專題03 解三角形（解密講義）（解析版）-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點追蹤與預(yù)測（江蘇專用） - 副本

專題01解三角形01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識梳理、常用結(jié)論與技巧）02考情分析·解密高考03高頻考點·以考定法考點一正余弦定理的簡單應(yīng)用命題點1三角形中的中線、角平分線問題命題點2三角形中的邊與角考點二組合圖形中基本量的計算命題點一組合圖形中線段的計算命題點二組合圖形中角的計算考點二組合圖形中面積、周長問題的計算命題點一組合圖形中周長問題的計算命題點二組合圖形中面積問題的計算04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）02考情分析·解密高考解三角形作為高考必考題，高考題型一般作為1小1大或者是2小1大模式。主要考查正余弦定理的運用，其中組合圖形中線段、角、面積以及周長問題是高考高頻考點，考綱對解三角形的要求如下：（1）掌握正弦定理和余弦定理，會根據(jù)已知條件求三角形的邊、角、面積；（2）能綜合運用三角知識解決實際問題。真題多維細(xì)目表考點考向考題解三角形①正余弦定理的簡單應(yīng)用②組合圖形中基本量的計算③組合圖形中面積、周長問題的計算2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·T17，2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·T17，2023年全國甲卷理科·T16，2023年全國乙卷理科·T18，2022新高考全國I卷·T18，2022新高考全國II卷·T18，2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·T17，2021年新高考全國Ⅱ卷·T18，2021年高考全國甲卷理科·T8，2021年高考全國乙卷理科·T9，2021年高考全國乙卷理科·T15，2021年新高考Ⅰ卷·T19，2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·T16，2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·T7,2019·全國Ⅱ·理·T15，2019·全國Ⅰ·理·T17考點一正余弦定理的簡單應(yīng)用命題點1三角形中的中線、角平分線問題典例01(2023年全國甲卷理科·第16題)在中，，的角平分線交BC于D，則_________．【答案】【解析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：2．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：2．【點睛】三角形角平分線的常規(guī)處理方法：（1）；（2）正余弦定理結(jié)合起來解決典例02(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·第17題)記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)略(2)方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以．典例03(2021年高考浙江卷·第14題)在中，，M是中點，，則___________，___________．【答案】(1)．(2)．【解析】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得(負(fù)值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得．故答案為：；．1）利用正弦定理求三角形的內(nèi)角和時丟解；2）由于角的范圍被忽略或未發(fā)現(xiàn)隱含條件致誤；3）邊角互化公式選用不當(dāng)致誤；4）三角式化簡過程公式選擇不當(dāng)致誤；命題點2三角形中的邊與角典例01(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·第17題)已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【解析】(1)，，即，又，，，，即，所以，．（2）略典例02(2023年北京卷·第7題)在中，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以．故選：B．典例03(2021年高考全國乙卷理科·第15題)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】由題意，，所以，所以，解得(負(fù)值舍去)．故答案為：典例04(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·第17題)記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)方法1：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以．方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以．(2)方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以．預(yù)計2024年高考仍會從三角形中線、角平分線方向進(jìn)行命制.1．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，與互補(bǔ)，則，解得，在中，由余弦定理，得，因為，所以．解法2、由題意可得，，由AM為邊BC上的中線，則，兩邊同時平方得，，故，因為M為BC邊中點，則的面積為面積的，所以，即，化簡得，．(2)解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分別為邊BC，AC上的中線可知P為重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因為BN為邊AC上的中線，所以，，，即．所以．2．（2022·江蘇常州·華羅庚中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知中內(nèi)角的對邊分別是，.（1）求的值；（2）設(shè)是的角平分線，求的長.【答案】（1）；（2）【解析】（1），由，可得，，可得B為銳角，則，所以sin=，由=可得，解得；（2）由（1）可得，因為是的平分線，所以,設(shè)，由，可得，化為，解得，則．考點二組合圖形中基本量的計算命題點一組合圖形中線段的計算典例01（2018?