2022年黑龍江省雙鴨山市尖山區(qū)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s“，貝11“4+%<2a2”是"<0”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

2.若函數(shù)/（%）=%2+2》一加85（%+1）+〃+3加-7有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.7B.二7LC.-4D.2

22

3.已知函數(shù)“X）是R上的偶函數(shù)，g（x）是R的奇函數(shù)，且g（x）=/（x-l）,則“2019）的值為（）

A.2B.0C.-2D.±2

4.如圖，在正四棱柱—中，=E,歹分別為AB8c的中點(diǎn)，異面直線A片與所

成角的余弦值為加，貝（）（）

A.直線4E與直線q/異面，且根=正B.直線4E與直線GF共面，且機(jī)=也

33

C.直線A|E與直線a尸異面，且mD.直線4E與直線GP共面，且根=3

33

5.下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,+8）的是（）

A.y=|lg（x+l）|B.、,=jC.y=2*D.y=ln|H

6.點(diǎn)A民C是單位圓。上不同的三點(diǎn)，線段0。與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,若

OC=mOA+nOB,(m〉(),〃>0),/〃+〃=2,則ZAOB的最小值為(

7.我們熟悉的卡通形象“哆啦4夢(mèng)”的長(zhǎng)寬比為正：1.在東方文化中通常稱這個(gè)比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計(jì)和

建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)

到塔底的高度之比，第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺(tái)間高度

差為100米，則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是（）

A.400米B.48（）米

C.520米D.600米

8.如圖，AABC內(nèi)接于圓。，是圓。的直徑，DC=BE,DC"BE,DC上CB,DCLCA,AB=2EB=2，則

三棱錐E-ABC體積的最大值為（）

2

D.

4323

（x-2）（A-e）+3,（A>ln2）^當(dāng)時(shí)，/（x）的取值范圍為（e,e+2],則實(shí)數(shù)m的

9.已知函數(shù)/（x）=?

3-2x,(x<In2)

取值范圍是（）

1-e1—e

A.B.(-oo,1JC.—,1D.[In2,1]

10.將函數(shù)〃x）=sin2.i-的圖象向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則/的值為（）

7171冗

B.D.

12~67

一八sin（br+a）cos（kjr+山小一八”?人口,、

11.已知A=―---------+—-----------4ksZ）,則A的值構(gòu)成的集合是（）

sinacosa

A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D,{1,-1,0,2,-2）

22

12.已知雙曲線「-二=l（a>0,6>0）的左焦點(diǎn)為尸，直線/經(jīng)過點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線/與雙曲

a-b~

線的左支交于不同的兩點(diǎn)A,B,若/=2麗，則該雙曲線的離心率為（）.

A.-B.—C.D.73

323

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC與8。相交于。.剪去MOB,將剩余部分沿OC,8折疊,

使。A、OB重合,則以48）、C、D、。為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積為.

=1（力>。>0）的左、右焦點(diǎn)為月，F(xiàn)2,尸（2,起）為雙曲線C上一點(diǎn)，且制=3,

若線段尸耳與雙曲線C交于另一點(diǎn)4,則APAg的面積為,

15.如圖在三棱柱ABC—A4C中，明，底面ABC,AB=AC=6BC=2BB】=2C.,點(diǎn)尸為線段A局上一

動(dòng)點(diǎn)，則￡P(guān)+8P的最小值為.

16.已知函數(shù)/（x）=4sinx+gx3在％=o處的切線與直線心一了一6=0平行，則〃為,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四邊形A5CQ是邊長(zhǎng)為3的菱形，上，平面48。,43,4。,4///。￡。x=34尸.

E,

(1)求證：AC，平面BOE；

(2)若仍與平面ABC。所成角為60。，求二面角尸—的正弦值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx—/nx-=2%2(-eR).

(1)討論函數(shù)/(x)的極值;

(2)記關(guān)于X的方程/(x)+療f=0的兩根分別為〃應(yīng)(〃<“)，求證：lnp+lnq>2.

