2023年湖北省襄陽市樊城區(qū)中考數(shù)學適應性試卷（一模）含答案解析

2023年湖北省襄陽市樊城區(qū)中考數(shù)學適應性試卷（一模）

一、選擇題（每題3分，10小題，共計30分）

1.（3分）下列各數(shù)中，比-4小的數(shù)是（）

A.-2.5B.-5C.0D.2

2.（3分）下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

（）

A.因N--------^趙爽弦圖BO.、J/笛卡爾心形線

C.0Y科克曲線D.-IO斐波那契螺旋線

3.（3分）下列各式中，運算正確的是（）

A.（a3）2—a5B.（a-t＞）2=a2-b2

C.a64-t?3=a3D./+“3=2”6

4.（3分）我國古代數(shù)學家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法.“牟合方蓋”

是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體.如

圖所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的俯視圖是（）

A.73°B.83°C.770D.87°

6.（3分）某商場一月份的營業(yè)額為400萬元，第一季度營業(yè)總額為1600萬元，若平均每

月增長率為X,則可列方程為（）

A.400（1+x）2=1600

B.400[1+（1+x）+（1+x）2]=1600

C.400+400x+400/=1600

D.400（l+x+2x）=1600

7.（3分）下列說法正確的是（）

A.“連接一個菱形的兩條對角線，它們互相垂直平分”這一事件是隨機事件

B.概率很小的事件不可能發(fā)生

C.367人中一定至少有兩個人同一天生日

D.”明天降雨的概率為80%”，意味著明天有80%的時間會有降雨

8.（3分）如圖，A、B、C是3X1的正方形網(wǎng)格的三個格點，貝I]tan/ABC的值為（）

B

A.AB.在C.2娓D.

2555

9.（3分）有一題目：“已知：點O為△ABC的外心，N80C=130°,求NA.”嘉嘉的解

答為：畫△ABC以及它的外接圓。，連接OB,OC.如圖，由NBOC=2NA=130°,得

NA=65°.而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，NA還應有另一個不同的值.”下列判斷正

A.淇淇說的對，且/A的另一個值是115。

B.淇淇說的不對，/A就得65°

C.嘉嘉求的結(jié)果不對，/A應得50°

D.兩人都不對，NA應有3個不同值

10.（3分）已知二次函數(shù)丫=加+及+,（°金0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

二、填空題（每題3分，6小題，共計18分）

11.（3分）計算：（_2產(chǎn)21X（__L）2020=.

12.（3分）袋中裝有6個黑球和〃個白球，經(jīng)過若干次試驗，發(fā)現(xiàn)“若從中任摸一個球，

恰好是白球的概率為工”，則這個袋中白球大約有個.

4

13.（3分）為改善生態(tài)環(huán)境，避免水土流失，某村積極植樹造林，原計劃每天植樹60棵，

實際每天植樹80棵，結(jié)果比預計時間提前4天完成植樹任務，則計劃植樹棵.

14.（3分）如圖，正方形的邊長為2,分別以它的四條邊為直徑畫半圓，則陰影部分的面積

為.（結(jié)果保留7T）

3x+a<2x

15.（3分）已知不等式組|1.5有解但沒有整數(shù)解，則。的取值范圍為

-yx<^x+2

00

16.（3分）兩幅大小不同的三角板中各取一個，如圖1疊放（直角頂點重合），/A=45°,

ZC￡）E=30°,且CE：BC=l：正，把△QCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°后，ED交AC

于點0,則04：OC=

22__

17.(6分)先化簡，再求值：『菖渭.+(吉-上)，其中。=泥+1，b=娓八

18.(6分)《2021湖北青春與法同行知識競賽》以學習貫徹《憲法》《民法典》《未成年人保

護法》等為重點，面向全省青少年10期線上有獎知識競答.某校組織七、八年級各200

名學生對《知識競賽》相關(guān)知識進行學習并組織參賽.現(xiàn)分別在七、八兩個年級中各隨

機抽取了10名學生，統(tǒng)計這部分學生的競賽成績，相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計、整理如下：

【收集數(shù)據(jù)】

七年級10名同學測試成績統(tǒng)計如下：

72,84,72,91,79,69,78,85,75,95；

八年級10名同學測試成績統(tǒng)計如下：

85,72,92,84,80,74,75,80,76,82.