新課標(biāo)Ⅰ，理17）在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）5【解析】（1）略（2），，，．典例02（2015?新課標(biāo)Ⅱ，理17）中，是上的點，平分，面積是面積的2倍．（1）求；（2）若，，求和的長．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）如圖，過作于，，平分在中，，在中，，；．分（2）由（1）知，．過作于，作于，平分，，，，令，則，，，由余弦定理可得：，，，的長為，的長為1．命題點二組合圖形中角的計算典例01（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)（省略）【解析】（1）因為，即，而，所以；（2）（省略）典例02(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第16題)如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________．【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案為：．典例03(2020江蘇高考·第16題)在中，角的對邊分別為，已知．(1)求的值；(2)在邊上取一點，使得，求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由余弦定理得，所以．由正弦定理得．(2)由于，，所以．由于，所以，所以所以．由于，所以．所以．組合圖形中邊、角的計算實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為三角形中邊、角的計算.解決此類題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)題意或幾何圖形理清三角形中的邊、角關(guān)系.（2）涉及四邊形等非三角形圖形時，可以作輔助線，將圖形分割成三角形后求解預(yù)計2024年高考大概率組合圖形中邊、角的計算1．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答．在中，內(nèi)角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，且滿足________．(1)求；(2)若，，為邊上的一點，且，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）選擇①：在中，由正弦定理，得．因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以．選擇②：因為，所以，所以，所以，即，解得或（舍去），因為，所以．（2）在中，由余弦定理，得，解得，，在中，由正弦定理得：，得，因為，所以，所．2．（2022秋·山東東營·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，已知.（1）若，求的值；（2）若，四邊形的面積為4，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，∵，則∴．在中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）在、中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．考點三組合圖形中面積、周長問題的計算命題點一組合圖形中周長問題的計算典例01(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第17題)記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【解析】(1)證明：因為，所以，所以，即，所以；(2)因為，由(1)得由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為．典例02(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第17題)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周長的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由正弦定理可得：，，，(2)由余弦定理得：，即．(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，，解得：(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，周長，周長的最大值為．命題點二組合圖形中面積問題的計算典例01(2023年全國乙卷理科·第18題)在中，已知，，．(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積．【答案】(1)；（2）．【解析】(1)由余弦定理可得：，則，，．(2)由三角形面積公式可得，則．預(yù)計2024年高考大概率組合圖形周長、面積的計算1.（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知條件：①；②；③.從三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足：___________.(1)求角的大??；(2)若，與的平分線交于點，求周長的最大值.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).【解析】（1）選擇條件①，，在中，由余弦定理得，整理得，則，又，所以.選擇條件②，，于是，在中，由正弦定理得，，因為，則，即，因為，因此，即，又，所以.選擇條件③，，在中，因為，即，則，又，即有，則，所以.（2）由（1）知，，有，而與的平分線交于點，即有，于是，設(shè)，則，且，在中，由正弦定理得，，所以，，所以的周長為，由，得，則當(dāng)，即時，的周長取得最大值，所以周長的最大值為.2.（2023·全國·模擬預(yù)測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______．(1)求角C；(2)若外接圓的面積為，求面積的最大值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【解析】（1）選條件①．，由正弦定理得．因為，所以，故．因為，所以，得，又，所以．選條件②．由得．由正弦定理得，得，得．而，所以，即，而，所以．選條件③．由及正弦定理得，因為，所以，即，即，所以，而，所以．（2）設(shè)外接圓的半徑為R，則，故．由正弦定理可得．所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故面積的最大值為．