4.3.14.3.2等比數(shù)列的概念 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

4..2：等比數(shù)列的概念等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：等比數(shù)列的概念1．定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．遞推公式形式的定義：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).考點(diǎn)二：等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.考點(diǎn)三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝a1qn－1(n∈N*)．考點(diǎn)四：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣和變形等比數(shù)列{an}的公比為q，則an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝eq\f(a1,q)·qn.③其中當(dāng)②中m＝1時(shí)，即化為①.當(dāng)③中q>0且q≠1時(shí)，y＝eq\f(a1,q)·qx為指數(shù)型函數(shù)．等比數(shù)列的應(yīng)用及性質(zhì)考點(diǎn)五：實(shí)際應(yīng)用題常見(jiàn)的數(shù)列模型1．儲(chǔ)蓄的復(fù)利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y＝a(1＋r)n.2．總產(chǎn)值模型：基數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，期數(shù)為n，則總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n.考點(diǎn)六：等比數(shù)列的常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.(2)若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．(3)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或)的等比數(shù)列．(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}都是等比數(shù)列，且公比分別是q，eq\f(1,q)，q2.(5)若{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別是p和q，那么{anbn}與eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也都是等比數(shù)列，公比分別為pq和eq\f(p,q).【題型歸納】題型一：等比數(shù)列中的基本運(yùn)算1．（2023下·河南許昌·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列是等比數(shù)列，，，則公式q等于（

）A． B．3 C．3 D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算公比.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，，，公式為q，則有，即，得.故選：D2．（2023下·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】D【分析】由題意可得，從而可得，求得或，進(jìn)而可求解.【詳解】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，又，解得或，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，.故選：D.3．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為遞增的等比數(shù)列，且滿足，，則（

）A． B．1 C．16 D．32【答案】C【分析】首先化簡(jiǎn)等式，并結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求.【詳解】由題意，，聯(lián)立，則或因?yàn)槭沁f增的數(shù)列，得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.故選：C.題型二：等比中項(xiàng)的應(yīng)用4．（2023下·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，則（

）A．16 B．64 C．72 D．128【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而得到，再由成等比數(shù)列，求得首項(xiàng)，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】解：∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列，，即，解得，，所以d=2,所以，，故選：C．5．（2023下·福建·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出，然后對(duì)化簡(jiǎn)變形可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：A6．（2023下·湖北武漢·高二武漢市洪山高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】，得，因?yàn)?、、都為奇?shù)項(xiàng)，在等比數(shù)列中應(yīng)該為同號(hào)，所以，故.故選：A.題型三：等比數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)及其應(yīng)用7．（2023下·河南信陽(yáng)·高二信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合等比中項(xiàng)即可求解.【詳解】由題意可得所以，故，且，故選：D8．（2023下·河南周口·高二統(tǒng)考期中）在等比數(shù)列中，，則等于（

）A．64 B． C． D．8【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，所以，，又由，可得．故選：D．9．（2023下·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學(xué)?？计谥校┑缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，，即，因此，.故選：B.題型四：等比數(shù)列子數(shù)列的性質(zhì)10．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．32 D．64【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，所以．故選：C．11．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，如果，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，，，，成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以.故選：C.12．（2021·全國(guó)·高二周測(cè)）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．2 C．30 D．32【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋杂?，所以，故選：D題型五：等比數(shù)列與其它知識(shí)交匯問(wèn)題13．（2022·高二）已知等比數(shù)列中，公比q＝2，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件可得，再由，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則且q＝2，則，而.故選：B14．（2022上·貴州黔西·高三?？迹┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得，，從而有，，則等比數(shù)列為正項(xiàng)的遞減數(shù)列．再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，若，當(dāng)時(shí)，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因?yàn)?，所以，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故錯(cuò)誤．故選：．15．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足，，若對(duì)任意的，恒成立，則k的值為（