【整理數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)各分數(shù)段，如表所示：

成績60WxV7070Wx<8080Wx<9090Wx<100

七年級152a

八年級0451

【分析數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表:

統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

年級

七年級80b725七年級2

八年級8080C33

【問題解決】根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)填空：a=,b—,c—；

(2)計算八年級同學測試成績的方差是：

S八年級2=J_>q(80-85)2+(80-72)2+(80-92)2+(80-84)2+(80-80)2+(80

10

-74)2+(80-75)2+(80-80)2+(80-76)2+(80-82)2]=33.

請你求出七年級同學成績的方差，試估計哪個年級的競賽成績更整齊？

(3)按照比賽規(guī)定90分及其以上算優(yōu)秀，請估計這兩個年級競賽成績達到優(yōu)秀學生的

人數(shù)共有多少人？

—(x4-l)

19.(7分)小云同學根據(jù)函數(shù)的學習經(jīng)驗，對函數(shù)"進行探究，已知

■^yx+b(x>-l)

o

函數(shù)的圖象經(jīng)過點(-I,3),(5,1).

(1)填空：a=,b=；

(2)補充表格，在平面直角坐標系中，描出表中各組值對應坐標的點，畫出該函數(shù)的圖

(3)觀察函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的描述正確的有：；

①當xW-1時，y隨x的增大而增大；

②當x>-1時，y隨x的增大而減?。?/p>

③函數(shù)y的圖象關(guān)于直線x=-1軸對稱；

④當x=7時，函數(shù)值y取得最大值.

(4)過點(0,m)作直線/平行于x軸，若直線/與函數(shù)y有兩個交點，則機的取值范

圍是.

20.(7分)如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和48上的高，點P在線段BO的延長線

上，且8P=AC,點Q在線段CE上，且CQ=AB.

（1）用直尺和圓規(guī)，作出點P、Q的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）判斷線段AP和AQ的關(guān)系？并說明理由.

21.（7分）如圖1是位于襄陽城南覘首山上重建的“幌首亭”的夜景，幌首亭原名覘山亭，

為紀念東晉大將羊祜而修建，唐代詩人孟浩然曾以此亭賦詩，留下了“江山留勝跡，我

輩復登臨.”的千古名句.某校數(shù)學興趣小組在學完了三角函數(shù)的知識后，決定用自己學

到的知識測量“幌首亭”的高度，站在帆首山對面“習家池風景區(qū)”人口C處測得亭頂

A的仰角為37。，前行20切，穿過舊的207國道來到同一水平面的覘首山腳。處，測得

山腳力到亭底8的坡長為40〃?，仰角為30°,請根據(jù)興趣小組測得的數(shù)據(jù)，利用圖2求

幌首亭AB的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.60,cos37°-0.80,tan37°-0.75,3百&1.73,結(jié)果精確到

0.1/M）

圖1圖2

22.（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0與邊8c交于點。，過點力

作OEJ_AC,垂足為點E,AC的反向延長線交OO于點尸.

（1）求證：QE是。。的切線；

（2）若圓的半徑為10,DE：AE=2,求AF的長.

23.（10分）2020年兩會，總理點贊地攤經(jīng)濟，一夜之間，“地攤”成了當下的潮流，即將

大學畢業(yè)的小明也準備“擺攤”磨練一下，進貨時發(fā)現(xiàn)：8件A商品和4件B商品進貨

需要72元；4件A商品和3件B商品進貨需要38元.

（1）則A、2每件商品的進價各是：

（2）兩種商品共進貨300件，設(shè)B商品購進x件（80WxW200）,A商品的總售價為zi

元，B商品的總售價為Z2元，總售價zi（元）與銷量件數(shù)之間是一次函數(shù)關(guān)系，如表，

總售價Z2（元）與銷量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖.

件數(shù)（商品0122030???

A）

Z1（元）01020200300???