22

19.（12分）已知橢圓E:5+與=1Ca>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(。,0),(0,3的直線的距離為

a2b2

—C.

2

(I)求橢圓E的離心率；

(II)如圖，AB是圓M:(x+2)、(y—1)一=1的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程.

(I)若/(x)在區(qū)間仁,+可上單調(diào)遞增，求a的值;

(H)若aeZ〃x)>0恒成立，求”的最大值.(參考數(shù)據(jù)：)=1.6)

21.(12分)在AABC中，設(shè)。、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，記AABC的面積為S,且25=通?而.

(1)求角A的大??；

4

(2)若c=7,cosB=—,求。的值.

丫221

22.(10分)已知橢圓C:4+方=1(。>力>0)與工軸負(fù)半軸交于4(一2,0),離心率e=/.

(1)求橢圓。的方程;

（2）設(shè)直線/：y=Ax+m與橢圓C交于/&,乂）川（孫%）兩點(diǎn)，連接4MAN并延長(zhǎng)交直線x=4于

/、/\1111

￡（“3，％），尸（巧,乂）兩點(diǎn)，若7~+三=不+^7，直線MN是否恒過定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是,

請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足4+4<2%,S2,i<0的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.

【詳解】

{%}為等比數(shù)列，

若％+%<2%成立，有4（</--2q+1）<。，

因?yàn)椴浓D2夕+120恒成立，

故可以推出4<0且gwl,

若S2“T<0成立,

當(dāng)4=1時(shí)，有4<0,

當(dāng)時(shí)，有~^<0,因?yàn)橐灰弧?恒成立，所以有q<o,

\-q"q

故可以推出4<0,qwR,

所以“q+4<2a2”是“52?_（<0”的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，由題意得出/(-1)=0,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)〃？的值，并對(duì)加的值進(jìn)

行檢驗(yàn)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

???/(X)=(X+1)2-加COS(X+1)+機(jī)2+3加一8,

貝！J/(-l+x)=(-l+x+l)2—/wcos(-l+x+l)+m：!+3/w-8=x2-mcos%+m2+3m-8,

/(-I-%)=(-l-%+l)2-mcos(-l-x+l)+m2+3m-8=x2-mcos%+m2+3，〃一8,

.-./(-l+x)=/(-l-x),所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=_l對(duì)稱.

若函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)不為％=-1,則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn)，不合題意.

所以，/(-1)=0,即m2+2祖_8=0,解得m=-1或2.

①當(dāng)帆=T時(shí)，令/(x)=(x+l)--4cos(x+l)-4=0,得4cos(x+l)=4-(x+l『，作出函數(shù)y=4cos(x+l)與

函數(shù)y=4—(x+l『的圖象如下圖所示：

此時(shí)，函數(shù)y=4cos(x+l)與函數(shù)y=4—(x+l『的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；

②當(dāng)機(jī)=2時(shí)，vcos(x+1)<1,/(x)=(x+1)2-2cos(x+1)+2>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時(shí)，等號(hào)成立，則函數(shù)

y=/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，m-2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出/(-1)=0,在求出參數(shù)

后要對(duì)參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

3.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于g(x)與/(X-1)關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于“X)的關(guān)系式，通過變形求解出了(X)的周期，

進(jìn)而算出了(2019).

【詳解】

g(x)為R上的奇函數(shù)，g(0)=/(-1)=0,g(-x)=-g(x)

."./(-l)=0,/(-x-l)=-/(x-l),「J(-x)=-/(%-2)

而函數(shù)是R上的偶函數(shù)，.?J(x)=〃—尤)，??./(x)=—”x-2)

；J(x-2)=-〃%-4),/(x)=/(x-4)

故/(x)為周期函數(shù)，且周期為4

.-./(2019)=/(-1)=0

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

連接所，4G，CQ,DF,由正四棱柱的特征可知E/P4G，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線A|E與直線G尸共

面.，同理易得由異面直線所成的角的定義可知，異面直線A片與GF所成角為ZDGF，然后再利用

余弦定理求解.

