2023年上海市普陀區(qū)曹楊重點中學高考數(shù)學模擬試卷（二）（5月份）

2023年上海市普陀區(qū)曹楊重點中學高考數(shù)學模擬試卷（二）（5

月份）

一、單選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.數(shù)列{即}中，%=2,am+n=aman.若以+i+以+2+…+以+io=2始一2$,則k=（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知點。為4BC的外心，且布?通+就.就<麗則△48。為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

3.某單位為了落實“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標，隨機選取了4天

的用電量與當天氣溫，由散點圖可知用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：°C）之間具有相關(guān)關(guān)

系，已知%=40,￡21%=160,由數(shù)據(jù)得線性回歸方程y=_2x+a，并預測當氣溫

是5K的時候用電量為（）

A.40B.50C.60D.70

4.已知ae（e,+8）,則函數(shù)/'（x）=a仇x+ax-xe”的零點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題（本大題共12小題，共53.0分）

5.已知集合4={y\y=2x,x>0},B={x\y=ln（2—x）}>則AnB=.

6.若復數(shù)z=y|?則|z-i|=.

7.（x—2y）5的展開式中/y3的系數(shù)是.（用數(shù)字作答

）

8.方程裊+熹=1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的范圍是.

9.已知sin（a+》=一號，則sin2a的值為.

10.已知a,b,1,2中位數(shù)為3,平均數(shù)為4,則ab=.

11.已知雙曲線會馬=1缶>0,。>0）的兩條漸近線均與圓（7：（x-3）2+y2=4相切，右

焦點和圓心重合，則該雙曲線的離心率為.

12.一個盒子里有1個紅球和2個綠球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設拿出綠球的

個數(shù)為X,則E（X）=.

13.己知過4,B,C三點的球。的小圓為其面積為4兀，且4B=BC=4。=。0「則

球。的表面積為.

14.函數(shù)/'(x)是偶函數(shù)，當x>0時,/(x)=2x+2%-1,則不等式/'(x)>3的解集為.

15.據(jù)調(diào)查，某地市民大約有0.03%的人患某種疾病，該地大約有0.1%的市民有超過20年的

時間有某種不良飲食習慣，這些人患這種疾病的人約為10%.現(xiàn)從飲食不良習慣不超過20年的

市民中隨機抽取1名市民，則他患此疾病的概率約為%(精確到0.01).

16.已知等差數(shù)列｛a｝中，。5="，設函數(shù)/'(x)=(4cos2?2)sinx+cos2x+2,記為=

nO4

/(%),則數(shù)列｛%｝的前9項和為.

三、解答題(本大題共5小題，共77.()分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題13.0分)

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知〃=季b=2c.

⑴求tanB；

(2)求

71

sin(2C+7)。

o

18.(本小題13.0分)

如圖所示，在四棱錐S-4BC0中，4。1平面SCO,BCAD=CD=2,BC=1,

又SD=2,ZSDC=120°,尸為SD中點.

(1)證明：CF||平面SAB；

(2)求平面S4D與平面SAB所成的銳二面角的大小.

A

19.(本小題15.0分)

今年兩會期間，國家對學生學業(yè)與未來發(fā)展以及身體素質(zhì)的重要性的闡述引起了全社會的共

鳴.某中學體育組對高二的200名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖所示的頻率分

布直方圖(引體向上個數(shù)記為整數(shù)).體育組為進一步了解情況，組織了兩個研究小組.

(1)第一小組決定從單次完成1-15個引體向上的男生中，按照分層抽樣抽取22人進行全面的

體能測試，從這22人中抽取2人進行個別訪談，求恰有一人單次能完成6-10個引體向上的概

率;

(2)第二小組從學校學生的成績與體育鍛煉相關(guān)性角度進行研究，發(fā)現(xiàn)這200人中，體育優(yōu)秀

的學生占總?cè)藬?shù)的25%,雙優(yōu)學生(體育與學業(yè)都優(yōu)秀)占總?cè)藬?shù)的12.5%,體育成績不優(yōu)秀的

學生中，學業(yè)優(yōu)秀與學業(yè)不優(yōu)秀之比為1：2.

