2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時分層作業(yè)66　用樣本估計總體

課時分層作業(yè)（六十六）用樣本估計總

體

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一'選擇題

1.（2021.武漢市四月質(zhì)檢）一組數(shù)據(jù)由10個數(shù)組成，將其中一個數(shù)4改為1,

另一個數(shù)6改為9,其余數(shù)不變，得到新的10個數(shù)，則新的10個數(shù)的方差相比

原先10個數(shù)的方差的增加值為（）

A.2B.3C.4D.5

B[因為4+6=1+9,所以新的10個數(shù)的平均數(shù)與原先10個數(shù)的平均數(shù)

相等，設(shè)平均數(shù)為三，則新的10個數(shù)的方差相比原先10個數(shù)的方差的增加值

（1—X）2+（9—X）2—[（4—X）2+（6—X）2]3（）

為------------------------話------------------------=行=3,故選B.]

2.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,

17,16,14,12,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為A眾數(shù)為c,則有（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

D[將數(shù)據(jù)從小到大排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,

則平均數(shù)0=^（10+12+14X2+15X2+16+17X3）=14.7,中位數(shù)8=15,眾

數(shù)c=17,顯然aVbVc.故選D.]

3.某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的

長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其

頻率分布直方圖如圖所示.估計棉花纖維的長度的樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是

（）

A.32.5mmB.33mmC.33.5mmD.34mm

A［棉花纖維的長度在30mm以下的比例為

（0.014-0.01+0.04+0.06+0.05）X5=0.85=85%,

在35mm以下的比例為85%+10%=95%,

因此，90%分位數(shù)一定位于［30,35）內(nèi)，

0.90-0.85

由30+5X=32.5,可以估計棉花纖維的長度的樣本數(shù)據(jù)的90%

0.95-0.85

分位數(shù)是32.5mm.故選A.］

4.（2021?成都三模）某市環(huán)境保護局公布了該市兩個景區(qū)2014年至2020

年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的折線

圖，則由該折線圖得出的下列結(jié)論中正確的是（）

A.景區(qū)A這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為98

B.景區(qū)B這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為283

C.分別記景區(qū)A,B這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的眾數(shù)為機1,"22,則〃”>加2

D.分別記景區(qū)A,8這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為SI,S2,貝Usi>S2

D［對于A,景區(qū)A這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為313—203=110,

故本選項結(jié)論不正確；

對于B,景區(qū)3這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為266,故本選項結(jié)論

不正確；

對于C,由折線圖可知：〃21=254,〃22=262,顯然如<〃22,故本選項結(jié)論不

正確；

對于D,由折線圖可知：景區(qū)A這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動要比

景區(qū)8這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)據(jù)波動大，因此S1>S2,所以本選項結(jié)論正確，

故選D.］

5.（2021?成都市一診）甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機

2

床每天生產(chǎn)出的次品數(shù)分別是:

71,分別表示甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，a分別表示甲、乙兩組數(shù)

據(jù)的方差，則下列選項正確的是（）

A.X1=X2，$1>52B.X1>X2,S\>S2

C.%1V尤2,51>52D.X\>X2,sfVs：

0+1+0+2+2+0+3+1+2+43一

B[由題表中數(shù)據(jù)，得xi=V*2=

2+2+1+14-1+2+14-14-04-16——

亍所以Xl>X2.又由題表中數(shù)據(jù)知，甲組數(shù)

據(jù)比乙組數(shù)據(jù)的波動幅度大，所以故選B.]

6.（2021?山西階段檢測）設(shè)樣本數(shù)據(jù)XI,XI,X3,…，尤19,X20的均值和方差

分別為2和8,若y=2加+”（根為非零常數(shù)，i=l,2,3,…，19,20）,則yi,

>2,券，…，>19,?）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（）

A.2+〃z,32B.4+〃z,4y/2

C.2+"?,4"^2D.4+m,32

B「由題知，樣本數(shù)據(jù)九1,X2,…，X20的均值x=2,方差￡=8,由平均

數(shù)和方差的性質(zhì)可得yi,”，…，”o的均值y=2x+，"=4+〃?，方差《=22X8

=32,故標(biāo)準(zhǔn)差s.、=4加.故選B.]

二'填空題

7.為做好疫情防控工作，各學(xué)校堅持落實“雙測溫兩報告”制度，以下是

某宿舍6名同學(xué)某日上午的體溫記錄：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（單位：℃）,

則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

36.6[將6名同學(xué)某日上午的體溫記錄從小到大排列為：36.1,36.3,36.4,

36.5,36.6,36.7,因為80%義6=4.8,所以該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為366]

8.從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取8件產(chǎn)品，對其使用

壽命（單位：年）跟蹤調(diào)查結(jié)果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.

