2023年中考數(shù)學復習 專題02 整式及因式分解（10個高頻考點）（強化訓練）（全國通用）（教師版）

專題02整式及因式分解（10個高頻考點）（強化訓練）【考點1整式的相關(guān)概念】1.（2022·湖北荊州·中考真題）下列代數(shù)式中，整式為（）A．x+1 B．1x+1 C．x2+1【答案】A【詳解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定義分析得出答案．【詳解】A、x+1是整式，故此選項正確；B、1xC、x2D、x+1故選A．【點睛】本題考查了整式、分式、二次根式的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（2022·福建廈門·中考真題）已知一個單項式的系數(shù)是2，次數(shù)是3，則這個單項式可以是（

）A．?2xy2 B．3x2 C．【答案】D【詳解】試題分析：此題規(guī)定了單項式的系數(shù)和次數(shù)，但沒規(guī)定單項式中含幾個字母．A．?2xyB．3xC．2xyD．2x故選D．考點：單項式．3．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖，多邊形的各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上，這樣的多邊形稱為格點多邊形，它的面積S可用公式S=a+12b?1（是多邊形內(nèi)的格點數(shù)，（1）這個格點多邊形邊界上的格點數(shù)b=___（用含的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)該格點多邊形外的格點數(shù)為c，則c?a=___．【答案】