（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）AA·新題速遞1．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，，，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理得，因為，，，所以，故，則，因為，所以，，故，故.故選：D2．（2023秋·湖南·?？迹┰谥?，，，且的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)中角所對的邊分別為，因為，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因為，所以，故選：D3．（2023秋·江蘇鹽城·高三聯(lián)盟五校第一次聯(lián)考）中，分別是角對邊，且，則的形狀為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.直角或鈍角三角形 D.銳角三角形【答案】B【解析】由得，即，因為，所以，則，，，，，又，所以，，所以角為鈍角，為鈍角三角形.故選：B.4．（2023·湖北宜昌·高三協(xié)作體期中統(tǒng)測）鎮(zhèn)國寺塔亦稱西塔，是一座方形七層樓閣式磚塔，頂端塔剎為一青銅鑄葫蘆，葫蘆表面刻有“風(fēng)調(diào)雨順?國泰民安”八個字，是全國重點文物保護(hù)單位?國家3A級旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高為，在地面上點C處（B，C，N在同一水平面上且三點共線）測得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為15°和60°，在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為30°，則鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，則，所以，而，，所以，又，則.故選：C5．（2023秋·江蘇揚州·高三揚州中學(xué)10月月考）（多選）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則是銳角三角形C.若，，，則符合條件的有兩個D.對任意，都有【答案】ABD【解析】對于A選項，由，根據(jù)正弦定理得，（為外接圓半徑），即，則，故A正確；對于B，，所以，所以，所以三個數(shù)有個或個為負(fù)數(shù)，又因最多一個鈍角，所以，即都是銳角，所以一定為銳角三角形，故B正確；對于C，由正弦定理得，則，又，則，知滿足條件的三角形只有一個，故C錯誤；對于D，因為，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，故D正確；故選：ABD6.在中，角，，所對的邊分別為，，.，的平分線交于點，且，則的最小值為________.【答案】【解析】因為，所以，所以，可得．所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號）．故答案為：．7．（2023秋·江蘇鹽城·高三聯(lián)盟五校第一次聯(lián)考改編）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則角B=___________；若，D為AC的中點，求線段BD長度的取值范圍為___________．【答案】【解析】因為所以，則，即，所以，又，則，所以，即，由，得，所以，所以；因為，所以，因為D為AC的中點，所以，則，因為，所以，，則，因為，所以，所以，則，所以，所以故答案為：8．（2023·江蘇南通如皋·高三期中統(tǒng)測）已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）若，求角A；（2）若，，求a的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，所以，即，即.因為所以即.因為，所以或.由題意知，則當(dāng)時，，此時，這與矛盾，故舍去.當(dāng)時，因為，所以，所以.綜上可得：.（2）因為，即，則.由（1）可得.因為所以在中，由正弦定理得：.因為，所以.因為，所以.9.（2023·江蘇南通海安·高三期中統(tǒng)測）在中，角，，對邊分別為，，，.（1）證明：；（2）求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）∵，∴，，.（2），當(dāng)且僅當(dāng)即，時取“=”，所以的最小值為.BB·易錯提升1．（2023春·陜西西安·高三學(xué)校聯(lián)考）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】因為，所以，由正弦定理與余弦定理得，化簡得.故選：A2．（2023春·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？迹┑膬?nèi)角的對邊分別是，且，邊上的角平分線的長度為，且，則（）A． B． C．3 D．或3【答案】A【解析】由，因為，可得，又由邊上的角平分線，所以，在中，可得，在中，可得,因為，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因為，可得，即，可得，所以.故選：A.3．（2023秋·湖北·高三六校新高考聯(lián)盟學(xué)校11月聯(lián)考）已知△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+b＝2ccosB，則的最小值為（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】由余弦定理得，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為3．故選：B．4．（2023秋·江蘇蘇州·高三期中摸底考試）中，，則的最小值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】且∴原式若A為鈍角，則為鈍角，∴與條件矛盾，舍故A為銳角，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”故選：A．5．（2023秋·江蘇揚州·高三期中統(tǒng)測）（多選）在中，角所對的邊分別為，則能推出的有（）.A.B.C.D.【答案】ACD【解析】對于A中，因為，由正弦定理得，因為，可得，可得，即，又因為，所以，所以A正確；對于B中，因為，由正弦定理得，即，因為，可得，所以，又因為，所以，因為，可得，所以，可得，所以B不正確；對于C中，因為，因為，可得，所以，可得，因為，可得，所以，即，又因為，所以，所以C正確；對于D中，因為由