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類型三導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用1.(多選題)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)若函數(shù)f(x)=alnx+eq\f(b,x)+eq\f(c,x2)(a≠0)既有極大值也有極小值,則()A.bc>0B.a(chǎn)b>0C.b2+8ac>0D.a(chǎn)c<0解析:函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞),且f′(x)=eq\f(a,x)-eq\f(b,x2)-eq\f(2c,x3)=eq\f(ax2-bx-2c,x3),由題意,方程f′(x)=0即ax2-bx-2c=0有兩個正根,設(shè)為x1,x2,則有x1+x2=eq\f(b,a)>0,x1x2=eq\f(-2c,a)>0,Δ=b2+8ac>0,所以ab>0,ac<0,所以ab·ac=a2bc<0,即bc<0,A錯誤.故選BCD.答案:BCD2.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為()A.e2B.eC.e-1D.e-2解析:對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得,f′(x)=aex-eq\f(1,x),依題意,aex-eq\f(1,x)≥0在(1,2)上恒成立,即a≥eq\f(1,xex)在(1,2)上恒成立,設(shè)g(x)=eq\f(1,xex),x∈(1,2),則g′(x)=eq\f(-(ex+xex),(xex)2)=-eq\f(ex(x+1),(xex)2),易知當(dāng)x∈(1,2)時,g′(x)<0,則函數(shù)g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,則a≥g(x)max=g(1)=eq\f(1,e)=e-1.故選C.答案:C3.(2023·全國甲卷)曲線y=eq\f(ex,x+1)在點(diǎn)(1,eq\f(e,2))處的切線方程為()A.y=eq\f(e,4)xB.y=eq\f(e,2)xC.y=eq\f(e,4)x+eq\f(e,4)D.y=eq\f(e,2)x+eq\f(3e,4)解析:因?yàn)閥=eq\f(ex,x+1),y′=eq\f(ex(x+1)-ex(x+1)′,(x+1)2)=eq\f(xex,(x+1)2),故函數(shù)在點(diǎn)(1,eq\f(e,2))處的切線斜率k=eq\f(e,4),切線方程為y-eq\f(e,2)=eq\f(e,4)(x-1),即y=eq\f(e,4)x+eq\f(e,4).故選C.答案:C4.(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=e-(x-1)2.記a=f(eq\f(\r(2),2)),b=f(eq\f(\r(3),2)),c=f(eq\f(\r(6),2)),則()A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b解析:令g(x)=-(x-1)2,則g(x)的開口向下,對稱軸為x=1,因?yàn)閑q\f(\r(6),2)-1-(1-eq\f(\r(3),2))=eq\f(\r(6)+\r(3),2)-eq\f(4,2),而(eq\r(6)+eq\r(3))2-42=9+6eq\r(2)-16=6eq\r(2)-7>0,所以eq\f(\r(6),2)-1-(1-eq\f(\r(3),2))=eq\f(\r(6)+\r(3)-4,2)>0,所以eq\f(\r(6),2)-1>1-eq\f(\r(3),2)所以由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可知g(eq\f(\r(6),2))<g(eq\f(\r(3),2)),因?yàn)閑q\f(\r(6),2)-1-(1-eq\f(\r(2),2))=eq\f(\r(6)+\r(2)-4,2),而(eq\r(6)+eq\r(2))2-42=4eq\r(3)-8<0,所以eq\f(\r(6),2)-1<1-eq\f(\r(2),2),所以g(eq\f(\r(6),2))>g(eq\f(\r(2),2)),綜合可得g(eq\f(\r(2),2))<g(eq\f(\r(6),2))<g(eq\f(\r(3),2)),又y=ex為增函數(shù),所以a<c<b,即b>c>a.故選A.答案:A5.(2023·全國乙卷)設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是________.解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立,即(1+a)xln(1+a)≥-axlna,化簡可得(eq\f(1+a,a))x≥-eq\f(lna,ln(1+a))在(0,+∞)上恒成立,而在(0,+∞)上(eq\f(1+a,a))x>1,故有1≥-eq\f(lna,ln(1+a)),由a∈(0,1),化簡可得ln(1+a)≥lneq\
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