2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第1章 第4節(jié)　基本不等式

基本不等式

［考試要求］

1.了解基本不等式的證明過程.

2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.

3.理解基本不等式在生活實(shí)際問題中的應(yīng)用.

［走進(jìn)教材-夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

€>梳理?必備知識(shí)

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)歸土?xí)r取等號(hào).

(3)其中答^叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，逐叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.幾個(gè)重要的不等式

(1)4+匕222ab(a,'

(2)升h注n2(a，洞號(hào)且不為零);

>當(dāng)且僅當(dāng)。=。

a+bI(a,b《R)；》時(shí)等號(hào)成立

(3)ab&2

a+biwa2+b2

(4)-2—(a,.

3.利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,則

(l)x+y^2y/xy,若孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)尤=y時(shí)，x+y有最小值2、2

(簡(jiǎn)記：積定和最小).

(2)孫W傳,若x+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，孫有最大值上(簡(jiǎn)

記：和定積最大).

提醒：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”.

［常用結(jié)論］

e激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

⑴兩個(gè)不等式/+反22時(shí)與審e標(biāo)成立的條件是相同的.()

⑵若a>0,則加+5的最小值為2也.()

一4，?

⑶函數(shù)外)=sinx+茄；，%￡(0,兀)的最小值為4.()

XV

(4)x>0且j>0是；;十衿2的充要條件.

yx

()

[答案](l)x(2)X⑶X⑷X

二、教材習(xí)題衍生

1.設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則孫的最大值為()

A.80B.77C.81D.82

C=81,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=9時(shí)，等號(hào)成立.故選C.]

2.若x>0,則x+1()

A.有最大值，且最大值為4

B.有最小值，且最小值為4

C.有最大值，且最大值為2也

D.有最小值，且最小值為2啦

4/4

B[x>0時(shí)，x+~^2A/xX-=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立.故選B.]

3.已知mZ?eR,且仍#0,則下列結(jié)論恒成立的是()

A.a+b^2y[abB.

a、b、-c

C.尹]22D.a2+b2>2ah

2

c［因—為方工同萬，所-以a/,Mb\=\a\.zb2、.］

4.一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m,則這

個(gè)矩形的長(zhǎng)為m,寬為m時(shí)菜園面積最大.

15v［設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm,寬為ym.則x+2y=30（0VxW18）,所以S=

芝y=5.（2y）W斐芋）=^1^'當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=15,y=當(dāng)時(shí)取等號(hào).］

【細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑直擊高考

□考點(diǎn)一利用基本不等式求最值枷生共研

?典例I］已知正數(shù)”，。滿足（+1=3,求a+b的取值范圍.

［四字解題］

相

讀，心算思

由”十"）=1得a+0=（a+〃）f

能否用“1”的代換常值代

法求最值8+0進(jìn)而求最值換法

①正數(shù)a,b滿

足海=3；先得到，i+b=3ab,再用

能否直接用基本

（a+價(jià),求最值放縮法

②求a+A的取不等式求最值"42J

值范圍

,a,a

能否用。表示。進(jìn)由一勺［倚（11h—。卜々19消元配

3a-13a-1

而求最值湊法

再配湊求最值

［解］法一：（常值代換法）

由，+；=3得白+白=1，

ab3a3b

???。+，=（。+份￡+田巖+品+拄2人上

當(dāng)且僅當(dāng)卷=*,即。=匕二1時(shí)取等號(hào)，

所以a+Z?的取值范圍是小+°°\

3

法二：放縮法，人乏修抖］

由（+'=3,得a+b=3ab.

又外、R-J'所以?―、匕‘I'

4

即4（a+〃）W3（a+〃）2,所以a+b^y

即a+b的取值范圍是g,+8）.

