2023-2024學年福建泉州市泉港區(qū)第一中學高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學年福建泉州市泉港區(qū)第一中學高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，命題“存在，使方程有實根”的否定是()A．任意，使方程無實根B．任意，使方程有實根C．存在，使方程無實根D．存在，使方程有實根2．定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．3．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，它歷史悠久，風格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內的概率是（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列{an}滿足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-17．音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學趣味．著名數(shù)學家傅立葉研究了樂聲的本質，他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學表達式來描述，它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項是基本音，其余的為泛音．由樂聲的數(shù)學表達式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)構成樂音的是（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．9．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．010．已知三棱錐P﹣ABC的頂點都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，則球O的表面積為（）A． B． C． D．11．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B．C． D．12．設，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”設人數(shù)、物價分別為、，滿足，則_____，_____．14．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為數(shù)列的前項和，若，，則______.15．近年來，新能源汽車技術不斷推陳出新，新產品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術作為新能源汽車的核心技術，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000次的概率為85%，充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經經過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為______.16．已知一個正四棱錐的側棱與底面所成的角為，側面積為，則該棱錐的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，D是在△ABC邊AC上的一點，△BCD面積是△ABD面積的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=，求的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求邊AC的長．18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2，記f(x)（Ⅰ）解不等式f(x)≤5；（Ⅱ）若正實數(shù)a，b滿足1a+119．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點．（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值．20．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求和的極坐標方程；（2）過且傾斜角為的直線與交于點，與交于另一點，若，求的取值范圍.21．（12分）健身館某項目收費標準為每次60元，現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動：具體收費標準如下：現(xiàn)隨機抽取了100為會員統(tǒng)計它們的消費次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設該項目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；（3）假設每個會員每星期最多消費4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件的概率，從會員中隨機抽取兩位，記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學期望22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項和為，，公差，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實根”的否定是“任意，使方程無實根”.故選：A【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個方面作出變化：1.量詞，2.結論，是一道基礎題.2、D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當時，數(shù)形結合（如圖）得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個，解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當時，，數(shù)形結合（如圖），由解得.在內有3個整數(shù)解，為1，2，3，滿足，所以符合題意.當時，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示.若，即的整數(shù)解只有1，2，3.只需滿足，即，解得，所以.綜上，當時，實數(shù)的取值范圍是.故選D.3、C【解析】

作出三棱錐的實物圖，然后補成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球，然后計算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示：將其補成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結構，選擇合適的模型進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.4、D【解析】

由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎題.5、B【解析】

觀察已知條件，對進行化簡，運用累加法和裂項法求出結果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時相加得，又因為，所以.故選：【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運用對應方法求解.6、D【解析】試題分析：因為an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點：數(shù)列的通項公式．7、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.8、A【解析】

根據(jù)復合函數(shù)的單調性，同增異減以及采用排除法，可得結果.【詳解】當時，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當時，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯誤故選：A【點睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關鍵在于對復合函數(shù)單調性的理解，記住常用的結論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復合函數(shù)單調性同增異減，屬中檔題.9、B【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經過幾段后又回到起點，得到每爬1步回到起點，周期為1．計算黑螞蟻爬完2020段后實質是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質是到達哪個點，即可計算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過1段后又回到起點，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點，所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.10、D【解析】

由題意畫出圖形，找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O，通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑，則答案可求.【詳解】如圖；設AB的中點為D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB為直角三角形，且斜邊為AB，故其外接圓半徑為：rAB＝AD＝2；設外接球球心為O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2?R2＝（R）2+r2?R；∴球O的表面積為：4πR2＝4π.故選：D.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結合的解題思想方法，考查思維能力與計算能力，屬于中檔題.11、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體，分別求解兩個部分的體積，加和得到結果.【詳解】由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個圓柱，上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為：四棱錐體積為：原幾何體體積為：本題正確選項：【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關鍵在于能夠準確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.12、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯②：因為，，所以或，因為，所以，故②對③：或，故③錯④：如圖因為，，在內過點作直線的垂線，則直線，又因為，設經過和相交的平面與交于直線，則又，所以因為，，所以，所以，故④對.故選：C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用已知條件，通過求解方程組即可得到結果．【詳解】設人數(shù)、物價分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的應用，方程組的求解，考查計算能力，屬于基礎題．14、63【解析】

對進行化簡，可得，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式進行求解即可【詳解】由數(shù)列為首項為，公比的等比數(shù)列，所以63【點睛】本題考查等比數(shù)列基本量的求法，當處理復雜因式時，常用基本方法為：因式分解，約分。但解題本質還是圍繞等差和等比的基本性質15、【解析】

記“某用戶的自用新能源汽車已經經過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：，由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經經過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：故答案為：【點睛】本題考查了條件概率的應用，考查了學生概念理解，數(shù)學應用，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.16、【解析】

如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設，根據(jù)正四棱錐的側面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設，，，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐的側面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角形面積公式以及并結合正弦定理，可得結果.（Ⅱ）根據(jù)，可得，然后使用余弦定理，可得結果.【詳解】（Ⅰ），所以所以；（Ⅱ），所以，所以，，所以，所以邊．【點睛】本題考查三角形面積公式，正弦定理以及余弦定理的應用，關鍵在于識記公式，屬中檔題.18、（Ⅰ）{x|-3≤x≤2}（Ⅱ）見證明【解析】

(Ⅰ)由題意結合不等式的性質零點分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】（Ⅰ）①當x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5，即x≤2，∴1<x≤2；②當-2≤x≤1時，f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5，∴-2≤x≤1；③當x<-2時，f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5，即x≥-3，∴-3≤x<-2.綜上所述，原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.（Ⅱ）∵f(x)=x-1當且僅當-2≤x≤1時，等號成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當且僅當2a×1又1a+1b=∴2a【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應用，絕對值三角不等式求最值的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、（1）見解析（2）最小值為1．【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設出兩點的坐標，利用導數(shù)求得切線的方程，由此求得點的坐標.寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，根據(jù)韋達定理求得點的坐標，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設直線的傾斜角為，求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值．【詳解】(1)∵動圓過定點，且與直線相切，∴動圓圓心到定點和定直線的距離相等，∴動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，∴軌跡的方程為：，設，∴直線的方程為：，即：①，同理，直線的方程為：②，由①②可得：，直線方程為：，聯(lián)立可得：，，∴點始終在直線上且；（2）設直線的傾斜角為，由（1）可得：，，∴四邊形的面積為：，當且僅當或，即時取等號，∴四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉換公式，把參數(shù)方程，直角坐標方程與極坐標方程進行轉化；（2）利用極