①直接寫出zi、Z2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)銷售A、8兩種商品所獲總利潤為）,元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若將小明所進的300件A、B商品全部售完，預計共獲利a（350WZ400）元，當

2商品的銷售最最大時，他計劃每件A、8商品分別捐給學校助學基合元和,"元，捐

款數(shù)恰好等于總成本的10%,求〃?的值.

x/件

24.（10分）在矩形A8CD中，點。是對角線AC、的交點，直角上/EPF的頂點P與

O重合，OE、0尸分別與48、BC邊相交于E、F,連接ERBC=hAB（E為常數(shù)）.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,若&=1,猜想墮=

0F

（2）類比探究：如圖2,上71,探究線段OE,O尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展運用：如圖3,在（2）的條件下，若FO=FC,k=OD=2娓,求EF的

長.

25.(11分)如圖，邊長為5的正方形0A8C的兩邊在坐標軸上，以點M(0,4)為頂點的

拋物線經(jīng)過點M-4,0),點P是拋物線上第一象限內(nèi)一點，過P點作PFYBC于點尸.點

E的坐標分別為E(0,3).連接PE.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求PE-P尸的值；

(3)①在點P運動過程中，當NEPF=60°時，點尸的坐標為；

②連接EF,把△PEF沿〉軸平移(限定點E在射線上)，并使拋物線與的邊

始終有兩個交點，探究。點縱坐標n的取值范圍是多少？

2023年湖北省襄陽市樊城區(qū)中考數(shù)學適應性試卷（一模）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分，10小題，共計30分）

1.（3分）下列各數(shù)中，比-4小的數(shù)是（）

A.-2.5B.-5C.0D.2

【分析】找出比-4小的數(shù)即可.

【解答】解：比-4小的數(shù)是-5,

故選：B.

【點評】此題考查了有理數(shù)大小比較，熟練掌握兩個負數(shù)比較大小的方法是解本題的關(guān)

鍵.

2.（3分）下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折

疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進

行分析即可.

【解答】解：人不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；

。、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,

圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

3.（3分）下列各式中，運算正確的是（）

25

A.（/）—aB.（a-b）2=/-.

C.a64-a3—a3D.a3+a3=2a6

【分析】A、根據(jù)基的乘方法則計算；

8、根據(jù)完全平方公式計算；

C、根據(jù)同底數(shù)事的除法法則計算；

。、根據(jù)合并同類項的法則計算.

【解答】解：A、原式=5，.?.不符合題意;

B、原式=J-2M+序，...不符合題意；

C、原式=/,.?.不符合題意；

D、原式=21,.?.不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了事的乘方、平方差公式、同底數(shù)嘉的除法、合并同類項，掌握這四

個運算法則在題目中的綜合應用是解題關(guān)鍵.

4.（3分）我國古代數(shù)學家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法.“牟合方蓋”

是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體.如

圖所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的俯視圖是（）

【分析】根據(jù)俯視圖即從物體的上面觀察得到的視圖，進而得出答案.

【解答】解：該幾何體的俯視圖是：

故選:A.

【點評】此題主要考查了幾何體的三視圖；掌握俯視圖是從幾何體上面看得到的平面圖

形是解決本題的關(guān)鍵.

5.(3分)如圖所示，直線m〃小Zl=63°,22=34°,則N8AC的大小是()

A.73°B.83°C.77°D.87°

【分析】由直線〃]〃〃，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可求出N3的度數(shù)，再結(jié)合N

1+ZBAC+Z3=18O°,即可求出NBAC的度數(shù).

【解答】解：???直線相〃小

；./3=/2=34°.

；N1+/8AC+N3=18O°,Zl=63°,Z3=34°,

.?./BAC=180°-63°-34°=83°.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”求出/3的度數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

6.(3分)某商場一月份的營業(yè)額為400萬元，第一季度營業(yè)總額為1600萬元，若平均每

月增長率為x,則可列方程為()

A.400(1+x)2=1600

B.400(1+(1+x)+(1+x)2]=1600

C.400+400x+400，=1600

D.400(l+%+2r)=1600

【分析】先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營業(yè)額+二月

份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1600,把相關(guān)數(shù)值代入即可.