三個廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年，請根據(jù)結(jié)果判斷廠家在廣

告中分別運用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種集中趨勢的特征數(shù)：甲

,乙________,丙.

眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù)[甲、乙、丙三個廠家從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)

的特征.甲：該組數(shù)據(jù)8出現(xiàn)的次數(shù)最多；乙：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=

4+6X3+8+9+12+137+9

丙：該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

8=8;~1~=8.]

9.甲、乙兩支田徑隊體檢結(jié)果為：甲隊體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,

乙隊體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為

1：4,則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為,方差為.

68kg296[由題意可知三,=60,甲隊隊員在所有隊員中所占權(quán)重為存,

1___1

=T+4=5

x乙=70,乙隊隊員在所有隊員中所占權(quán)重為

44

WC=T+4=5,

則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為

———14

=

x—w甲xv+wcxc^X60+^X70=68(kg),

甲、乙兩隊全部隊員的體重的方差為

s2=w”S1+(X申-X)2]+w匕[4+(X匕—X)2]

=1[200+(60-68)2]+1[300+(70-68)2]=296.]

三'解答題

10.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100

個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布

表.

y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

4

企業(yè)數(shù)22453147

(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的

企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)

附：加心8.602.

［解］(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率

14+7

不低于40%的企業(yè)頻率為一而=0.21.

2

產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為向=0.02.

用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)

比例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.

(2)7=-^jX(-0.10X2+0.10X244-0.30X53+0.50X14+0.70X7)=0.30,

15—

一=而若〃yy

=看X［(—0.40)2X2+(—0.20)2X24+。2義53+0.202X14+0.402X7］=

0.0296,

5=^0.0296=0.02X774^0.17.

所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為0.30,0.17.

11.(2021.海南期末)某機械零件工廠為了檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機在

生產(chǎn)線上抽取了100個零件并稱出它們的重量(單位：克).重量按照［495,505),

［505,515),…，［535,545］分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)估計該工廠生產(chǎn)的零件重量的平均數(shù)；(每組數(shù)據(jù)用該組的中點值作代表)

(2)估計該工廠生產(chǎn)的零件重量的80%分位數(shù)；

5

(3)按各組零件數(shù)量比例用分層隨機抽樣方法從樣本里重量不低于525克的

零件中抽取6個零件，再從這6個零件中任取2個，求這2個零件的重量均在

［525,535)內(nèi)的概率.

［解］(1)由題意得：(0.005+0.015+0.02+0.035+0X10=1,解得，=0.025.

則各個小組的頻率分別為0.15,0.2,0.35,0.25,0.05.估計該工廠生產(chǎn)的零件重

量的平均數(shù)約為500X0.15+510X0.2+520X0.35+530X0.25+540X0.05=

518.5.

(2)設(shè)80%分位數(shù)為x,

?.,前三組頻率和為0.7,前四組頻率和為0.95,

.?.xW［525,535),

??.0.7+(x-525)X0.025=0.8,解得x=529,

該工廠生產(chǎn)的零件重量的80%分位數(shù)為529.

(3)由條件知：6個零件中，重量在［525,535)內(nèi)的零件個數(shù)為5,分別記為

A,B,C,D,E-,重量在［535,545］

內(nèi)的零件個數(shù)為1,記為工

從中隨機抽取2個，樣本空間為0={(A,3),(A,O，(A,D),(A，E),(A,f),

(B,C),(B,D),(B,E),(B,f),(C,D),(C,E),(C,./),(D,E),(D,./),

@?/)}，

."(0)=15.

設(shè)“這2個零件的重量均在［525,535)內(nèi)”為事件M,

則M={(A,8),(A,C),(A,O),(A,E),(C,D),

(C,E),(D,E)},

：.n(M)=W,

n(M)102

P(M)=

［8組在綜合中考查關(guān)鍵能力］

1.已知樣本如，X2,…，X”的平均數(shù)為x,樣本yi,”，…，的平均數(shù)為

y(xWy).若樣本尤1,X2,…，Xn,y\,yz,加的平均數(shù)z=or+(l-?aW，其中

0<a<；,則〃，/〃(〃，“zGN*)的大小關(guān)系為()

6

A.n=mB.n2mC.n<mD.n>m

C［由題意得z=.；my）

=士工+（1一扁）乃所以〃=士.

n+mIn+m尸n+m

1n1

因為0<a<x,所以0<__r-<r.