82－2a

118【詳解】試題分析：將S=40代入“皮克定理”可得：40=a+12b－1，1根據(jù)題意可得：c=200－a－b=200－a－（82－2a）=118+a，則c－a=118+a－a=118．考點：代數(shù)式的應用．4．（2022·四川綿陽·中考真題）若多項式xy|m?n|+(n?2)【答案】0或8【分析】直接利用多項式的次數(shù)確定方法得出答案．【詳解】解：∵多項式xy|m?n|+(n?2)x2∴n?2=0，1+|m?n|=3，∴n=2，|m?n|=2，∴m?n=2或n?m=2，∴m=4或m=0，∴mn=0或8．故答案為：0或8．【點睛】本題主要考查了多項式，正確掌握多項式的次數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵．5．（2022·河北·中考真題）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動加上a2，同時B區(qū)就會自動減去3a，且均顯示化簡后的結(jié)果．已知A，B如，第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：（1）從初始狀態(tài)按2次后，分別求A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果；（2）從初始狀態(tài)按4次后，計算A，B兩區(qū)代數(shù)式的和，請判斷這個和能為負數(shù)嗎？說明理由．【答案】（1）25+2a2；?16?6a；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動加上a2，B區(qū)就會自動減去3a（2）依據(jù)題意，分別求出初始狀態(tài)下按4次后A，B兩區(qū)顯示的代數(shù)式，再求A，B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的和，判斷能否為負數(shù)即可．【詳解】解：（1）A區(qū)顯示結(jié)果為：25+a2B區(qū)顯示結(jié)果為：﹣16－3a（2）初始狀態(tài)按4次后A顯示為：25+aB顯示為：﹣16－3∴A+B=25=4a=(2∵(2a∴和不能為負數(shù)．【點睛】本題考查了代數(shù)式運算，合并同類項，完全平方公式問題，解題關(guān)鍵在于理解題意，列出代數(shù)式進行正確運算，并根據(jù)完全平方公式判斷正負．【考點2整式的加減運算】6.（2022·全國·七年級課時練習）在數(shù)的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學習自然數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)——“好數(shù)”．定義：對于三位自然數(shù)n，各位數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個位數(shù)字整除，則稱這個自然數(shù)n為“好數(shù)”．例如：426是“好數(shù)”，因為4，2，6都不為0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好數(shù)”，因為6+4=10，10不能被3整除．（1）判斷312，675是否是“好數(shù)”？并說明理由；（2）求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個數(shù)，并說明理由．【答案】（1）312是“好數(shù)”，675不是“好數(shù)”，理由見解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由見解析．【分析】（1）根據(jù)“好數(shù)”的定義進行判斷即可；（2）設(shè)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，則百位數(shù)字為（x+5）．根據(jù)題意判斷出x、y取值，根據(jù)“好數(shù)”定義逐一判斷即可．【詳解】（1）∵3，1，2都不為0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好數(shù)”．∵6，7，5都不為0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好數(shù)”；（2）設(shè)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，則百位數(shù)字為（x+5）．其中x，y都是正整數(shù)，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位數(shù)字與個位數(shù)字的和為：2x+5．當x=1時，2x+5=7，此時y=1或7，“好數(shù)”有：611，617當x=2時，2x+5=9，此時y=1或3或9，“好數(shù)”有：721，723，729當x=3時，2x+5=11，此時y=1，“好數(shù)”有：831當x=4時，2x+5=13，此時y=1，“好數(shù)”有：941所以百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個數(shù)是7．【點睛】本題為“新定義”問題，理解好“新定義”，并根據(jù)已有數(shù)學知識和隱含條件進行分析，轉(zhuǎn)化為所學數(shù)學問題是解題關(guān)鍵．7．（2022·河北·中考真題）嘉淇準備完成題目：化簡：(□x2+6x+8)?(6x+5(1)他把“□”猜成3，請你化簡：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；(2)他媽媽說：“你猜錯了，我看到該題標準答案的結(jié)果是常數(shù)．”通過計算說明原題中“□”是幾？【答案】(1)–2x2+6；(2)5．【分析】(1)原式去括號、合并同類項即可得；(2)設(shè)“□”是a，將a看做常數(shù)，去括號、合并同類項后根據(jù)結(jié)果為常數(shù)知二次項系數(shù)為0，據(jù)此得出a的值．【詳解】(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=3x2+6x+8-6x-5x2-2=-2x2+6；(2)設(shè)“□”是a，則原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)=ax2+6x+8-6x-5x2-2=(a-5)x2+6，∵標準答案的結(jié)果是常數(shù)，∴a-5=0，解得：a=5．【點睛】本題主要考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握去括號、合并同類項法則．8．（2022·河北·中考真題）老師在黑板上寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個二次三項式，形式如下：－3x＝x2－5x＋1．（1）求所捂的二次三項式：（2）若x=6【答案】（1）x2－2x＋1；（2）6【分析】（1）將手掌捂住部分看作被減式，3x看作減式，x2－5x＋1為差式．則被減式=減式+差式，從而得到答案；（2）直接代入計算，但這樣較麻煩，不如將（1）中所得結(jié)果分解因式，再代入求值．【詳解】解：（1）設(shè)所捂的二次三項式為A，則A＝x2－5x＋1＋3x＝x2－2x＋1．（2）若x=6+1，A＝（x－1）2【點睛】本題考查了整式的加減、完全平方式和二次根式的化簡計算，能正確列出算式是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇揚州·中考真題）如果10b=n，那么b為n的勞格數(shù)，記為b=d(n)，由定義可知：10b=n與b=d(n)所表示的b、n兩個量之間的同一關(guān)系．(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d(10)=，d(10-2)=；(2)勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d(mn)=d(m)+d(n)，d(mn)=d(m)-d(n根據(jù)運算性質(zhì)，填空：da3da=(a為正數(shù))，若d(2)=0.3010，則d(4)=，d(5)=，(3)如表中與數(shù)x對應的勞格數(shù)d(x)有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，說明理由并改正．