【解答】解：?.?一月份的營業(yè)額為400萬元，平均每月增長率為x,

，二月份的營業(yè)額為400X(1+x),

三月份的營業(yè)額為400義(1+x)X(1+x)=400義(1+x)2,

二可歹II方程為400+400X(1+x)+400X(1+x)2=1600,

故選：B.

【點評】考查求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為小變化后的量為從平均變化率

為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（l±x）2=6.得到第一季度的營業(yè)額的等量關(guān)

系是解決本題的關(guān)鍵.

7.（3分）下列說法正確的是（）

A.“連接一個菱形的兩條對角線，它們互相垂直平分”這一事件是隨機事件

B.概率很小的事件不可能發(fā)生

C.367人中一定至少有兩個人同一天生日

D.“明天降雨的概率為80%”，意味著明天有80%的時間會有降雨

【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，概率的意義，菱形的性質(zhì)，概

率公式，逐一判斷即可.

【解答】解：A、“連接一個菱形的兩條對角線，它們互相垂直平分”這一事件是必然事

件，故A不符合題意；

8、概率很小的事件也可能發(fā)生，故B不符合題意；

C、367人中一定至少有兩個人同一天生日，故C符合題意；

。、“明天降雨的概率為80%”，意味著明天降雨的可能性是80%,故。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了隨機事件，概率的意義，菱形的性質(zhì)，概率公式，熟練掌握隨機事

件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）如圖，A、B、C是3X1的正方形網(wǎng)格的三個格點，則tanZABC的值為（）

B

A.AB.在C.2泥D.

2555

【分析】把NABC放在RtZXAB。中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

【解答】解：如圖：

BDC

在中，AD=1fBD=2,

.?.tan/A3C=^=_l,

BD2

故選:A.

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

9.（3分）有一題目：“已知：點。為△ABC的外心，/8OC=130°,求/A.”嘉嘉的解

答為：畫△48C以及它的外接圓0,連接08,0C.如圖，由/8OC=2/A=130°,得

NA=65°.而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，NA還應有另一個不同的值.”下列判斷正

A.淇淇說的對，且/A的另一個值是115°

B.淇淇說的不對，/A就得65°

C.嘉嘉求的結(jié)果不對，NA應得50°

D.兩人都不對，NA應有3個不同值

【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案.

【解答】解：如圖所示：/A還應有另一個不同的值與/A互補.

故=180°-65°=115°.

故選：A.

【點評】此題主要考查了三角形的外接圓，正確分類討論是解題關(guān)鍵.

10.（3分）已知二次函數(shù)y=/+6x+c（q#0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

【分析】由圖可知。>0,與y軸的交點cVO,對稱軸x=l,函數(shù)與x軸有兩個不同的交

點，當x=-1時，y>0；

【解答】解：由圖可知a>0,與y軸的交點c<0,對稱軸x=l,

：.b=-2a<0；

/.ahc>0,A錯誤；

由圖象可知，函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，...△>(),8錯誤；

當x=-1時，y>0,

'.a-b+c>0,C錯誤；

'：b=-2a,。正確；

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠從給

出的圖象上獲取信息確定a,b,c,△,對稱軸之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每題3分，6小題，共計18分)

11.(3分)計算：(-2)2021*(_1)2。20=-2.

【分析】利用積的乘方的法則對式子進行運算即可.

【解答】解:(_2嚴21*(.1.)2020

=(-2)2020X(-2)X(-1)2020

2

=[(-2)X(-A)]2020X(-2)

2

=]2O2()x(_2)

=1X(-2)

=-2.

故答案為：-2.

【點評】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是熟記積的乘方的法則.

12.（3分）袋中裝有6個黑球和〃個白球，經(jīng)過若干次試驗，發(fā)現(xiàn)“若從中任摸一個球，

恰好是白球的概率為工”，則這個袋中白球大約有2個.

4

【分析】根據(jù)若從中任摸一個球，恰好是白球的概率為工，列出關(guān)于n的方程，解方程

4

即可.