請你完成聯(lián)表并判斷是否有95%的把握認為體育鍛煉與學業(yè)成績有關(guān)？

學業(yè)優(yōu)秀學業(yè)不優(yōu)秀總計

體育成績不優(yōu)秀

體育成績優(yōu)秀

總計200

2

參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量入■猊焉硒，其中n=a+b+c+d.

下面的臨界值表供參考:

P(/2>Xq)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.879

10.828

頻率.

0.060

0.040

0.035

0.030

0.0201

0.015

0.55.510.515.520.525.530.5個

20.(本小題18.0分)

在平面直角坐標系xOy中，一動圓經(jīng)過點尸(1,0)且與直線x=-1相切，設該動圓圓心的軌跡

為曲線C,P是曲線C上一點.

(1)求曲線C的方程；

(2)設4(XA，%)是y軸左側(cè)(不含y軸)上一點，在曲線C上存在不同的兩點M、N,滿足AM、AN

的中點均在曲線。上，設的中點為。(孫,如)，證明：；

MNyA=yD

(3)過點產(chǎn)且斜率為化的直線，與曲線C交于B、C兩點，若川0P且直線0P與直線x=1交于Q點.

求證：舞齦為定值?

21.(本小題18.0分)

已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=sinx+cosx.

(1)求證：f(x)>x+1；

(2)若試比較/(x)與g(x)的大小；

(3)若x20,問/'(%)+g(x)-2-ax20(a6R)是否恒成立？若恒成立，求a的取值范圍；

若不恒成立，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓練了等比數(shù)列前n項和的求法.

在已知數(shù)列遞推式中，取?n=1,可得誓=2,則數(shù)列｛an｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列,

再由等比數(shù)列的前n項和公式列式求解.

【解答】

解：由的=2，且九=dmCLnf

U乂？n—1,彳導=/=2a八,

?笆=2,

則數(shù)列｛即｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列,

則以+1=2?2"=2k+1,

?1?a/t+i+?k+2+…+a/c+io=-~步2)=211+k-2k+1=215-2s'

???k+1=5,即Z=4.

故選：C.

2.【答案】C

【解析】解：由三角形的外心為各邊中垂線的交點，結(jié)合向量投影的運算可得:

，一，“一?1--->2,,”，1---?2一,—■?1---?2

AO-AB=^AB,BO-BC=^BC,CO-CA=^CA,

又而?AB+'BO~BC<cd'CAf

則近2+近2<褊2,

即］<B<71,

即△4BC為鈍角三角形,

故選：C.

由三角形的外心為各邊中垂線的交點及向量投影的運算，然后結(jié)合余弦定理求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積運算及向量投影的運算，重點考查了余弦定理，屬基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：=40,=160,

-

一]1x

??x=-4X40=/10,4y=7160=40,

vy=—2x+af

40=-2x10+a>解得a=60，

??.y=-2x+60，

當x=5時，y=-2x5+60=50-

故選：B.

根據(jù)已知條件，求出x,y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解線性回歸方程,

再將x=5代入，即可求解.

本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：函數(shù)/1(x)=alnx+ax-xe”定義域為(0,+8),

求導得：/Xx)=(x+1)(^-ex),令9(%)=?一靖，x>0,

顯然g(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

而a>e,g(a)=1—ea<0,g(l)=a—e>0,

則存在&G(l,a),使得g(%o)=。，即,=gX°>

當O<x<Xo時，g(x)>0,f'(x)>0；當x>x()時，g(x)<0,f'(x)<0,

因此，f(x)在(0,&)上單調(diào)遞增，在Qo,+°°)上單調(diào)遞減，

alnxaxx

f^max=/(&)=o+o-xoe°=a(lnx0+殉-1)>0，

111

而/(1)=a/n-+1——=—alna+1——<—a+l——<0?

