高中數(shù)學(xué)雙曲線(xiàn)習(xí)題及答案解析

雙曲線(xiàn)習(xí)題練習(xí)及答案解析1、已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】B因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則.①又因?yàn)闄E圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9.②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線(xiàn)C的方程為.故選：B.2已知雙曲線(xiàn)（a、b均為正數(shù)）的兩條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)圍成的三角形的面積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】D解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故選：D3已知雙曲線(xiàn)的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)在上，則的方程為A. B.C. D.【答案】B由于C選項(xiàng)的中雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，不符合題意，排除C選項(xiàng).將點(diǎn)代入A,B,D三個(gè)選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)符合，故本題選B.4已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C的一條漸近線(xiàn)上，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C雙曲線(xiàn)C：中，，，漸近線(xiàn)方程：，因，則點(diǎn)P在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)：上，則P點(diǎn)縱坐標(biāo)y0有，所以面積.故選：C5已知雙曲線(xiàn)：，則的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C雙曲線(xiàn)的離心率為，因?yàn)?，所以，即的離心率的取值范圍為.故選：C.6若雙曲線(xiàn)的焦距為6，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C.3 D.因?yàn)闉殡p曲線(xiàn)，所以，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.由焦距為6可得：，解得：k=1.所以雙曲線(xiàn)為.所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：A7已知，分別是雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)，若是雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)，且．則的面積為（）A.8 B.16 C.24 D.【答案】C因?yàn)槭请p曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)，所以，．在中，，即，所以，，故的面積為．故選：C．8已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，，分別是雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，若，則A.1 B.9 C.1或9 D.3或93.B由題意知，所以，所以，所以，所以點(diǎn)Р在雙曲線(xiàn)C的左支上，所以，所以.故選B9如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線(xiàn)左支交于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B.2C. D.【答案】D連接，依題意知：，，所以.10已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于、兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且．則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，則；

設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可知：，

由題意可得：，

據(jù)此可得：，又，∴，

由正弦定理有:,即所以，解得：，所以的周長(zhǎng)為：=故選：A11已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C的一條漸近線(xiàn)上，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C雙曲線(xiàn)C：中，，，漸近線(xiàn)方程：，因，則點(diǎn)P在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)：上，則P點(diǎn)縱坐標(biāo)y0有，所以面積.故選：C12雙曲線(xiàn)與的離心率分別為，則必有（）A.B.C.D.【答案】D13多選以已知雙曲線(xiàn)的虛軸為實(shí)軸、實(shí)軸為虛軸的雙曲線(xiàn)叫做原雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)，則以下說(shuō)法，正確的有（）A.雙曲線(xiàn)與它的共軛雙曲線(xiàn)有相同的準(zhǔn)線(xiàn)B.雙曲線(xiàn)與它的共軛雙曲線(xiàn)的焦距相等C.雙曲線(xiàn)與它的共軛雙曲線(xiàn)的離心率相等D.雙曲線(xiàn)與它的共軛雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn)【答案】BD由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性不妨令雙曲線(xiàn)C的方程為：，則其共軛雙曲線(xiàn)的方程為，對(duì)于A，雙曲線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)垂直于x軸，雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂直于y軸，A不正確；對(duì)于B，雙曲線(xiàn)C和雙曲線(xiàn)的半焦距均為：，所以焦距相同，B正確；對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，雙曲線(xiàn)C的離心率為，而雙曲線(xiàn)的離心率為，而a，b不一定等，C不正確；對(duì)于D，雙曲線(xiàn)C和雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)均為，D正確.故選：BD13多選已知雙曲線(xiàn)：的離心率為，，分別為的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則（）A． B． C． D．【答案】BCD由題意有，可得，可知選項(xiàng)A不正確，而，因?yàn)?，所以點(diǎn)在的右支上，由雙曲線(xiàn)的定義有：，解得，故選項(xiàng)B正確，在中，有，解得，，所以，故選項(xiàng)C，D正確.故選：BCD.多選若方程所表示的曲線(xiàn)為C，則下面四個(gè)命題中正確的是A．若1＜t＜5，則C為橢圖B．若t＜1．則C為雙曲線(xiàn)C．若C為雙曲線(xiàn)，則焦距為4D．若C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則3＜t＜5【答案】BD14多選已知雙曲線(xiàn)C1：的實(shí)軸長(zhǎng)是2，右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)C2：y2＝8x的焦點(diǎn)F重合，雙曲線(xiàn)C1與拋物線(xiàn)C2交于A、B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(▲)A．雙曲線(xiàn)C1的離心率為2eq\r(3)B．拋物線(xiàn)C2的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x＝－2C．雙曲線(xiàn)C1的漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\r(3)xD.|AF|＋|BF|＝【答案】BC【解析】由題意可知對(duì)于C1：，實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2，即a=1，而C2：y2＝8x的焦點(diǎn)F為（2，0），所以c=2，則雙曲線(xiàn)C1的方程為，則對(duì)于選項(xiàng)A，雙曲線(xiàn)C1的離心率為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，拋物線(xiàn)C2的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x＝－2，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，雙曲線(xiàn)C1的漸近線(xiàn)方程為y＝±x＝±x，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由y2＝8x與聯(lián)立可得A（3，），B（3，），所以由拋物線(xiàn)的定義可得|AF|＋|BF|＝，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，綜上答案選BC.14多選分別是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若為正三角形，則（）A. B.雙曲線(xiàn)的離心率C.雙曲線(xiàn)的焦距為 D.的面積為【答案】ABD在正三角形中，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，，，由雙曲線(xiàn)定義有：，因此，，，，即半焦距，則，A正確；雙曲線(xiàn)的離心率，B正確；雙曲線(xiàn)的焦距，C不正確；的面積為，D正確.故選：ABD15多選已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于A、兩點(diǎn)，若，則()A.B.雙曲線(xiàn)的離心率C.直線(xiàn)的斜率為D.原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上【答案】ABC如圖：設(shè)，則，由雙曲線(xiàn)的定義知，，即；，即，∴，即有，故選項(xiàng)A正確；由余弦定理知，在中，，在△中，，化簡(jiǎn)整理得，，∴離心率，故選項(xiàng)B正確；在△中，，，∴，∴根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，直線(xiàn)的斜率為，故選項(xiàng)C正確；若原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則，與不符，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．16多選已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，一條漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線(xiàn)的離心率為B.雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn)C.若到漸近線(xiàn)的距離為2，則雙曲線(xiàn)的方程為D.若直線(xiàn)與漸近線(xiàn)圍成的三角形面積為則焦距為【答案】BCD漸近線(xiàn)的方程為，因?yàn)橐粭l漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，故即，故離心率為，故A錯(cuò)誤.又漸近線(xiàn)的方程為，而雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為，故B正確.若到漸近線(xiàn)的距離為2，則，故，所以雙曲線(xiàn)的方程為，故C正確.直線(xiàn)與漸近線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：及，故即，而，故，，所以，所以，故焦距為，故D正確.故選：BCD.16多選已知點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，，分別是左、右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（）A.點(diǎn)P到x軸的距離為 B.C.為鈍角三角形 D.【答案】BC由雙曲線(xiàn)方程得，，則，由△的面積為20，得，得，即點(diǎn)到軸的距離為4，故錯(cuò)誤，將代入雙曲線(xiàn)方程得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，，則，由雙曲線(xiàn)的定義知，則，則，故正確，在△中，，則，為鈍角，則△為鈍角三角形，故正確，，則錯(cuò)誤，故正確的是，故選16雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_________，設(shè)雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，1)，且與雙曲線(xiàn)具有相同漸近線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】(1)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，且，漸近線(xiàn)方程為，故漸近線(xiàn)方程為；(2)由雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)具有相同漸近線(xiàn)，可設(shè)，代入有，故，化簡(jiǎn)得.17已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且，若，則______.【答案】3拋物線(xiàn)：()的焦點(diǎn)，∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)方程求得P的縱坐標(biāo)為，不妨設(shè)，因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，，，因?yàn)?，所以，，所?故答案為：3.若雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.3 D.-3【答案】D雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，所以雙曲線(xiàn)方程化：，再轉(zhuǎn)化為：，所以，，所以，所以，所以平方得故選：D.17設(shè)雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支上，若的周長(zhǎng)的最小值是，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【解析】如下圖，設(shè)為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，連接，，則，，故的周長(zhǎng)，因?yàn)?，所以的周長(zhǎng)，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)的最小值是，，，所以，，雙曲線(xiàn)的方程為，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，或（舍去），故的坐標(biāo)為．故答案為：，．18已知雙曲線(xiàn)與有相同的漸近線(xiàn)，若的離心率為2，則的離心率為_(kāi)_________.【答案】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，的漸近線(xiàn)方程為，由題意可得，由的離心率為2得：，則，所以設(shè)的離心率為，則，故，故答案為：19知雙曲線(xiàn)，焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)，若過(guò)左頂點(diǎn)的直線(xiàn)和圓相切，與雙曲線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)，且軸，則直線(xiàn)的斜率是_____，雙曲線(xiàn)的離心率是_________.【答案】