）A．50 B．49 C．100 D．99【答案】B【分析】由，公比為正數(shù)，按照與的大小分類(lèi)討論，先排除.當(dāng)時(shí)，由得，從而求得的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，由，則恒成立，由，得，即，這與矛盾，所以.由，又，則恒成立，得，即.則等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則，又，所以，則且所以是的最小值，即對(duì)任意的，恒成立，所以k的值為49．故選：B．題型六：等比數(shù)列的證明16．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知數(shù)列的首項(xiàng)．(1)若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可【詳解】（1）由，，得的通項(xiàng)公式為．設(shè)，則．又，所以，是以27為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列；（2）由，，得．兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得．所以．又，所以，是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．17．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式為(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）將，變形為，利用等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）知是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】（1）解：因?yàn)檫f推公式為．變形為．易證，于是，故．所以是以為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知是以為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列，所以，從而，這就是的一個(gè)通項(xiàng)公式．18．（2023下·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）應(yīng)用等比數(shù)列定義證明即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解計(jì)算即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可求得，所以，即.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（

）．A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)新數(shù)列為，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，故，故，而，故為等比數(shù)列且公比為，故選：B.20．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】由，∴．故選：D21．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，若，則（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得答案.【詳解】在等比數(shù)列中，由，根據(jù)等比中項(xiàng)可得，所以，故選：B．22．（2023上·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【分析】按奇偶性分類(lèi)討論即可求解.【詳解】為奇數(shù)時(shí)，依題意有，又由可知，故上式無(wú)解.為偶數(shù)時(shí)，依題意有，故選：A23．（2023上·安徽阜陽(yáng)·高二阜陽(yáng)市第三中學(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.若數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)構(gòu)成集合，則公比為（

）A．16 B．4 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)求得題目所給項(xiàng)的排列順序，從而求得公比.【詳解】由題意等比數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)構(gòu)成集合，則可知等比數(shù)列的項(xiàng)一定為正負(fù)相間，公比為負(fù)，由于，故后一項(xiàng)絕對(duì)值大于前一項(xiàng)的絕對(duì)值，故集合中的這四個(gè)數(shù)在數(shù)列中排列為，則.故選:C24．（2023上·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的知識(shí)列方程，求得等比數(shù)列的公比，從而求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，，成等差數(shù)列，所以，所以.故選：C25．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）若a，G，b成等比數(shù)列，則稱(chēng)G為a和b的等比中項(xiàng)．(1)求45和80的等比中項(xiàng)；(2)已知兩個(gè)數(shù)和的等比中項(xiàng)是2k，求k．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.（2）根據(jù)題意得到，再解方程即可.【詳解】（1）設(shè)為45和80的等比中項(xiàng)，則，所以.所以45和80的等比中項(xiàng)為（2）兩個(gè)數(shù)和的等比中項(xiàng)是，所以，，，解得或，此時(shí)，，滿足題意，所以或.26．（2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【答案】(1)或(2)105【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差，由已知建立方程組進(jìn)行基本量計(jì)算即可；（2）根據(jù)條件確定通項(xiàng)，將含絕對(duì)值的數(shù)列分段表示，再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，由題意得，解得或，所以或.故或；（2）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，分別為成等比數(shù)列，滿足條件.故，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，..故數(shù)列的前10項(xiàng)和為.【高分突破】一、單選題27．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎缺葦?shù)列，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的韋達(dá)定理，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得答案.【詳解】由題意可得，，且數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，.故選：B.28．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校?023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個(gè)國(guó)家、92個(gè)國(guó)際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國(guó)與共建“一帶一路”國(guó)家的進(jìn)出口累計(jì)總額年均增長(zhǎng)率為．現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計(jì)總額為10.9萬(wàn)億美元，則2022年進(jìn)出口累計(jì)總額（保留1位小數(shù)）約為（