【解答】解：???袋中裝有6個黑球和"個白球，

二袋中一共有球（6+〃）個，

；從中任摸一個球，恰好是白球的概率為上，

4

6+n4

解得：n=2.

故答案為：2.

【點評】此題考查了概率公式的應用.注意用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.注意方程思想的應用.

13.（3分）為改善生態(tài)環(huán)境，避免水土流失，某村積極植樹造林，原計劃每天植樹60棵，

實際每天植樹80棵，結(jié)果比預計時間提前4天完成植樹任務，則計劃植樹960棵.

【分析】設(shè)計劃植樹x棵，計劃需要的時間是與天，實際時間是與天，根據(jù)實際時間

6080

比計劃時間少4天建立方程求出其解即可.

【解答】解：設(shè)計劃植樹x棵，計劃需要的時間是三天，實際時間是三天，由題意，

6080

得

工-工=4,

6080

解得：x=960.

故答案為：960.

【點評】本題考查了工程問題在實際生活中的運用，工作總量+工作效率=工作時間的

運用，列一元一次方程解實際問題的運用，解答時根據(jù)時間之間的數(shù)量關(guān)系建立方程是

關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，正方形的邊長為2,分別以它的四條邊為直徑畫半圓，則陰影部分的面積

為….（結(jié)果保留n）

【分析】根據(jù)圖形得出陰影部分的面積=工（4個半圓的面積-正方形的面積），再求出

半圓的面積和正方形的面積即可.

【解答】解：陰影部分的面積S=二（4S半例-s正方形）

2

=AX[4X—nX(2)2-2X2]

222

=工X(2n-4)

2

故答案為：n-2.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)和扇形的面積計算，能把求不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化

為規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

‘3x+a<2x

15.（3分）已知不等式組|1,5有解但沒有整數(shù)解，則a的取值范圍為0W。

rx<=x+2

33

<1.

【分析】解兩個不等式求得x的范圍，由不等式組有解，但沒有整數(shù)解可得關(guān)于a的不

等式組，解之可得答案.

【解答】解：解不等式3x+a<2x,得：x<-a,

解不等式-1<芻+2,得：x>-1,

33

則不等式組的解集為-1Vx<-a,

?.?有解但沒有整數(shù)解，

二-1<-“WO,

解得：OWa<l,

故答案為：OWa<l.

【點評】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，

熟知“同大取大；同小取小：大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的

關(guān)鍵.

16.（3分）兩幅大小不同的三角板中各取一個，如圖1疊放（直角頂點重合），NA=45°,

NC￡）E=30°,且CE：BC=1：近，把△OCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°后，交AC

于點0,則OA：OC=_^f3_.

是等腰直角三角形，得

噌，再利用黑蕓器瞥從而得嚷

CE=_G/3+l)EFXFX3+L

0C=V6EF

的值，即可得出答案.

【解答】解：如圖，過點。作OFLCE,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得/OCE=45°,

VZCD￡=30°,

AZOEF=60°,

OF=EFXtanNOEF=?EF,

OF=CF=aEF,0C=7QF2+CF2=尸'

：.CE=EF+CF=(V3+1)EF,

...CE=(?+l)EF=百+1

ocV^EF

CE：BC=1：

.OAACOC_ACBC

?'oc==OZC=oc-1OC

；.OA：OC=“，

故答案為：

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含

30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（9小題，共計72分）

22

17.（6分）先化簡，再求值：~2^-4-0-上），其中廣旄+1，人=旄

【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案.

【解答】解：原式=Of..=辿

2（a-b）a-b2

當。=&+1,6=旄-1時，

原式=2.

【點評】本題考查分式的運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

18.（6分）《2021湖北青春與法同行知識競賽》以學習貫徹《憲法》《民法典》《未成年人保

護法》等為重點，面向全省青少年10期線上有獎知識競答.某校組織七、八年級各200

名學生對《知識競賽》相關(guān)知識進行學習并組織參賽.現(xiàn)分別在七、八兩個年級中各隨

機抽取了10名學生，統(tǒng)計這部分學生的競賽成績，相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計、整理如下：

【收集數(shù)據(jù)】

七年級10名同學測試成績統(tǒng)計如下：

72,84,72,91,79,69,78,85,75,95；

八年級10名同學測試成績統(tǒng)計如下：

85,72,92,84,80,74,75,80,76,82.

