4.3.14.3.2等比數(shù)列的概念 等比數(shù)列的通項公式

4..2：等比數(shù)列的概念等比數(shù)列的通項公式【考點梳理】考點一：等比數(shù)列的概念1．定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．遞推公式形式的定義：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).考點二：等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.考點三：等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1(n∈N*)．考點四：等比數(shù)列通項公式的推廣和變形等比數(shù)列{an}的公比為q，則an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝eq\f(a1,q)·qn.③其中當②中m＝1時，即化為①.當③中q>0且q≠1時，y＝eq\f(a1,q)·qx為指數(shù)型函數(shù)．等比數(shù)列的應用及性質(zhì)考點五：實際應用題常見的數(shù)列模型1．儲蓄的復利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y＝a(1＋r)n.2．總產(chǎn)值模型：基數(shù)為N，平均增長率為p，期數(shù)為n，則總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n.考點六：等比數(shù)列的常用性質(zhì)設數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.(2)若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．(3)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項的和(或積)構成公比為qk(或)的等比數(shù)列．(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}都是等比數(shù)列，且公比分別是q，eq\f(1,q)，q2.(5)若{an}，{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別是p和q，那么{anbn}與eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也都是等比數(shù)列，公比分別為pq和eq\f(p,q).【題型歸納】題型一：等比數(shù)列中的基本運算1．（2023下·河南許昌·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列是等比數(shù)列，，，則公式q等于（

）A． B．3 C．3 D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列通項的性質(zhì)計算公比.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，，，公式為q，則有，即，得.故選：D2．（2023下·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）在正項等比數(shù)列中，，，則的公比（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】D【分析】由題意可得，從而可得，求得或，進而可求解.【詳解】在正項等比數(shù)列中，，，又，解得或，當時，，，；當時，，，.故選：D.3．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預測）已知為遞增的等比數(shù)列，且滿足，，則（

）A． B．1 C．16 D．32【答案】C【分析】首先化簡等式，并結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求.【詳解】由題意，，聯(lián)立，則或因為是遞增的數(shù)列，得，設等比數(shù)列的公比為，則.故選：C.題型二：等比中項的應用4．（2023下·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，若成等比數(shù)列，則（

）A．16 B．64 C．72 D．128【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，進而得到，再由成等比數(shù)列，求得首項，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】解：∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列，，即，解得，，所以d=2,所以，，故選：C．5．（2023下·福建·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比中項的性質(zhì)可求出，然后對化簡變形可求得結(jié)果.【詳解】因為等比數(shù)列滿足，所以，因為，所以，所以，所以，故選：A6．（2023下·湖北武漢·高二武漢市洪山高級中學校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比中項性質(zhì)進行計算即可.【詳解】，得，因為、、都為奇數(shù)項，在等比數(shù)列中應該為同號，所以，故.故選：A.題型三：等比數(shù)列下標的性質(zhì)及其應用7．（2023下·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習）已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的零點分別是，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，結(jié)合等比中項即可求解.【詳解】由題意可得所以，故，且，故選：D8．（2023下·河南周口·高二統(tǒng)考期中）在等比數(shù)列中，，則等于（

）A．64 B． C． D．8【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為是等比數(shù)列，，所以，，又由，可得．故選：D．9．（2023下·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學?？计谥校┑缺葦?shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列的運算性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，，即，因此，.故選：B.題型四：等比數(shù)列子數(shù)列的性質(zhì)10．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．32 D．64【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，所以．故選：C．11．（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，如果，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項公式進行求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，，，，成等比數(shù)列，其首項為，公比為，所以.故選：C.12．（2021·全國·高二周測）設是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．2 C．30 D．32【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】設該等比數(shù)列的公比為，因為，所以由，所以，故選：D題型五：等比數(shù)列與其它知識交匯問題13．（2022·高二）已知等比數(shù)列中，公比q＝2，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件可得，再由，即可得結(jié)果.【詳解】由題設，，則且q＝2，則，而.故選：B14．（2022上·貴州黔西·高三?？迹┰O等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得，，從而有，，則等比數(shù)列為正項的遞減數(shù)列．再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項均為正值，若，當時，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因為，所以，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項，故正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故錯誤．故選：．15．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項積為，且滿足，，若對任意的，恒成立，則k的值為（