7'屋aaaa

則存在X]G(；,%),使得f(%i)=0,

即/(%)在(0,q)上存在唯一零點,

又f(a)=a(lna+a—ea),

令九(久)=①%+%—e%,x>ef

則h'(x)=：+l—eX<0,

則h(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，Vx>e,/i(x)<h(e)=l+e—ee<l+e—e2<0,

于是得f(a)<0,則存在亞6(Xo，a),使得/(%2)=0，

即/(x)在(與,+8)上存在唯一零點，

綜上得：函數(shù)/'(X)=alnx+ax-xe*的零點個數(shù)為2.

故選：C.

求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，利用導數(shù)討論f(x)單調(diào)性，確定其最大值為正，再借助零點存在性定理推

理作答.

本題考查了涉及含參的函數(shù)零點問題，利用導數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，并結(jié)合

零點存在性定理，分析解決問題，屬于中檔題.

5.【答案】［1,2)

【解析】解：「A-{y\y=2x,x>0}={y\y>1),B-{x\y-ln(2—x)}—{x\x<2},

■■Ar\B=［1,2).

故答案為：［1,2).

根據(jù)已知條件，先對集合48化簡，再結(jié)合交集的運算，即可求解.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

6.【答案】屋

【解析】解：2=2=湍言=1-。

則|z-i|=|1-2i|=JI2+(—2)2=7-5.

故答案為：n.

先對z化簡，再結(jié)合復數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)模公式，屬于基礎題.

7.【答案】-80

【解析】解：根據(jù)二項式定理可得展開式中含/y3的項為C02(_2y)3=—80x2y3,

所以/y3的系數(shù)為—80,

故答案為：-80.

根據(jù)二項式定理求出展開式中含％2y3的項，由此即可求解.

本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

8.【答案】(2,9)

【解析】解：???方程昌+區(qū)=1表示焦點在y軸上的橢圓，

9-k>0

?,=5+/c>0，

5+k>9—k

???實數(shù)k的范圍是(2,9).

故答案為：(2,9).

[9-fc>0

由已知可得5+k>0，求解即可.

.5+k>9-k

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，解題時要認真審題，熟練掌握橢圓的基礎知識，屬基礎題.

9.【答案】\

【解析】

【分析】

本題考查了兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公式在三角函數(shù)化簡

求值中的應用，考查了計算能力，屬于基礎題.

由已知利用兩角和的正弦公式化簡可求sina+cosa=-?，將等式兩邊平方，利用同角三角函

數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公式即可求解.

【解答】

解：因為sin(a+今=一?，

所以三(sina+cosa)=—?，可得sina+cosa=-?，

.、__o

兩邊平方，可得sin2a4-cos2a+2sinacosa=1+sin2a=

則si?22a=1.

故答案為：I

10.【答案】36

【解析】解：???該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,其中有1,2,又要使中位數(shù)為3,

??.Q,b都大于2,且a。b,不妨設a<b,

1<2<a<6,

2+Q口1+2+a+b.

=O3,且-------=4,

解得a=4,6=9,

**,ctb—36.

故答案為：36.

根據(jù)中位數(shù)與平均數(shù)的定義建立方程即可求出a,b的值，進而可以求解.

本題考查了中位數(shù)與平均數(shù)的定義，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

11.【答案】T

【解析】解：由題意可知，雙曲線圣一/=1(。>03>0)的兩條漸近線方程為丫=±!刀，即bx±

ay=0,

由圓C的方程為(x—3)2+y2=4,得圓心為C(3,0),半徑為r=2,

因為右焦點和圓心重合，所以雙曲線右焦點的坐標為(3,0),c=3,

又因為雙曲線會，=l(a>0,b>0)的兩條漸近線均與圓C：(%-3)2+y2=4相切,

|3xb±0xa|

所以丁彳即冷=2,解得b=2,

所以a?=c2-b2=9—4=5,

故雙曲線的離心率為e=￡=卑.

a5

故答案為：浮.