法三：消元配湊法（先用a表示b,再配湊）

由[+[=3得〃1,

a+h=3ab,:.bj由于〃>0,b>0,可得

ab3a—1

13。-1+11

于是a+b=a+^Q+jX—~:-=a+^

33a—13

.\a+h的取值范圍是y+°°

令反思領(lǐng)悟利用基本不等式求最值的常用方法

⑴常值代換法：當(dāng)式子中含有兩個(gè)變量，且條件和所求的式子分別為整式

和分式時(shí)，常構(gòu)造出3+力）,匕+?。ㄆ,m,n為常數(shù)）的形式，利用（以+

m,n+加+則+anxI------

am^am+bn+2yjabmn

帥匕+二X

（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?等時(shí)等號(hào)成立）得到結(jié)果.

⑵放縮法：又稱整體轉(zhuǎn)化法，將已知等式適當(dāng)調(diào)整，放縮成所求代數(shù)式的

不等式，整體解出.

（3）消元配湊法：將已知條件中的一個(gè)變量用另一變量表示出來，代入到所

4

p

求代數(shù)式中轉(zhuǎn)化為fix)=a(x+d)+^~^+h的形式(ae>0或aeVO時(shí)用單調(diào)性求

解)，設(shè)f=x+4,直接用基本不等式求解.

提醒：無論選取哪種方法，都要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為

常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

1.(1)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是()

911

A.3B.4C.2D.g

(2)函數(shù)>=忘^>1)的最小值為-

11Q

(3)已知a>0,b>0,且必=1,則五+五工的最小值為.

(1)B(2)4(3)4[⑴由題意得％+2)=8—￥(2力28一傳可，當(dāng)且僅當(dāng)

x=2y=2時(shí)等號(hào)成立..?.(x+2y)2+4(x+2y)-3220,即(x+2y—4)G+2y+

8)20「.”>0,y>0,：,x+2y>0,：.x+2y^4.

(2)Vx>l9.??尤—1>0,

??)'一人一1-A-lf+1+x—1

=(x-1)4--^+224.

X—1

當(dāng)且僅當(dāng)x—l=」7，即x=2時(shí)，等號(hào)成立.

X—1

⑶b>0,：.a+b>Q,ab=l,

.111工8ab工ab18

,,五十五十冷工=五十五十前工

a+b,8、la+b8-

=『由2y亍亦=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a+8=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合出?=1,解得a=2一小，b=2+y/3,或

a=2+小，0=2一小時(shí)，等號(hào)成立.]

n考點(diǎn)二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用枷生共研

[典例2](2021.上海師大附中月考)新冠疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，政府決定

5

為生產(chǎn)防護(hù)服的公司提供x（xe［O,10］）（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼用于擴(kuò)大生產(chǎn)，并以每

套80元的價(jià)格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服，公司在收到政府萬元）補(bǔ)貼后，防護(hù)

服產(chǎn)量將增加到『“一三｝萬件），其中攵（ZG［0.5,1］）為工人的復(fù)工率.公司

生產(chǎn)t萬件防護(hù)服還需投入成本（20+8x+5（k）（萬元）.

（1）將公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤(rùn)y（萬元）表示為補(bǔ)貼x（萬元）的函數(shù)（政府補(bǔ)貼x

萬元計(jì)入公司收入）；

（2）當(dāng)復(fù)工率攵=0.7時(shí)，政府補(bǔ)貼多少萬元才能使公司的防護(hù)服利潤(rùn)達(dá)到最

大？

（3）對(duì)任意的10］（萬元），當(dāng)復(fù)工率攵達(dá)到多少時(shí)，公司才能不虧損？

（精確到0.01）

［解］⑴依題意，y=x+80L（20+8x+50。

=307—20—7%=180攵一|^一7*—20,xW［0，10］.

,360X0.7

⑵當(dāng)％=0.7時(shí)L，y=180X0.7--7x-20

霜+106—。(14)+筆]+134

=—1x

/?八252,

W-2\/7(x+4).干+134=50,

2S?

當(dāng)且僅當(dāng)7（x+4）=爸，即x=2時(shí)等號(hào)成立,

JiI一

所以政府補(bǔ)貼2萬元才能使公司的防護(hù)服利澗達(dá)到最大50萬元.