）A．50 B．49 C．100 D．99【答案】B【分析】由，公比為正數(shù)，按照與的大小分類討論，先排除.當時，由得，從而求得的最小值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，若，由，則恒成立，由，得，即，這與矛盾，所以.由，又，則恒成立，得，即.則等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則，又，所以，則且所以是的最小值，即對任意的，恒成立，所以k的值為49．故選：B．題型六：等比數(shù)列的證明16．（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列的首項．(1)若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行證明即可；（2）利用等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進行證明即可【詳解】（1）由，，得的通項公式為．設，則．又，所以，是以27為首項，9為公比的等比數(shù)列；（2）由，，得．兩邊取以3為底的對數(shù)，得．所以．又，所以，是首項為1，公差為的等差數(shù)列．17．（2023上·高二課時練習）已知數(shù)列的遞推公式為(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將，變形為，利用等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）知是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求解.【詳解】（1）解：因為遞推公式為．變形為．易證，于是，故．所以是以為首項、以2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知是以為首項、以2為公比的等比數(shù)列，所以，從而，這就是的一個通項公式．18．（2023下·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的首項，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）應用等比數(shù)列定義證明即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式求解計算即得.【詳解】（1）因為，所以，即，且，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可求得，所以，即.【雙基達標】一、單選題19．（2023·全國·高二隨堂練習）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（

）．A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可得正確的選項.【詳解】設新數(shù)列為，則，因為為等比數(shù)列，故，故，而，故為等比數(shù)列且公比為，故選：B.20．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)計算可得.【詳解】由，∴．故選：D21．（2023下·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，若，則（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求得答案.【詳解】在等比數(shù)列中，由，根據(jù)等比中項可得，所以，故選：B．22．（2023上·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學校考期中）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【分析】按奇偶性分類討論即可求解.【詳解】為奇數(shù)時，依題意有，又由可知，故上式無解.為偶數(shù)時，依題意有，故選：A23．（2023上·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學?？计谥校┰O數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.若數(shù)列的連續(xù)四項構成集合，則公比為（

）A．16 B．4 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識求得題目所給項的排列順序，從而求得公比.【詳解】由題意等比數(shù)列的連續(xù)四項構成集合，則可知等比數(shù)列的項一定為正負相間，公比為負，由于，故后一項絕對值大于前一項的絕對值，故集合中的這四個數(shù)在數(shù)列中排列為，則.故選:C24．（2023上·河北衡水·高二衡水市第二中學?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差中項的知識列方程，求得等比數(shù)列的公比，從而求得.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由于，，成等差數(shù)列，所以，所以.故選：C25．（2023·全國·高二隨堂練習）若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項．(1)求45和80的等比中項；(2)已知兩個數(shù)和的等比中項是2k，求k．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)求解即可.（2）根據(jù)題意得到，再解方程即可.【詳解】（1）設為45和80的等比中項，則，所以.所以45和80的等比中項為（2）兩個數(shù)和的等比中項是，所以，，，解得或，此時，，滿足題意，所以或.26．（2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為8.(1)求等差數(shù)列的通項公式；(2)若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前10項和.【答案】(1)或(2)105【分析】（1）設等差數(shù)列公差，由已知建立方程組進行基本量計算即可；（2）根據(jù)條件確定通項，將含絕對值的數(shù)列分段表示，再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，，由題意得，解得或，所以或.故或；（2）當時，分別為，不成等比數(shù)列；當時，分別為成等比數(shù)列，滿足條件.故，記數(shù)列的前項和為，..故數(shù)列的前10項和為.【高分突破】一、單選題27．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學校考期中）已知等比數(shù)列，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的韋達定理，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可得答案.【詳解】由題意可得，，且數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，，.故選：B.28．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學?？计谥校?023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個國家、92個國際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國與共建“一帶一路”國家的進出口累計總額年均增長率為．現(xiàn)已知2013年進出口累計總額為10.9萬億美元，則2022年進出口累計總額（保留1位小數(shù)）約為（

）．參考數(shù)據(jù)：【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，構建等比數(shù)列，再求出其中的項即可.【詳解】依題意，從2013年到2022年的每年進出口累計總額依次排成一列構成等比數(shù)列，其中，公比，所以2022年進出口累計總額為（萬億）.故選：B29．（2023上·湖南長沙·高二長郡中學校考期中）已知數(shù)列滿足且.若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，變形為，配湊成，解得，最后根據(jù)數(shù)列的遞增性質(zhì)求解的取值范圍.【詳解】根據(jù)，可得，所以，所以，從而可得數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，整理有，因為所以整理得：即故選：C.30．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列中，，則數(shù)列的通項（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：給已知等式兩邊同除以，令則可得，從而得數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進而可求出；解法二：設，化簡后與已知等式比較可得，從而可得數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，進而可求出.【詳解】解法一：在遞推公式的兩邊同時除以，得①，令，則①式變?yōu)?，即，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項為，公比為，所以，即，所以，所以，解法二：設，則，與比較可得，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D31．（2023下·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，．設，若對于任意的，．恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列，的通項，再求出數(shù)列的最大項作答.【詳解】由數(shù)列滿足，，得是首項為1，公比為的等比數(shù)列，，于是，，當，時，當且僅當時取等號，當時，，因此當時，數(shù)列單調(diào)遞增，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，則當或時，，而任意的，恒成立，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】關鍵點睛：涉及求數(shù)列最大項問題，探討數(shù)列的單調(diào)性是解題的關鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調(diào)性作答.二、多選題32．（2023下·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的公差為，前n項和為，且，，成等比數(shù)列，則（

