高中數學雙曲線習題及答案解析

雙曲線習題練習及答案解析1、已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】B因為雙曲線的一條漸近線方程為，則.①又因為橢圓與雙曲線有公共焦點，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9.②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.2已知雙曲線（a、b均為正數）的兩條漸近線與直線圍成的三角形的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】D解：雙曲線的漸近線為，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故選：D3已知雙曲線的中心為坐標原點，一條漸近線方程為，點在上，則的方程為A. B.C. D.【答案】B由于C選項的中雙曲線的漸近線方程為，不符合題意，排除C選項.將點代入A,B,D三個選項，只有B選項符合，故本題選B.4已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，O為坐標原點，點P在C的一條漸近線上，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C雙曲線C：中，，，漸近線方程：，因，則點P在線段的中垂線：上，則P點縱坐標y0有，所以面積.故選：C5已知雙曲線：，則的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C雙曲線的離心率為，因為，所以，即的離心率的取值范圍為.故選：C.6若雙曲線的焦距為6，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.因為為雙曲線，所以，化為標準方程為：.由焦距為6可得：，解得：k=1.所以雙曲線為.所以雙曲線的離心率為.故選：A7已知，分別是雙曲線的左，右焦點，若是雙曲線左支上的點，且．則的面積為（）A.8 B.16 C.24 D.【答案】C因為是雙曲線左支上的點，所以，．在中，，即，所以，，故的面積為．故選：C．8已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線C的左、右焦點，P為雙曲線C上一點，若，則A.1 B.9 C.1或9 D.3或93.B由題意知，所以，所以，所以，所以點Р在雙曲線C的左支上，所以，所以.故選B9如圖，F1，F2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A. B.2C. D.【答案】D連接，依題意知：，，所以.10已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線交雙曲線右支于、兩點，若是等腰三角形，且．則的周長為（）A． B． C． D．【答案】A雙曲線的焦點在軸上，則；