【整理數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)各分數(shù)段，如表所示：

成績60?7070Wx<8080?9090Wx<100

七年級152a

八年級0451

【分析數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表:

統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

年級

七年級80b72S七年級2

八年級8080C33

【問題解決】根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)填空：a=2,b=78.5,c=80；

(2)計算八年級同學測試成績的方差是：

22222

S八年級Zu。*](80-85)+(80-72)+(80-92)+(80-84)+(80-80)+(80

10

-74)2+(80-75)2+(80-80)2+(80-76)2+(80-82)2]=33.

請你求出七年級同學成績的方差，試估計哪個年級的競賽成績更整齊？

(3)按照比賽規(guī)定90分及其以上算優(yōu)秀，請估計這兩個年級競賽成績達到優(yōu)秀學生的

人數(shù)共有多少人？

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求解即可；

(2)先根據(jù)方差的定義計算出七年級的方差，再比較七、八年級的方差大小，結(jié)合方差

的意義即可得出答案；

(3)用各年級人數(shù)乘以對應的比例，然后相加即可.

【解答】解：(1)將七年級抽樣成績重新排列為：69,72,72,75,78,79,84,85,

91,95,其中在90WxV100范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)有2個，

故a=2.

中位數(shù)/>="+'9.=78.5(分)，

2

將八年級樣成績重新排列為：72,74,75,76,80,80,82,84,85,92,

其眾數(shù)c=80(分)，

故答案為：2,78.5,80；

2222

(2)七年級的方差是S匕年級2=_J_x[(80^72)+(80-84)+(80T2)+(80-91)+

10

(80^79)2+(80-69)2+(80T8)2+(80-85)2+(80T5)2+(80-95)2]=66.6,

因為S七年級2>s八年線2.

所以估計八年級學生的競賽成績更整齊些.

(3)_1_義200+2x200=60(人),

1010

答：這兩個年級競賽成績達到優(yōu)秀學生的人數(shù)共約60人.

【點評】本題考查頻數(shù)分布表、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差、用樣本估計總體，解答

本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

—(x4-l)

進行探究，已知

19.（7分）小云同學根據(jù)函數(shù)的學習經(jīng)驗，對函數(shù)），二X]

~^~x+b(x〉-l)

函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1,3）,（5,1）.

(1)填空：a=-3，b=-

-3

（2）補充表格，在平面直角坐標系中，描出表中各組值對應坐標的點，畫出該函數(shù)的圖

象;

…

X-3-2-15???

y…]3,31???

（3）觀察函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的描述正確的有：①②④；

①當xW-1時，y隨x的增大而增大;

②當x>-1時，y隨x的增大而減小;

③函數(shù)y的圖象關(guān)于直線》=-1軸對稱;

④當x=-l時，函數(shù)值y取得最大值.

（4）過點（0,加）作直線/平行于x軸，若直線/與函數(shù)y有兩個交點，則〃?的取值范

【分析】本題考察的是分段函數(shù)圖像的理解

【解答】由題意可得（7,3）在反比例函數(shù)yi■圖像上，（5,1）在一次函數(shù)y='x+b

x3

的圖像上，（1）故可以得出。=-3,b=&,同理（1）可得（2）中的兩空為1和旦；

32

（3）①在xW-1時，為反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖像，此時y隨x的增大而增大，

故①正確；

②在x>-l時，為一次函數(shù)的圖像，...此時），隨x的增大而減小，故②正

3

確；

③結(jié)合圖像可以得出該分段函數(shù)的圖像沒有對稱軸-1時為曲線，x>-1時為直

線），故③錯誤

④結(jié)合圖像可以得出x=-1時，有最大值為3

（4）結(jié)合圖像可以看出，當0V,"V3時，直線/與該分段函數(shù)的圖像有兩個交點

【點評】數(shù)形結(jié)合

20.（7分）如圖，BD、CE分別是△ABC的邊4c和A8上的高，點P在線段BO的延長線

上，且BP=AC,點。在線段CE上，且CQ=A8.