）A．B．C．當時，的最大值是或D．當時，的最小值是或【答案】ACD【分析】根據(jù)條件求出，由通項公式可判斷A，由求和公式可判斷B，根據(jù)前n項和公式及二次函數(shù)性質(zhì)可判斷CD.【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，即，故A正確；，故B錯誤；，所以當時，由二次函數(shù)性質(zhì)知，或時，的最小值是或，當時，由二次函數(shù)性質(zhì)知，的最大值是或，故CD正確.故選：ACD.33．（2023上·甘肅臨夏·高二校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列中，滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】A選項，根據(jù)等比數(shù)列通項公式進行求解；B選項，得到，B正確；C選項，計算出，C錯誤；D選項，計算出，D正確.【詳解】A選項，，A正確；B選項，，故，又，故為首項為2，公比為4的等比數(shù)列，B正確；C選項，由A可知，，則，C錯誤；D選項，，故單調(diào)遞增，D正確.故選：ABD34．（2023上·江蘇蘇州·高二吳江中學?？茧A段練習）在數(shù)列中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．數(shù)列是等差數(shù)列C．D．數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】BC【分析】根據(jù)已知化簡得出等差數(shù)列可以判斷AB選項，根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算得出通項公式判斷C選項，最后結(jié)合單調(diào)性判斷D選項.【詳解】由，整理得，故數(shù)列是以3為首項，6為公差的等差數(shù)列，則B選項正確，A選項錯誤，由等差數(shù)列可得，所以，，則C選項正確，由通項公式可知數(shù)列是遞減數(shù)列，D選項錯誤.故選：BC.35．（2023上·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）下列命題中錯誤的是（

）A．若a，b，c是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列B．若a，b，c是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列C．若a，b，c是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列D．若a，b，c是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列【答案】ABD【分析】由特例判斷ABD，根據(jù)等比中項的定義判斷C．【詳解】當時，不存在，因此AB均錯；選項C，若a，b，c是等差數(shù)列，則，顯然均為正數(shù)，因此成等比數(shù)列，C正確；選項D，例如，它們成等比數(shù)列，但，，，它們不成等差數(shù)列，D錯．故選：ABD．36．（2023下·河南南陽·高二南陽中學?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（

）A．當時，數(shù)列是等比數(shù)列 B．當時，數(shù)列是等差數(shù)列C．當時， D．當時，數(shù)列存在最大值【答案】ACD【分析】A選項，當時，，從而得到是等比數(shù)列；B選項，當時，，求出，進而得到不是常數(shù)，得到B錯誤；C選項，當時，是公差為1的等差數(shù)列，求出；D選項，在C選項基礎上得到，故有最大值.【詳解】選項A，當時，，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，故A正確；選項B，當時，，故，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，故，則，，由于不是常數(shù)，故數(shù)列不是等差數(shù)列，故B錯誤；選項C，當時，，，所以是公差為1的等差數(shù)列，又，所以，所以，故C正確；選項D，當時，由C選項可知，，則，所以最大值是，故D正確．故選：ACD．三、填空題37．（2023下·黑龍江大慶·高二大慶中學?？奸_學考試）在正項等比數(shù)列中，，則.【答案】4【分析】利用等比中項的性質(zhì)，可得答案.【詳解】在正項等比數(shù)列中，，所以，所以，.故答案為：.38．（2023下·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？茧A段練習）若，b，c為實數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，則b的值為【答案】【分析】利用等比中項計算即可.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，，所以（舍去）.故答案為：.39．（2023上·福建龍巖·高二?？茧A段練習）在等比數(shù)列中，，，且，則.【答案】64【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合題設求得，繼而求出，再利用，即可求得答案.【詳解】等比數(shù)列中，，故，結(jié)合，以及可得，設等比數(shù)列公比為q，則，故，故答案為：6440．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）某教育網(wǎng)站本月的用戶為1000人，網(wǎng)站改造后，預計平均每月的用戶都比上一個月增加，則從本月起，使網(wǎng)站用戶達到5000人至少需要經(jīng)過個月（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.【答案】7【分析】依題意每月的用戶構成一個等比數(shù)列，且，，要使當月網(wǎng)站用戶達到人以上，即，根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及指數(shù)的運算計算可得.【詳解】易知每個月的用戶數(shù)成等比數(shù)列，設第個月的用戶數(shù)為，該數(shù)列為，則首項，公比，則，設第月網(wǎng)站用戶達到5000人以上，則，得，因為，所以，即，故的最小值為，即第個月網(wǎng)站用戶達到人以上，所以使網(wǎng)站用戶達到5000人至少需要經(jīng)過個