如圖，設(shè)圓的圓心為，則圓心坐標(biāo)，半徑為，則，設(shè)過(guò)左頂點(diǎn)的直線(xiàn)和圓相切于點(diǎn)，連接，則，所以，得，所以直線(xiàn)的斜率是；軸，由雙曲線(xiàn)的通徑可得，，又，所以，化簡(jiǎn)得，求解得.故答案為：；已知雙曲線(xiàn)C：﹣y2＝1．（Ⅰ）求以C的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、以C的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求與C有公共的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（2，﹣）的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并且求出這條雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)、焦距、離心率以及漸近線(xiàn)方程．解：（Ⅰ）雙曲線(xiàn)C：﹣y2＝1的焦點(diǎn)為（±，0），頂點(diǎn)為（±2，0），設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1（a＞b＞0），可得c＝2，a＝，b＝＝1，則橢圓的方程為+y2＝1；（Ⅱ）設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為﹣＝1（m．n＞0），由題意可得m2+n2＝5，﹣＝1，解得m＝，n＝，即所求雙曲線(xiàn)的方程為﹣＝1，則這條雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2、焦距為2、離心率為以及漸近線(xiàn)方程為y＝±x．20已知雙曲線(xiàn)C：﹣＝1（a＞0，b＞0）與雙曲線(xiàn)﹣＝1有相同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，﹣）．（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；（Ⅱ）求雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離．：（Ⅰ）∵雙曲線(xiàn)C與雙曲線(xiàn)﹣＝1有相同的漸近線(xiàn)，∴設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為（λ≠0），代入M（，﹣）．得λ＝，故雙曲線(xiàn)的方程為：．（Ⅱ）由方程得a＝1，b＝，c＝，故離心率e＝．其漸近線(xiàn)方程為y＝±x；實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦點(diǎn)坐標(biāo)F（，0），解得到漸近線(xiàn)的距離為：＝．21已知雙曲線(xiàn)：的離心率為，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線(xiàn)，直