【詳解】

如圖所示：

A

連接爐，4G，C】D,DF,由正方體的特征得EFPAG，

所以直線AE與直線G尸共面.

由正四棱柱的特征得Ag〃G。，

所以異面直線Ag與C7所成角為NOGF.

設(shè)/^二④，則AB=及44=2,則?？诙唬珻、F=,C[D=&,

由余弦定理'得"=儂""=熱港=當(dāng)

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

5.B

【解析】

分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,y=|1g(x+i)|圖象如下圖所示:

則函數(shù)y=|ig(x+i)|在定義域上不單調(diào)，A錯(cuò)誤;

對(duì)于8,>=*2=?的圖象如下圖所示:

y

0\x

則y=?在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,+8),8正確;

對(duì)于C,y=2'的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=2?'單調(diào)遞增，但值域?yàn)?0,+力)，C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，y=In可的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=InN在定義域上不單調(diào)，。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

由題意得1=租2+〃2+2f?mcosZAOB，再利用基本不等式即可求解.

【詳解】

將OC=mOA+nOB平方得1=??+"+2mncosZAOB)

l1-m2-n2l-(//z+n)2+2mn3]_

cosZAOB=—+l<-+l=

2mn2mn2mn2X(E)22

（當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=1時(shí)等號(hào)成立），

0<ZAOB<九,

.?.4。8的最小值為27考r，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.B

【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)

際高度.

【詳解】

設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為x米，塔的實(shí)際高度為）,米，幾何關(guān)系如下圖所示：

yToo

x

由題意可得納寧=血，解得x=100（夜+1）；

且滿足一2—=0，

x+100

故解得塔高y=（x+100）0=200（0+1卜480米，即塔高約為480米.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)中國(guó)文化的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

根據(jù)已知證明平面ABC,只要設(shè)AC=x,則BC=14-X2（0<X<2>從而可得體積

1

VE_ABC=tx?"-x=i舊匚刁,利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因?yàn)镈C=BE,DCUBE,所以四邊形OC8E為平行四邊形.又因?yàn)镈C±CB,DC±CA,CBnC4=C,CBu平面

ABC,C4u平面ABC,

所以。C_L平面ABC,所以BE1平面ABC.在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

設(shè)AC=x,則BC=j4-%2(0<%<2>

所以SMBc=；AC-BC=gx,J二2,所

以瞑-A8c=%x-J匚3=qjx2(4—又因?yàn)閒(4—三J,當(dāng)且僅當(dāng)

.、<24_2Y

X2(4-X2)<^ArArJ,即x=&時(shí)等號(hào)成立，

所以(腺-由)而=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為X,

用建立體積V與邊長(zhǎng)》的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

9.C

【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)在x21n2時(shí)的單調(diào)性、極值，可得x21n2時(shí)，/(x)滿足題意，再在x<ln2時(shí)，求解/(x)We+2的

x的范圍，綜合可得結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)xiln2時(shí)，/'(x)=-(x-l)(er-2),

令尸(力>0,則ln2<x<l；/'(x)<0,則x>l,

函數(shù)/(x)在(ln2,l)單調(diào)遞增，在(1,物)單調(diào)遞減.

函數(shù)/(力在x=1處取得極大值為/(1)=e+2,

二x?ln2時(shí)，/(X)的取值范圍為(-8,e+2],

：?ln2<m<l

又當(dāng)x<ln2時(shí)，令/(x)=3-2xWe+2,則無即9?x<ln2,

1—e..

:.----<m<ln2

2

1—e

綜上所述，加的取值范圍為”-，1.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.