根據(jù)已知條件得出雙曲線的漸近線方程及圓的圓心和半徑，進而得出雙曲線的焦點坐標，利用雙

曲線的漸近線與圓相切，得出圓心到漸近線的距離等于半徑，結(jié)合雙曲線中a,b,c三者之間的

關(guān)系即可求解.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】1

【解析】解：由題意，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,

1911711

可得P(X=0)=2；P(X=1)=9x9=今P(X=2)=5x9=今

所以期望為E(X)=0x1+lx1+2xj=l.

故答案為：1.

隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,求出概率，然后求解期望.

本題考查離散型隨機變量的期望的求法，考查計算能力，是基礎題.

13.【答案】647r

【解析】解：由圓。1的面積為4兀，則圓。1的半徑r=2,

又三角形ABC為正三角形，則r=|x號|力8|=2,解得48=215，

所以。。1=2，？，

所以球。的半徑R=J以+。0/=V4+12=4>

所以球0的表面積為S=4itR2=64?r,

故答案為：647r.

先由已知求出圓01的半徑，再根據(jù)三角形48C是等邊三角形，則可求出三角形2BC的邊長，進而

可以求解.

本題考查球的性質(zhì)，涉及到三角形的外接圓問題以及等邊三角形的性質(zhì)，屬基礎題.

14.【答案】(-8,-l)U(l,+8)

【解析】解：,??當x20時，/(x)=2x+2x—1,

.?.當xNO時,f(x)單調(diào)遞增，

又???/(%)是偶函數(shù)，且f(l)=3,

二不等式/(|幻)>3=f(1),B|J|x|>1,解得x>1或x<—1,

故不等式/(X)>3的解集為(-8,-1)u(l,+oo).

故答案為：(-8,-1)u(1,+8).

根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

本題主要考查函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.

15.【答案】0.02

【解析】解：設事件A表示患某種疾病，事件B表示飲食不良習慣不超過20年的市民,

則P(4)=0.03%,P(B)=1-0.1%=99.9%,

P(A\B)=乙些==10%,解得PQ4B)=0.02%,

P(B)1一「(8)、y

所二匚以i、lPr>(/AA|IrB>、)="P(AB)=訴0.02%=碉1"A0.A0o2n%/.

故答案為：0.02.

根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎題.

16.【答案】18

【解析】解：f(x)=(4cos2]-2)sinx+cos2x+2=2cosxsinx+cos2x+2=sinlx+cos2x+

2

=V~^sin(2x+/+2,

由2x+3=k7r(keZ),可得％=塔一氯kez),當k=l時,x=4，

故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點緇,2)對稱，

由等差中項的性質(zhì)可得+&9=。2+。8=。3+。7=。4+。6=2a5，

故/(%)+/(。9)=/(。2)+/(。8)=/(。3)+/(?7)=/(。4)+/缶6)=2X2=4,

所以，數(shù)列｛%｝的前9項和為/"(%)+/(。2)+???+/(。9)=4X(2X2)+/Q)=16+2=18.

故答案為：18.

化簡函數(shù)f(x)的解析式，函數(shù)圖象關(guān)于點(言,2)對稱，利用等差中項的性質(zhì)結(jié)合正弦型函數(shù)的對

稱性質(zhì)可求得結(jié)果.

本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，考查學生的綜合能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為乙4=寫，b=2c,A+B+C=n,

由正弦定理得sinB=2sinC=2sin(^-B),

化簡得2sbiB=yp^cosB,

即tQ?18=

(2)由tcmB=且8是銳角，

所以sinB=烏工sinC='孑，

714

又4c是銳角，

所以C0SC=

14

所以sin2c=2sinCcosC=2x三3x=”1，cos2C=鳥

14141414

所以.3+3=苧X劈+齊看=和

【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡可求tanB,進而可求B；

(2)由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及二倍角公式可求s譏2C,cos2C,然后利用兩角和的正弦公式可求.