2n+m2

又〃，mGN',所以2〃<〃+/w,所以〃<機.］

2.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間內(nèi)沒有

發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志是“連續(xù)10日，每天新增疑似病例不超過7人”.過

去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，

甲地：總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4；

乙地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0；

丙地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3；

丁地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

C［對于甲地，總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4.平均數(shù)與中位數(shù)，不能限制極

端值的出現(xiàn)，因而可能會出現(xiàn)超過7人的情況，所以甲地不符合要求.對于乙地，

總體平均數(shù)為1,總體方差大于0.沒有給出方差具體的大小，如果方差很大，有

可能出現(xiàn)超過7人的情況，所以乙地不符合要求.對于丁地，中位數(shù)為2,眾數(shù)

為3.中位數(shù)與眾數(shù)不能限制極端值的大小，因而可能出現(xiàn)超過7人的情況，所以

丁地不符合要求.對于丙地，根據(jù)方差公式$2=吉［（XI—X）2+（X2—X）2H---F（X1O

—1—

—X）2］.若出現(xiàn)大于7的數(shù)值令Xl=〃2,則$2=而［（〃2—2）2+（*2—X）2-|F

（XIO-7）21>3,與總體方差為3矛盾，因而不會出現(xiàn)超過7人的情況.綜上可知，

丙地符合要求.故選C.］

3.（2021.廈門期末）某校有高中生2000人，其中男女生比例約為5：4,為

了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分

配的分層隨機抽樣方法，抽取了樣本容量為〃的樣本，得到頻數(shù)分布表和頻率分

7

布直方圖.方案二：采用分層隨機抽樣方法，抽取了男、女生樣本量均為25的

樣本，計算得到男生樣本的均值為170,方差為16,女生樣本的均值為160,方

差為20.

身高俾

[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

位：cm)

頻數(shù)4

mPq6

頻率/組跑I

0.040b----ir----1

0.036k---］-4---：-4---：

0.032k-］—4——：——i——：

0.028卜T——十——卜A——：

0.020卜-十——卜——：——士——：

0.016卜-十一卜——：——十——：

0.012k—b-L--

。?哨?+…卜一

145155165175185195身高/cm

(1)根據(jù)圖表信息，求〃，q并補充完整頻率分布直方圖，估計該校高中生的

身高均值；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值為代表)

(2)計算方案二中總樣本的均值及方差；

(3)計算兩種方案總樣本均值的差，并說明用方案二總樣本的均值作為總體

均值的估計合適嗎？為什么？

［解］(1)因為身高在區(qū)間［185，195］的頻率為0.008X10=0.08,頻數(shù)為4,

4

所以樣本容量為〃=萬位=50,w=0.008X10X50=4,p=0.04X10X50=

20,

<7=50-4-20-6-4=16,

所以身高在［165,175)的頻率為為=0.32,小矩形的高為0.032,所以身高

在［175,185)的頻率為2=0.12,小矩形的高為0.012,由此補全頻率分布直方

圖：

頻率/組距I

0.040^---1-----r-----1——

0.036卜…卜——卜

0.032P--1---——：

0.028b-----4...............f--：

0.024卜一卜——卜......I----：

0.020k---］---4...............1----：

0.016卜——卜——卜------T----：

0.012k---l-4------------r---：

0.008------\----\------------------；

。?券H…十一H-T.

145155165175185195身高/cm

由頻率分布直方圖可知：樣本的身高均值為：

8

(150X0.008+160X0.04+170X0.032+180X0.012+190X0.008)X10=

167.2,

所以由樣本估計總體可知，估計該校高中生的身高均值為1672

(2)把男生樣本記為：XI,X2,X3,…，X25,其均值為X,方差為S.3把女生

樣本記為：yi,",>25,其均值為y,方差為V，

總體樣本均值記為5，方差記為$2,

圻以一_25-,25-_25X170+25X160_

所以z-25+25%+25+25y一50一165，

又因為￡(Xi-X)=-25x=0,

尸1

同理可得：￡2(為一y)(y—z)=0,

尸

所以/=布Z(尤LZ)+三(乃一Z)=時￡(汨一X+X—Z)24-X(yj

V

i=lj=lz-=lj=\

-y+y—z)2]

=&25$+(三一》)]+25_sj+

=^{25(16+(170-165)2]+25[20+(160-165)2]}=43.

(3)兩種方案總樣本均值的差為167.2—165=2.2,

所以用方案二總體樣本均值作為總體均值的估計不合適，原因是沒有進行等

比例的分層隨機抽樣，每個個體被抽到的可能性不同，因此代表性較差.

[C組在創(chuàng)新中考直理性思維]

1.(2021?百強名校大聯(lián)考)一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，%的平均數(shù)為工，現(xiàn)定

|十卜3—X|+…+上一X|

義這組數(shù)據(jù)的平均差D=.如圖是

n

9

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖:

甲組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖乙組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖

根據(jù)折線圖，判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差6的大小關(guān)系是()

A.D\<DiB.D\—Z)2

C.D1>D2D.無法確定