10.D

【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

將將函數(shù)/=sin2x的圖象向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得函數(shù)g（x）=sin[2（x+夕）]=sin（2x+2（p）

jrJTK7T

又由函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，所以2。=,+版■MeZ,解得0=1+5-,左€2,

JTTT

因?yàn)?4夕＜一,當(dāng)k=0時(shí)，（p='一）故選D.

24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

對(duì)人分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.

【詳解】

攵為偶數(shù)時(shí)，4=空工+空q=2；攵為奇數(shù)時(shí)，A=—*-上工區(qū)=-2,則A的值構(gòu)成的集合為億-2}.

sinacosasinacosa

【點(diǎn)睛】

本題考查三角式的化簡(jiǎn)，誘導(dǎo)公式，分類討論，屬于基本題.

12.A

【解析】

直線/的方程為x=c,令a=l和雙曲線方程聯(lián)立，再由而=2而得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.

a

【詳解】

由題意可知直線/的方程為X=2y-C,不妨設(shè)a=\.

a

則x=by-c,S.b2=c2-l

2

將x=by-c代入雙曲線方程尤2一方v1中，得到位4—1)y2—2^3b+/=0

設(shè)4（西,方）,8（%,3）

mu2b3cb4

則時(shí)

2b3c

由AR=2Fe，可得）'i=-2%，故｛.

-24上

[%人1

則8%2=i_//,解得

貝!Ic-J"n+1=

3

所以雙曲線離心率e=￡=叵

a3

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.8后

【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.

【詳解】

由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示

CD=4，OA=OC=OD=2V2.故正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為S曾+01f=2#，

所以外接球半徑為R=#，其體積為:萬(wàn)K=8后.

故答案為：8瓜兀.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時(shí)，要考慮是否能將其置入正(長(zhǎng))方體中,

是一道中檔題.

【解析】

由已知得|Pa=3歸閭即忸￡『=9儼閭2,歸周2=(2一02+2,可解得仁由網(wǎng)2,夜)在雙曲線。上,代入即可求得

雙曲線方程,然后求得直線PF｝的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點(diǎn)A坐標(biāo)，借助S騁AF[=SAPFR.S^FR，即可解得所求.

【詳解】

由已知得附=3|明，又附『=(2+4+2,附『=(2—)2+2,所以(2+c)?+2=9[(2-4+2],解得

3-2=142(9(9

—Z--7=]ci~=3ci~=2

c=3或。=2,由網(wǎng)2,、0在雙曲線C上，所以<a2b~或，a2b2,所以｛2或2(舍去)，因

2-2/。=6b2=2

a2+Z?2=9a+。=4ii

22

此雙曲線C的方程為三一2L=1.又耳(-3.0),所以線段PF1的方程為y元+3),與雙曲線C的方程聯(lián)立消去

36

f7⑸

x整理得8y2-10a>+4=0,所以%二手，必=血，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為一7，丁，所以

I44J

S皿==1x6x^-1x6xv=V,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線方程的求解，考查求三角形面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度較難.

15.y/14

【解析】

把G繞著A耳進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，運(yùn)用勾股定理即可求得GP+8P的最小值.

【詳解】

將A4gG以4以為軸旋轉(zhuǎn)至與面人484在一個(gè)平面，展開圖如圖所示，若B,C,,尸三點(diǎn)共線時(shí)QP+最小為

BCi，M8C；為直角三角形，BCijAB?+AC；

故答案為：y/14

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體的翻折，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短，解直角三角形進(jìn)行求解，考查了空間想象能力和計(jì)算能力,

屬于中檔題.

16.4

【解析】

根據(jù)題意得出〃=r(o),由此可得出實(shí)數(shù)〃的值.