（1）用直尺和圓規(guī)，作出點P、。的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）判斷線段AP和AQ的關(guān)系？并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應的幾何圖形；

（2）先利用三角形高的定義得到NAEC=NADB=90°,則根據(jù)等角的余角相等得到N

ACE^ZABD,再證明AABP9△QC4得到AP=AQ,ZAPB^ZQAC,然后證明/QAP

=90°得至UAP_L4Q.

【解答】解：（1）如圖，點P、。為所作；

理由如下：?.?80、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高,

AZAEC=ZADB=90°,

ZACE=ZABD,

在△48P和△QC4中

'AB=QC

■ZABP=ZQCA）

BP=CA

.?.△ABP絲△QCA（SAS）,

：.AP=AQ,ZAPB^ZQAC,

：NAPB+/C4P=90°,

：.ZQAC+ZCAP=90°,即NQAP=90°,

：.AP±AQ.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，

結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了全等三角形

的判定與性質(zhì).

21.（7分）如圖1是位于襄陽城南覘首山上重建的“晚首亭”的夜景，幌首亭原名帆山亭，

為紀念東晉大將羊祜而修建，唐代詩人孟浩然曾以此亭賦詩，留下了“江山留勝跡，我

輩復登臨.”的千古名句.某校數(shù)學興趣小組在學完了三角函數(shù)的知識后，決定用自己學

到的知識測量“晚首亭”的高度，站在帆首山對面“習家池風景區(qū)”人口C處測得亭頂

A的仰角為37°,前行20M穿過舊的207國道來到同一水平面的覘首山腳。處，測得

山腳。到亭底B的坡長為40〃?，仰角為30°,請根據(jù)興趣小組測得的數(shù)據(jù)，利用圖2求

幌首亭AB的高度.

（參考數(shù)據(jù):sin37°-0.60,cos37°g0.80,tan37°=0.75,3?弋1.73,結(jié)果精確到

0.1/n）

【分析】在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BH=2B￡>=20（相），DH=叵BD

22

=40x2/2=2073(機)，求得CH=CD+HD=(20+2073)m,于是得到結(jié)論.

2

【解答】解：在RtZXBDH中，,ZHDH=30°,BD=40m,

:.BH=LBD=20(W),DH='&BD=40義'叵=206(相),

222

:.CH=CD+HD=(20+2073)m,

；/ACH=37°,

：.AH=CH'tan31°=(20+20我)X0.75=40.95Cm),

：.AB=AH-B，=40.95-20^21.0(/n),

故晚首亭AB的高度約為21.0/n.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義

得出BE的長是解題的關(guān)鍵.

22.(8分)如圖，在aABC中，AB=AC,以A8為直徑的。0與邊BC交于點O,過點。

作。ELAC,垂足為點E,AC的反向延長線交。。于點F.

(1)求證：OE是。O的切線；

(2)若圓的半徑為10,DE-.AE=2,求AF的長.

【分析】(1)根據(jù)已知條件證得OO〃AC即可得到結(jié)論；

(2)如圖，過點。作OHLAF于點H,構(gòu)建矩形ODEH,設(shè)則由矩形的性質(zhì)

推知：AE=\0-x,OH=DE=2AE=20-2x,在RtZ\AOH中，由勾股定理知：/+(20

-2%)2=d,解方程得到AH的長度，結(jié)合?！保?尸，得至1JAF=2AH,即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：：OB=。。，

NABC=NODB,

'：AB=AC,

：.NABC=ZACB,

：.ZODB=ZACB,

：.OD//AC.

VDE±AC,

：.DE±ODf

VOD是0O的半徑，

???OE是O。的切線；

(2)解：如圖，過點。作OHJ_A/于點”，則/。?！?/。37=/。”七=90°,

???四邊形ODE”是矩形，

：?OD=EH=10,OH=DE,

設(shè)AH=x,

則A”=10-x,

■:DE：AE=2,

：.OH=DE=2AE=2(10-x)=20-2x,

在RtZVl。”中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2,即/+(20-2X)2=I()2,

解得XI=6,X2=10(不合題意，舍去)，

：.AH=6,

'：OH1AF,

:.AH=FH=1AF,

2

：.AF=2AH=2X()=12.