設，由雙曲線的定義可知：，

由題意可得：，

據此可得：，又，∴，

由正弦定理有:,即所以，解得：，所以的周長為：=故選：A11已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，O為坐標原點，點P在C的一條漸近線上，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C雙曲線C：中，，，漸近線方程：，因，則點P在線段的中垂線：上，則P點縱坐標y0有，所以面積.故選：C12雙曲線與的離心率分別為，則必有（）A.B.C.D.【答案】D13多選以已知雙曲線的虛軸為實軸、實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，則以下說法，正確的有（）A.雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的準線B.雙曲線與它的共軛雙曲線的焦距相等C.雙曲線與它的共軛雙曲線的離心率相等D.雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的漸近線【答案】BD由雙曲線對稱性不妨令雙曲線C的方程為：，則其共軛雙曲線的方程為，對于A，雙曲線C的準線垂直于x軸，雙曲線的準線垂直于y軸，A不正確；對于B，雙曲線C和雙曲線的半焦距均為：，所以焦距相同，B正確；對于C，由B選項知，雙曲線C的離心率為，而雙曲線的離心率為，而a，b不一定等，C不正確；對于D，雙曲線C和雙曲線的漸近線均為，D正確.故選：BD13多選已知雙曲線：的離心率為，，分別為的左右焦點，點在上，且，則（）A． B． C． D．【答案】BCD由題意有，可得，可知選項A不正確，而，因為，所以點在的右支上，由雙曲線的定義有：，解得，故選項B正確，在中，有，解得，，所以，故選項C，D正確.故選：BCD.多選若方程所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是A．若1＜t＜5，則C為橢圖B．若t＜1．則C為雙曲線C．若C為雙曲線，則焦距為4D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則3＜t＜5【答案】BD14多選已知雙曲線C1：的實軸長是2，右焦點與拋物線C2：y2＝8x的焦點F重合，雙曲線C1與拋物線C2交于A、B兩點，則下列結論正確的是(▲)A．雙曲線C1的離心率為2eq\r(3)B．拋物線C2的準線方程是x＝－2C．雙曲線C1的漸近線方程為y＝±eq\r(3)xD.|AF|＋|BF|＝【答案】BC【解析】由題意可知對于C1：，實軸長為2a=2，即a=1，而C2：y2＝8x的焦點F為（2，0），所以c=2，則雙曲線C1的方程為，則對于選項A，雙曲線C1的離心率為，所以選項A錯誤；對于選項B，拋物線C2的準線方程是x＝－2，所以選項B正確；對于選項C，雙曲線C1的漸近線方程為y＝±x＝±x，所以選項C正確；對于選項D，由y2＝8x與聯立可得A（3，），B（3，），所以由拋物線的定義可得|AF|＋|BF|＝，所以選項D錯誤，綜上答案選BC.14多選分別是雙曲線的左右焦點，過作軸的垂線與雙曲線交于兩點，若為正三角形，則（）A. B.雙曲線的離心率C.雙曲線的焦距為 D.的面積為【答案】ABD在正三角形中，由雙曲線的對稱性知，，，由雙曲線定義有：，因此，，，，即半焦距，則，A正確；雙曲線的離心率，B正確；雙曲線的焦距，C不正確；的面積為，D正確.故選：ABD15多選已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的右支交于A、兩點，若，則()A.B.雙曲線的離心率C.直線的斜率為D.原點在以為圓心，為半徑的圓上【答案】ABC如圖：設，則，由雙曲線的定義知，，即；，即，∴，即有，故選項A正確；由余弦定理知，在中，，在△中，，化簡整理得，，∴離心率，故選項B正確；在△中，，，∴，∴根據雙曲線的對稱性可知，直線的斜率為，故選項C正確；若原點在以為圓心，為半徑的圓上，則，與不符，故選項D錯誤．故選：ABC．16多選已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線過點，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線與雙曲線有相同的漸近線C.若到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為D.若直線與漸近線圍成的三角形面積為則焦距為【答案】BCD漸近線的方程為，因為一條漸近線過點，故即，故離心率為，故A錯誤.又漸近線的方程為，而雙曲線的漸近線的方程為，故B正確.若到漸近線的距離為2，則，故，所以雙曲線的方程為，故C正確.直線與漸近線的兩個交點的坐標分別為：及，故即，而，故，，所以，所以，故焦距為，故D正確.故選：BCD.16多選已知點P在雙曲線上，，分別是左、右焦點，若的面積為20，則下列判斷正確的有（）A.點P到x軸的距離為 B.C.為鈍角三角形 D.【答案】BC由雙曲線方程得，，則，由△的面積為20，得，得，即點到軸的距離為4，故錯誤，將代入雙曲線方程得，根據對稱性不妨設，，則，由雙曲線的定義知，則，則，故正確，在△中，，則，為鈍角，則△為鈍角三角形，故正確，，則錯誤，故正確的是，故選16雙曲線的漸近線方程為__________，設雙曲線經過點(4，1)，且與雙曲線具有相同漸近線，則雙曲線的標準方程為__________．【答案】【解析】(1)雙曲線的焦點在軸上，且，漸近線方程為，故漸近線方程為；(2)由雙曲線與雙曲線具有相同漸近線，可設，代入有，故，化簡得.17已知O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且，若，則______.【答案】3拋物線：()的焦點，∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為，不妨設，因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，，，因為，所以，，所以3故答案為：3.若雙曲線：的右焦點與拋物線：的焦點重合，則實數（）A. B. C.3 D.-3【答案】D雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，所以雙曲線方程化：，再轉化為：，所以，，所以，所以，所以平方得故選：D.17設雙曲線：的右焦點為，點，已知點在雙曲線的左支上，若的周長的最小值是，則雙曲線的標準方程是__________，此時，點的坐標為__________．【答案】【解析】如下圖，設為雙曲線的左焦點，連接，，則，，故的周長，因為，所以的周長，因為的周長的最小值是，，，所以，，雙曲線的方程為，當的周長取最小值時，點在直線上，因為，，所以直線的方程為，聯立，解得，或（舍去），故的坐標為．故答案為：，．18已知雙曲線與有相同的漸近線，若的離心率為2，則的離心率為__________.【答案】雙曲線的漸近線方程為，的漸近線方程為，由題意可得，由的離心率為2得：，則，所以設的離心率為，則，故，故答案為：19知雙曲線，焦點，左頂點，若過左頂點的直線和圓相切，與雙曲線在第一象限交于點，且軸，則直線的斜率是_____，雙曲線的離心率是_________.【答案】

如圖，設圓的圓心為，則圓心坐標，半徑為，則，設過左頂點的直線和圓相切于點，連接，則，所以，得，所以直線的斜率是；軸，由雙曲線的通徑可得，，又，所以，化簡得，求解得.故答案為：；已知雙曲線C：﹣y2＝1．（Ⅰ）求以C的焦點為頂點、以C的頂點為焦點的橢圓的標準方程；（Ⅱ）求與C有公共的焦點，且過點（2，﹣）的雙曲線的標準方程，并且求出這條雙曲線的實軸長、焦距、離心率以及漸近線方程．解：（Ⅰ）雙曲線C：﹣y2＝1的焦點為（±，0），頂點為（±2，0），設橢圓的標準方程為+＝1（a＞b＞0），可得c＝2，a＝，b＝＝1，則橢圓的方程為+y2＝1；（Ⅱ）設所求雙曲線的方程為﹣＝1（m．n＞0），由題意可得m2+n2＝5，﹣＝1，解得m＝，n＝，即所求雙曲線的方程為﹣＝1，則這條雙曲線的實軸長為2、焦距為2、離心率為以及漸近線方程為y＝±x．20已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）與雙曲線﹣＝1有相同的漸近線，且經過點M（，﹣）．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）求雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離．：（Ⅰ）∵雙曲線C與雙曲線﹣＝1有相同的漸近線，∴設雙曲線的方程為（λ≠0），代入M（，﹣）．得λ＝，故雙曲線的方程為：．（Ⅱ）由方程得a＝1，b＝，c＝，故離心率e＝．其漸近線方程為y＝±x；實軸長為2，焦點坐標F（，0），解得到漸近線的距離為：＝．21已知雙曲線：的離心率為，點是雙曲線的一個頂點．（1）求雙曲線的方程；（2）經過雙曲線右焦點作傾斜角為30°的直線，直