（3）若對(duì)任意的工￡［0,10］,公司都不產(chǎn)生虧損，則180%一1^一7x一2020

在XG［0，10］恒成立,

.7^+48x+80

’"2180(x+2)'令r=x+2e[2,12],

7?+20r+121(K2

：.k^180/—=T8ol7z+t+20

設(shè)芯）=7—7+20在［2,12］上遞增,

6

.?.就max=/(12)=7X124-^+20=105,

???貯eXI05仁0.58.

即當(dāng)工人的復(fù)工率達(dá)到0.58時(shí)，公司不虧損.

命反思領(lǐng)悟

利用基本不等式解決實(shí)際問題的三個(gè)注意點(diǎn)

(1)設(shè)變量時(shí)，一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

(2)解題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.

(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性

求解，如利用/)=x+?(a>0)的單調(diào)性.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長(zhǎng)，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲?/p>

間室內(nèi)面積為900n?的矩形溫室.在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種

植三種植物.相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m,三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留

1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3m寬的通道，

如圖.設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為x(單位：m),三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積

為5(單位：m2).

-HE.

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求S的最大值.

［解］(1)由題設(shè)，得S=(x-8)(*-2)=一"一^^+916,xG(8,450).

(2)因?yàn)?a<450,

當(dāng)且僅當(dāng)x=60時(shí)，等號(hào)成立，從而SW676.

故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為60m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大,

最大為676m2.

考點(diǎn)三基本不等式的綜合應(yīng)用“勝共研

7

[典例3](1)已知不等式2x+m+圈>0對(duì)一切xWI，+8)恒成立，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是()

A.m>—6B.mV—6

C.m>_7D.

(2)(2021.全國乙卷)下列函數(shù)中最小值為4的是()

4

A.y=f+2%+4B.y=kinx|+j^^

4

C.y=2'+22rD.y=lnx+/

(3)(2021.上海高考)已知函數(shù)/(》)=3，+豕、(a>0)的最小值為5,則a=

2「3、

(1)A(2)C(3)9[(1)由題意知，一機(jī)V2x+=y對(duì)一切5，+8恒成

x1|_乙J

3.

立，又時(shí)，%—1>0,

22/2-

則2x4--r=2(x-1)+—廿22272。-1)X-T+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)

X—1X—1\jX—1

2

2(x-l)=-即x=2時(shí)等號(hào)成立.

X—1

—m<-6,即根>一6,故選A.

(2)選項(xiàng)A:因?yàn)閥=f+2x+4=(x+1/+3,

所以當(dāng)x=-l時(shí)，y取得最小值，且>min=3,所以選項(xiàng)A不符合題意.

,4/4~

選項(xiàng)B:因?yàn)?y=|sinx|+際Q22、y|sinx|?而不=4,所以y24,當(dāng)且僅

4

當(dāng)|sinx|=而『即卜inx|=2時(shí)不等式取等號(hào)，但是根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可知

|sinx|=2不可能成立，因此可知y>4,所以選項(xiàng)B不符合題意.(另解：il|sinx|

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=t,則/￡(0,1],根據(jù)函數(shù)y=r+]在(0,1]上單調(diào)遞減可得>min=l+i=5,所

以選項(xiàng)B不符合題意)

選項(xiàng)C:因?yàn)榱?2、+22-*》2。2,?22r=4,當(dāng)且僅當(dāng)2'=22r,即％=2—羽

即x=l時(shí)不等式取等號(hào),

8

所以ymin=4,所以選項(xiàng)C符合題意.

4

選項(xiàng)D:當(dāng)。4<1時(shí)，lnx<。，產(chǎn)lnx+/<0,所以選項(xiàng)D不符合題意.

綜上，所給函數(shù)中最小值為4的是選項(xiàng)C中的函數(shù)，故選C.

(3求x)=3'+帚=3，+1+肅一1223一1=5,當(dāng)且僅當(dāng)3、+1=券

時(shí)等號(hào)成立，：.a=9,經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)且僅當(dāng)3，=2時(shí)等號(hào)成立.]

力反思領(lǐng)悟不等式綜合問題的求解策略

(1)對(duì)于不等式恒成立求參數(shù)范圍問題：先對(duì)已知條件進(jìn)行變形，通過換元、

配湊、巧換“1”等手段把最值問題