【詳解】

；/(x)=4sinx+；x3,.?./'(X)=4COSX+X2,直線“一丁一6=0的斜率為〃,

由于函數(shù)/(x)=4sinx+：V在x=0處的切線與直線心一y一6=0平行，

貝！)〃=/'(0)=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù)，解題時(shí)要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系，考查計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)皂羽

【解析】

(1)由已知線面垂直得OE，AC,結(jié)合菱形對(duì)角線垂直，可證得線面垂直；

(2)由已知知D4,Z)C,OE兩兩互相垂直.以分別為x軸，.V軸，c軸建立空間直角坐標(biāo)系。孫z如圖所示,

由已知線面垂直知鴕與平面A8CD所成角為NZ58E=60°,這樣可計(jì)算出。石,。尸的長(zhǎng)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面

的法向量，由法向量夾角可得二面角.

【詳解】

證明：(1)因?yàn)槠矫鍭BC。，ACu平面ABC。，所以。E_LAC.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以AC_LB￡>.

又因?yàn)锽DcDE=D，BDu平面3OE,DEu平面BDE,

所以AC，平面BOE.

解：(2)據(jù)題設(shè)知，D4,￡>C,DE兩兩互相垂直.以ZM,￡?C,OE分別為x軸，,軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖

DEl

因?yàn)槁古c平面ABCO所成角為60。，即NZ58E=60。，所以一=百

DB

又AO=3,O￡=34￡,所以DE=3瓜AF=?

所以A(3,0,0),8(3,3,0),F(3,0，CE(0,0,3#),C(0,3,0)

所以麗=(0,-3,伺，麗=卜,0,-2伺

一/、-3y+#z=0—

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量機(jī)=(x,y,z),貝叫令2=?，則根=

'[3x-2V6z=0

LM11

因?yàn)锳C_L平面BO石，所以至為平面3￡出的一個(gè)法向量，且C4=(3,—3,0)

一加?CA3x4+(-3)x2+Ox>/1-3

而“Icos<m,CA>=I_”_'j....................=-------------------------------------------------

HICA|^42+22+(V6)2.^32+(-3)2+0213，

sin〈加國(guó)>=2.

13

所以二面角尸—BE-。的正弦值為

13

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查用向量法求二面角.立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標(biāo)系,

用空間向量法求空間角，這樣可減少思維量，把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算.

18.(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)，”討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；

(2)〃應(yīng)是方程/")+〃22%2=0的兩根，代入方程，化簡(jiǎn)換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.

【詳解】

(1)依題意，/'(幻，-加-2后=-―2=(1+詢(1―2制；

XXX

若加=0,則八x)=L>0,則函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/(X)既無極大值，也無極小值；

若根>。，貝！J1+如>0,令/'(X)=。，解得x=，一,

2m

故當(dāng)xe(0,L)時(shí)，f'(x)>Q,/(x)單調(diào)遞增；

2m

當(dāng)xe(—1,+8)時(shí)，f'(x)<Q,/(x)單調(diào)遞減，

2m

此時(shí)函數(shù)有極大值/(1一)=In」一一m--——m2(—)2=ln-—―無極小值；

2m2m2m2m2m4

若invO,貝！11一2mx>0,令fr(x)=0,解得x=---,

m

故當(dāng)xe(0,—,)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

m

當(dāng)xe(—工,+8)時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

m

此時(shí)函數(shù)/(x)有極大值J[-■=ln(-■)-//22(-■-)2=ln(一■-),無極小值；

mjmmmm

(2)依題意，lnx—/m:=0,貝！Jlnp=mp,lnq=mq,

故Inq-Inp=m(q-p),Inp+lnq=m{p+q)；

要證：lnp+ln4〉2,即證"z(p+9)>2,

\nq-\np,、一,q2(q-n)

即證：一-——Hp+q)>2,即證InZ〉,

q-ppp+q

設(shè),'（A）,只需證：S等%〉1）,

設(shè)g(/)=ln‘一甘'則g⑺=編>°'

故g。）在（l,y）上單調(diào)遞增，故g?）>g（l）=o,

即InfJ"故lnp+lnq〉2.

t+\

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.

