zhǎng)、體積 D.余弦線、速度2.給出下列說(shuō)法：①零向量是沒(méi)有方向的；②零向量的長(zhǎng)度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等，其中正確的是________(填序號(hào)).

【思維·引】1.緊扣向量的定義解答.2.緊扣零向量、單位向量的定義解答.【解析】1.選D.三角函數(shù)線、摩擦力、速度既有大小又有方向，是向量；海拔、質(zhì)量、三角形的邊長(zhǎng)、體積只有大小沒(méi)有方向，不是向量.2.由零向量的方向是任意的，知①錯(cuò)誤，③正確；由零向量的定義知②正確；由單位向量的模是1，知④正確.答案：②③④【內(nèi)化·悟】1.零向量的大小與方向是怎樣的？提示：零向量的長(zhǎng)度為0，方向任意.2.所有的單位向量有何共同特征？提示：所有的單位向量的長(zhǎng)度相等，都是1.【類題·通】1.判斷一個(gè)量是否為向量的兩個(gè)關(guān)鍵條件關(guān)鍵看它是否具備向量的兩要素：(1)有大小.(2)有方向.兩個(gè)條件缺一不可.2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.(2)單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.提醒：兩個(gè)單位向量的模相等，但這兩個(gè)單位向量不一定相等.【習(xí)練·破】在下列判斷中，正確的是 (

)①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③長(zhǎng)度相等的向量都是單位向量；④單位向量都是同方向；⑤向量與向量的長(zhǎng)度相等.A.①②③ B.①③⑤ C.①②⑤ D.①⑤【解析】選D.由定義知①正確，②由于兩個(gè)零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個(gè)具體方向，故不正確.長(zhǎng)度相等的向量其模不一定為1，③不正確，單位向量的方向不一定相同，④不正確，⑤正確.【加練·固】(2019·衡陽(yáng)高一檢測(cè))下列說(shuō)法正確的是 (

)A.有向線段與表示同一向量B.兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量C.零向量與單位向量是平行向量D.對(duì)任意向量a，是一個(gè)單位向量【解析】選C.向量與方向相反，不是同一向量，A錯(cuò)誤；有公共終點(diǎn)的向量的方向不一定相同或相反，B錯(cuò)誤；當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)意義，D錯(cuò)誤；零向量與任何向量都是平行向量，C正確.(1)找出與相等的向量.(2)找出與共線的向量.【思維·引】(1)找與相等的向量，就是找與長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(2)找與共線的向量，就是找與方向相同或相反的向量.【解析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形知，與的長(zhǎng)度相等且方向相同，所以與相等的向量為.(2)由題干圖可知，與方向相同，與方向相反，所以與共線的向量有【素養(yǎng)·探】本題主要考查相等向量與共線向量，同時(shí)考查直觀想象的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)讀圖能力.本例在找與共線的向量時(shí)，易忽視與其本身方向相反的向量，即易把漏掉.若本例改為，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是正方形，請(qǐng)?jiān)趫D中找出與模相等的向量.【解析】由題干圖可知，與模相等的向量為【類題·通】1.相等向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向的.2.共線向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向或反向的向量.3.共線向量與相等向量的關(guān)系相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量.若兩向量相等，則兩向量方向相同，模相等；若兩向量共線，則兩向量方向相同或相反.【發(fā)散·拓】向量的平行不具備傳遞性，即若a∥b，b∥c，則未必有a∥c.因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有當(dāng)b≠0時(shí)，才有a∥b，b∥c，則a∥c，即平行可傳遞.因此在今后學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意零向量的特殊性，解答問(wèn)題時(shí)，一定看清題目中是“零向量”，還是“非零向量”.【延伸·練】(2019·秦皇島高一檢測(cè))下列命題正確的是 (

)A.向量a與b共線，向量b與c共線，則向量a與c共線B.向量a與b不共線，向量b與c不共線，則向量a與c不共線C.向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)一定共線D.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量【解析】選D.當(dāng)b=0時(shí)，A不對(duì)；如圖a=，c=b與a，b與c均不共線，但a與c共線，所以B錯(cuò).在?ABCD中，與共線，但四點(diǎn)A，B，C，D不共線，所以C錯(cuò)；若a與b有一個(gè)為零向量，則a與b一定共線，所以a，b不共線時(shí)，一定有a與b都是非零向量，故D正確.【習(xí)練·破】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，EF是過(guò)點(diǎn)O且平行于AB的線段，在所標(biāo)的向量中：(1)寫出與共線的向量.(2)寫出與方向相同的向量.(3)寫出與的模相等的向量.(4)寫出與相等的向量.【解析】在等腰梯形ABCD中AB∥CD∥EF，AD=BC.(1)題干圖中與共線的向量有(2)題干圖中與方向相同的向量有(3)題干圖中與的模相等的向量為，與的模相等的向量為.(4)題干圖中與相等的向量為.【加練·固】1.如圖，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量與的關(guān)系是 (

)【解析】選B.||與||表示等腰梯形兩腰的長(zhǎng)度，故相等.2.四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個(gè)交點(diǎn)，從中選取兩個(gè)交點(diǎn)作為向量，則與平行且長(zhǎng)度為2的向量個(gè)數(shù)有________個(gè).

【解析】如圖所示，滿足與平行且長(zhǎng)度為2的向量有共8個(gè).答案：8【思維·引】1.根據(jù)方向與大小確定終點(diǎn)即可.2.利用向量相等證明四邊形ABCD，CNAM是平行四邊形，進(jìn)而得到.【解析】1.畫(huà)出所有的向量如圖：2.因?yàn)?所以||=||，且AB∥CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形.所以||=||，且DA∥CB.又因?yàn)榕c的方向相同，所以=.同理可證四邊形CNAM是平行四邊形，所以因?yàn)樗詜|=||，DN∥MB，即與的模相等且方向相同，所以=.【內(nèi)化·悟】1.用有向線段表示向量需要確定哪幾個(gè)量？提示：起點(diǎn)、方向、大小、終點(diǎn).2.(1)在四邊形ABCD中，若=，四邊形ABCD是什么圖形，為什么？提示：

=包含兩層含義，AB∥CD，AB=CD，故四邊形ABCD是平行四邊形.(2)要證明必須滿足什么條件？提示：方向相同，長(zhǎng)度相等.【類題·通】關(guān)于向量的表示及應(yīng)用(1)用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn).(2)利用向量的相等，可以證明線段相等或直線平行，但在證明直線平行時(shí)需說(shuō)明兩向量所在的直線無(wú)公共點(diǎn).用平行向量可證明(判斷)直線平行，但證明直線平行時(shí)，除說(shuō)明向量平行外還需說(shuō)明向量所在的直線無(wú)公共點(diǎn).【習(xí)練·破】下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)是________.

①零向量都相等；②任一向量與它的平行向量不相等；③若四邊形ABCD是平行四邊形，則=；④共線的向量，若始點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.【解析】因?yàn)榱阆蛄康拈L(zhǎng)度都為零，且其方向任意，所以零向量相等，所以①正確；因?yàn)槠叫邢蛄康姆较蚩梢韵嗤掖笮∫部梢韵嗟?，所以任一向量與它的平行向量可能相等，所以②錯(cuò)誤；畫(huà)出圖形，可得=，所以③正確；