本題主要考查正弦定理，和差角公式，同角基本關(guān)系在求解三角形中的應用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)過點。作DC的垂線交SC于E,

以。為原點，以DC,DE,n4所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

所以點S到y(tǒng)軸的距離為1,至狂軸的距離為3,

則有。(0,0,0).S(-l,C,0),4(0,0,2).C(2,0,0).B(2,0.1).尸(-1亨0)，

所以而=(2,0T),XS=(-l,<3,-2),方=(一|號,0)，

設平面S4B的法向量為元=(%y,z),

則g?尊=2x：淀令工=口則5,Z=2/3，

(ri?4S=-x+V3y-2z=0

所以亢=(15,5,213)，

所以次?元=(|)xC+yx5+0x2，3=0,即不_L元,又CFC平面S4B,所以CF〃平面S4B.

(2)由(1)知，平面S4B的法向量為記=(「,5,2/3)，

S(-l,C,0),4(0,0,2).所以而=(0,0,-2)，刀=(一1,二,一2)，

設平面S4D的法向量為記=(a,4c),

嘯霆：沼…=/令.

=A/--3，則b=1,c=0,

所以記=(q,i,o),

則cos<m,n>=昌二=

\m\'\ri\2x27105

所以平面54。與平面SAB所成的銳二面角的余弦值為等.

【解析】(1)根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，求出平面SAB的法向量，再

利用方?元=0即可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，求出平面SAD的法向量，再利用向量的夾角公式即可求解.

本題考查線面平行的證明，考查面面角的余弦值的求法，屬中檔題.

19.【答案】解:⑴由0.02：0.03：0.06=2：3：6,

所以每組抽取的個數(shù)分別為：vx22=4,9?x22=6,^-x22=12,

即從1一5中選4個,6-10個中選6個,11-15個中選12個,

記“恰有一人單次能完成6-10個引體向上”為事件4

則PQ4)=%S=

C2277

(2

學業(yè)優(yōu)秀學業(yè)不優(yōu)秀總計

體育成績不優(yōu)秀50100150

體育成績優(yōu)秀252550

總計75125200

9

因為八歌磊*用"

即有95%的把握認為體育鍛煉與學業(yè)成績有關(guān).

【解析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式，即可解出;

(2)利用獨立性檢驗公式，即可解出.

本題考查了古典概型的概率公式，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

20.【答案】解：⑴??一動圓經(jīng)過點F(l,0)且與直線久=一1相切，

???圓心C到F的距離d=\CF\=R,

???圓心到(1,0)的距離等于到直線x=-1的距離，

???拋物線的定義得曲線的軌跡是以F為焦點，％=-1為準線的拋物線：則拋物線方程為必=4久.

證明：(2)設M。1，%),/V(x2,y2)>

(yl=4%i

由“+以)2=4xX1+Xa，整理得*-+8x4-另=0,

同理，得y/-2yAy2+8x4-yi=0,

兩式作差得尤-禿=2yA(乃-y2)>

即為+丫2=2%，

所以加=空=外，得證：

證明：(3)設直線I的方程為y=k(x—l),代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=o,

設C(x2,y2),

則判別式A>0且％+不=號上，x62=1.

則|FB|-|FC|=(xj+l)(x2+1)=xrx2+Qi+冷)+1=1+^7-^+1=

v1//0P,設直線OP的方程為y=kx,

A.4.44

y=kx代入y2=鈦，得//―4x=o,得％=0或%=/，即孫=/，得「(正,工)，

???Q(l,k),|0Q|=71+)2,

=1,得證.

IOPHOQI

【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義進行求解即可.

(2)利用作差法以及中點坐標公式進行化簡求解即可.

(3)聯(lián)立方程組，利用韋達定理以及設而不求思想，求出對應的長度，進行化簡證明即可.

本題主要考查曲線軌跡方程的求解，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達定理以

及設而不求思想進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

21.【答案】(1)證明：要證f(%)Nx+l,即證靖N%+1,

令九(%)=e*—%—1,=—1,當工€(-8,0),"(%)<0,所以此時九(%)單調(diào)遞減；

當％6(0,+8),h!{x}>0