證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式/（X）>g（x）的基本

方法:

⑴若與g（x）的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明/U）min>g（x）g*；

⑵若/（X）與g（x）的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)〃（x）=/（x）—g（x）,然后根據(jù)函數(shù)〃（%）的單調(diào)性或最值，證明

h（x）>0

￡722

19.(I)①；(II)—+^-1.

123

【解析】

be1

試題分析：（1）依題意，由點(diǎn)到直線的距離公式可得1=—,又有d=-c,聯(lián)立可求離心率；

a2

（2）由（1）設(shè)橢圓方程，再設(shè)直線A3方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得令|A卻=而，可得b,即得橢圓方程.

試題解析：（I）過點(diǎn)（c,O）,（O,。）的直線方程為云+cy-bc=O,

,bebe

則原點(diǎn)。到直線的距離d=——-=—

揚(yáng)+。2a

由d=gc,得4=給=242一天,解得離心率e=￡=@

2a2

（U）由⑴知，橢圓E的方程為f+4y2=4ZA

依題意，圓心M（—2,1）是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|=JI5.

易知，AB不與'軸垂直.

設(shè)其直線方程為y=A(x+2)+l,代入(1)得

(1+4左2)為2+8左(2%+I)X+4(2Z+1)2—482=0.

設(shè)A(石，y),5(%,%)，則%+”―8：(2：廣),_4(2^+1)_-4^>

1+4H1-1+以2

由斗+々=-4,得-也竺？)=-4,解得々=1.

-1+4公2

從而芭馬=8-2b2.

于是\AB\=J二1-^1-^|=|5(%+工2)2一4內(nèi)々=，。(從-2).

i|AB|=V10,得｛10(從_2)=回,解得〃=3.

r2V2

故橢圓E的方程為土+匕=1.

123

20.(I)a=2；(II)3.

【解析】

(I)先求導(dǎo)，得/'(x)=lnx+x+l-a,已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，又/(X)在區(qū)間已+②)上單調(diào)遞增，故

./"]=】啖-畀120,令g(a)=lng*+l,求得g，(a)=t，討論得g(a)4g⑵=0,而g(a”0,故g(a)=0,

進(jìn)而得解；

(II)可通過必要性探路，當(dāng)x=2時(shí)，由〃2)=21n2+2-a>0知q<21n2+2v4,又由于aeZ,則%”=3,當(dāng)

2

?=3,/(^)=xlnA-+y-3(A--l),f'(x)=lnx+x-2,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在％e(1,1.6)使得尸(%)=0,

得ln%=2-%,/(x)min=/(^)=x0Inx0+^--3(^-1),化簡(jiǎn)得/(x)的=3—品一不，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；

【詳解】

(I)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),f\x)=\nx+x+l-a.

易知/'(x)單調(diào)遞增，由題意有廣(￡)=ln￡-^|+120.

令g(a)=l嗎4+1,貝Ug'(a)=￡^.

令g，(a)=O得a=2.

所以當(dāng)0<a<2時(shí)，g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，g'(a)<0,g⑷單調(diào)遞減.

所以g(“)4g(2)=0,而又有g(shù)(a)20,因此g(a)=0,所以a=2.

(II)由/(2)=21n2+2-a>。知q<21n2+2<4,又由于“eZ,貝(JanaxuS.

下面證明a=3符合條件.

若a=3,“X)=xlnx+,-3(x-1).所以/'(x)=lnx+x-2.

易知了'(X)單調(diào)遞增，而(⑴=-1<0,/,(1.6)?0.5+1.6-2=0.1>0,

因此必存在與?1,1.6)使得/(%)=0,即In%=2-%.

且當(dāng)為€(0,玉))時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(Xo，+8)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

2

=X

則/(x)min=fM0lnX0+^--3(X0-l)

=%(2-*0)+寸-3(%-1)=3^--x0>3—--1.6=0,12>0.

綜上，。的最大值為3.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題

兀

21.(1)-；(2)a=5

4

【解析】

(1)由三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得6csinA=6