）．參考數(shù)據(jù)：【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，構(gòu)建等比數(shù)列，再求出其中的項(xiàng)即可.【詳解】依題意，從2013年到2022年的每年進(jìn)出口累計(jì)總額依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，其中，公比，所以2022年進(jìn)出口累計(jì)總額為（萬(wàn)億）.故選：B29．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足且.若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，變形為，配湊成，解得，最后根據(jù)數(shù)列的遞增性質(zhì)求解的取值范圍.【詳解】根據(jù)，可得，所以，所以，從而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，整理有，因?yàn)樗哉淼茫杭垂蔬x：C.30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：給已知等式兩邊同除以，令則可得，從而得數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進(jìn)而可求出；解法二：設(shè)，化簡(jiǎn)后與已知等式比較可得，從而可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出.【詳解】解法一：在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得①，令，則①式變?yōu)?，即，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以，即，所以，所以，解法二：設(shè)，則，與比較可得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D31．（2023下·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，．設(shè)，若對(duì)于任意的，．恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列，的通項(xiàng)，再求出數(shù)列的最大項(xiàng)作答.【詳解】由數(shù)列滿足，，得是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，，于是，，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，則當(dāng)或時(shí)，，而任意的，恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及求數(shù)列最大項(xiàng)問(wèn)題，探討數(shù)列的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調(diào)性作答.二、多選題32．（2023下·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，則（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，的最大值是或D．當(dāng)時(shí)，的最小值是或【答案】ACD【分析】根據(jù)條件求出，由通項(xiàng)公式可判斷A，由求和公式可判斷B，根據(jù)前n項(xiàng)和公式及二次函數(shù)性質(zhì)可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得，即，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，所以當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知，或時(shí)，的最小值是或，當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知，的最大值是或，故CD正確.故選：ACD.33．（2023上·甘肅臨夏·高二校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列中，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，得到，B正確；C選項(xiàng)，計(jì)算出，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，故，又，故為首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，B正確；C選項(xiàng)，由A可知，，則，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故單調(diào)遞增，D正確.故選：ABD34．（2023上·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】BC【分析】根據(jù)已知化簡(jiǎn)得出等差數(shù)列可以判斷AB選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算得出通項(xiàng)公式判斷C選項(xiàng)，最后結(jié)合單調(diào)性判斷D選項(xiàng).【詳解】由，整理得，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，則B選項(xiàng)正確，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，由等差數(shù)列可得，所以，，則C選項(xiàng)正確，由通項(xiàng)公式可知數(shù)列是遞減數(shù)列，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.35．（2023上·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若a，b，c是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列B．若a，b，c是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列C．若a，b，c是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列D．若a，b，c是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列【答案】ABD【分析】由特例判斷ABD，根據(jù)等比中項(xiàng)的定義判斷C．【詳解】當(dāng)時(shí)，不存在，因此AB均錯(cuò)；選項(xiàng)C，若a，b，c是等差數(shù)列，則，顯然均為正數(shù)，因此成等比數(shù)列，C正確；選項(xiàng)D，例如，它們成等比數(shù)列，但，，，它們不成等差數(shù)列，D錯(cuò)．故選：ABD．36．（2023下·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列存在最大值【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，從而得到是等比數(shù)列；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，求出，進(jìn)而得到不是常數(shù)，得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是公差為1的等差數(shù)列，求出；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，故有最大值.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，故，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，故，則，，由于不是常數(shù)，故數(shù)列不是等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，，所以是公差為1的等差數(shù)列，又，所以，所以，故C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，由C選項(xiàng)可知，，則，所以最大值是，故D正確．故選：ACD．三、填空題37．（2023下·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則.【答案】4【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，所以，所以，.故答案為：.38．（2023下·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）若，b，c為實(shí)數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，則b的值為【答案】【分析】利用等比中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，，所以（舍去）.故答案為：.39．（2023上·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，且，則.【答案】64【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合題設(shè)求得，繼而求出，再利用，即可求得答案.【詳解】等比數(shù)列中，，故，結(jié)合，以及可得，設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，故，故答案為：6440．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）某教育網(wǎng)站本月的用戶為1000人，網(wǎng)站改造后，預(yù)計(jì)平均每月的用戶都比上一個(gè)月增加，則從本月起，使網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人至少需要經(jīng)過(guò)個(gè)月（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.【答案】7【分析】依題意每月的用戶構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，且，，要使當(dāng)月網(wǎng)站用戶達(dá)到人以上，即，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及指數(shù)的運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】易知每個(gè)月的用戶數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)第個(gè)月的用戶數(shù)為，該數(shù)列為，則首項(xiàng)，公比，則，設(shè)第月網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人以上，則，得，因?yàn)?，所以，即，故的最小值為，即第個(gè)月網(wǎng)站用戶達(dá)到人以上，所以使網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人至少需要經(jīng)過(guò)個(gè)