【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，等

腰三角形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵：（1）熟練掌握切線的判定；（1）利用勾股定理構(gòu)建方程

求出AH.

23.（10分）2020年兩會，總理點贊地攤經(jīng)濟，一夜之間，“地攤”成了當下的潮流，即將

大學畢業(yè)的小明也準備“擺攤”磨練一下，進貨時發(fā)現(xiàn)：8件A商品和4件B商品進貨

需要72元；4件A商品和3件B商品進貨需要38元.

（1）則A、B每件商品的進價各是8元、2元；

（2）兩種商品共進貨300件，設(shè)8商品購進x件（80WxW200）,A商品的總售價為Z]

元，B商品的總售價為Z2元，總售價zi（元）與銷量件數(shù)之間是一次函數(shù)關(guān)系，如表,

總售價Z2（元）與銷量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖.

件數(shù)（商品0122030???

A）

ZI（元）01020200300???

①直接寫出Zi、Z2與x之間的函數(shù)關(guān)系式Z1=-lftr+3000（80WxW200）；Z2=

r3x（80<x<100）

12.5x+50（100<x<200V-'

②設(shè)銷售4、B兩種商品所獲總利潤為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若將小明所進的300件A、B商品全部售完，預計共獲利a（350^67^400）元，當

3商品的銷售最最大時，他計劃每件4B商品分別捐給學校助學基合4,”元和加元，捐

款數(shù)恰好等于總成本的10%,求，〃的值.

【分析】（1）設(shè)4商品的進貨單價為a元，3商品的進貨單價為b元，根據(jù)題意列方程

組即可得到結(jié)論；

（2）①由題意得：zi與x之間的函數(shù)關(guān)系式為zi=10（300-x）=-lOx+3000（80Wx

W200）；當80WxW100時，設(shè)Z2的函數(shù)解析式為z2=/nx+〃，則解方程組得到Z2=3x；

當100<xW200時，設(shè)Z2的函數(shù)解析式為Z2=extf,解方程組得到Z2=2.5x+5O；于是得

到結(jié)論；

②根據(jù)題意得得到函數(shù)解析式即可；

（3）當80WxW100時，500WyW520,得到a不在此范圍內(nèi)；當100cxW200時，350

Wx<500,得到a在此范圍內(nèi)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到y(tǒng)隨x的增大而減小，由350

WaW400,當y=350時，x最大，最大值為200,即8的最大銷售量為200,解方程即可

得到結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)4商品的進貨單價為。元，8商品的進貨單價為匕元，

根據(jù)題意得：的+4b=72,

I4a+3b=38

解得：fa=8,

lb=2

...A、B每件商品的進價各是8元、2元，

故答案為：8兀、2兀；

(2)①由題意得：zi與x之間的函數(shù)關(guān)系式為zi=10(300-x)=-Wx+3000(80Wx

W200)；

當80<xW100時，設(shè)Z2的函數(shù)解析式為Z2=tnx+n,

則/SOm+nuZM

1100m+n=300

解得："3.

??Z2=3x；

當100<xW200時，設(shè)Z2的函數(shù)解析式為Z2=ext/,

向f100e+f=300

'l200e+f=550，

解得：［e=2.5,

If=50

，Z2=2.5X+50；

?仰7蟠4刀土匚t斗.(3x(804x4100)

??Z2的函數(shù)解析式為Z2=Wjj.

12.5x+50(100<x<200)

故答案為：Z1=-lOr+3000(80?200)；Z2=［，x(804x<100)

(2.5x+50(100<x<200)

-x+600(80<x<100)

②根據(jù)題意得，y=zi+z2-8(300-x)-2x=

-1.5x+650(100<x<200)

(3)當80WxW100時,500WyW520,

不在此范圍內(nèi);

當100VxW200時，3504V500,

...a在此范圍內(nèi),

由>=-1.5x+650,

y隨x的增大而減小,

由350^6/^400,

.??當y=350時,x最大,最大值為20