x1.5356891227d(x)3a?b+c2a?ba+c1+a?b?c3?3a?3c4a?2b3?b?2c6a?3b【答案】(1)1，﹣2(2)3；0.6020；0.6990；﹣1.097(3)詳見解析【分析】（1）根據(jù)題中的新定義計算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題中的新運算性質(zhì)計算即可得到結(jié)果；（3）利用反證法，通過9=32，27=33，可以判斷d(3)正確，同理據(jù)5=10÷2，假設(shè)d(5)正確，可以求得d(2)的值，即可通過d(8)，d(6)正確．再運用正確的求出d(1.5)和d(12)的值．(1)根據(jù)定義可知，10b=n與b=d(n)所表示的b、n兩個量之間的同一關(guān)系，d(10)和d(10﹣2)就是指10的指數(shù)，所以d(10)=1，d(10﹣2)=－2．故答案為：1，﹣2；(2)∵d(a3)=d(a×a×a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a)，∴d∵d(2)=0.3010，∴d(4)=2d(2)=0.6020，d5d(0.08)=d(10-2×23)=-2＋3d(2)=-2+3×0.3010=﹣1.097，故答案為：3，0.6020，0.6990，﹣1.097；(3)應用反證法：若d3=2a?b，則d9∴若d3∴d3=2a?b，d9若d5=a+c，則∴d8=3d2∴若d5∴d5=a+c，d8∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是錯誤的，應糾正為：d1.5=d3【點睛】本題考查整式的運算，理解“勞格數(shù)”的意義，掌握“勞格數(shù)”的性質(zhì)是得出正確答案的前提．10．（2022·河北邢臺·模擬預測）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化簡2A﹣B的結(jié)果與x無關(guān)．（1）求m、n的值；（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．【答案】（1）n＝2，m＝﹣1；（2）-36【分析】（1）直接利用整式的混合運算法則計算得出答案,注意整體思想及添括號與去括號法則；（2）先去小括號，再去中括號，再利用整式的加減運算法則化簡進而得出答案．【詳解】解：（1）∵A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化簡2A﹣B的結(jié)果與x無關(guān)，∴2A﹣B＝2（x2﹣mx+2）﹣（nx2+2x﹣1）＝2x2﹣2mx+4﹣nx2﹣2x+1＝（2﹣n）x2﹣（2m+2）x+5，∴2﹣n＝0，2m+2＝0，解得：n＝2，m＝﹣1；（2）﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]＝﹣3m2n+6mn2﹣m2n﹣2mn2+4m2n+5mn2＝9mn2，當n＝2，m＝﹣1時，原式＝9×（﹣1）×22＝﹣36．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【考點3冪的運算】11．（2022·四川攀枝花·中考真題）下列計算正確的是（）A．(a2b)2=a2b2【答案】D【詳解】A．積的乘方等于乘方的積，故A錯誤，不符合題意；B．同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故B錯誤，不符合題意；C．積的乘方等于乘方的積，故C錯誤，不符合題意；D．同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故D正確，符合題意；故選D．12．（2022·山東淄博·中考真題）計算(?2a3b)A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a(chǎn)6b2 D．7a6b2【答案】C【分析】先根據(jù)積的乘方法則計算，再合并同類項．【詳解】解：原式=4a故選：C．【點睛】本題主要考查了積的乘方，合并同類項，解題的關(guān)鍵是掌握相應的運算法則．13．（2022·廣東江門·一模）已知xm=3，xn=2，那么A．17 B．54 C．72 D．81【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方進行計算即可求解．【詳解】解：∵xm=3，∴x2m+3n=故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方，掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方是解題的關(guān)鍵．14．（2022·廣東·佛山市南海外國語學校三模）已知4a=3b，A．13 B．12 C．2 【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方的逆用可求出3a?4a=27【詳解】∵12∴(3×4)∴3∵4a∵3∴3∴a+b=3，故選D．【點睛】本題考查積的乘方的逆用和同底數(shù)冪的乘法的逆用．掌握積的乘方和同底數(shù)冪的乘法的逆用法則是解題關(guān)鍵．15．（2022·廣東廣州·二模）已知3m=4，32m?4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．【答案】C【分析】逆用同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方法則．由32m?4n【詳解】∵32m?4n依題意得：4x2=2∴4x∴x=故選：C．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，以及冪的乘方運算，關(guān)鍵是會逆用同底數(shù)冪的乘除法進行變形．【考點4整式乘法公式的運用】16．（2022·湖南益陽·中考真題）已知m，n同時滿足2m+n＝3與2m﹣n＝1，則4m2﹣n2的值是_____．【答案】3【分析】觀察已知和所求可知，4m【詳解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，∴4m故答案為：3．【點睛】本題主要考查代數(shù)式求值，平方差公式的應用，熟知平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．17．（2022·四川·梓潼縣教育研究室二模）已知x，y為實數(shù)，且滿足x2?xy+4y2=4，記u=x2+xy+4y【答案】136【分析】聯(lián)立已知條件，將u轉(zhuǎn)化為2xy+4，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定xy的范圍，從而求出u的范圍，得到M，m的大小即可得解．【詳解】解：∵x2∴②－①，得2xy=u-4，即u=2xy+4，把①兩邊加5xy，得（x+2y）2=4+5xy?0，解得：xy??45把①兩邊減3xy，得（x-2y）2=4-3xy?0，解得：xy≤4∴?8解得125∴M=20∴M+m=20故答案為：13615【點睛】本題考查了加減消元法，完全平方公式的應用，解一元一次不等式組，正確的計算是解題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江·寧波市鄞州藍青學校一模）已知a、b、c均為實數(shù)，且a+b=4，2c2?ab=4【答案】43【分析】先變形得到a+b=4，ab=2c2-43c+10，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-43c+10=0的兩實數(shù)解，配方后可得（x-2）2+2（c-3）2=0，得到x=2，c=3，然后計算abc的值即可；【詳解】∵a+b=4，ab=2c2-43c+10∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-43c+10=0的兩實數(shù)解∴（x-2）2+2（c-3）2=0∴x-2=0或c-3=0解得x=2，c=3∴ab=2×3-43×3+10=4∴abc=4×3=43故答案為：43．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．學會觀察算式形式，正確寫出一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．19．（2022·四川成都·二模）計算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．【答案】264【分析】在原式前面乘以（2﹣1）構(gòu)造能用平方差公式的結(jié)構(gòu)，連續(xù)使用平方差公式即可．【詳解】原式＝2?12+1＝22＝24＝264﹣1+1，＝264；故本題答案為264．【點睛】此題主要考查平方差公式的應用，解題的關(guān)鍵是將原式變形為平方差的形式．20．（2022·浙江麗水·一模）已知，實數(shù)m，n滿足m+n=3，m2（1）若m>n，則m?n=_______；（2）若n+p=?5，則代數(shù)式m2【答案】

7

42或252##252或42【分析】（1）將已知式子因式分解代入得出mn=?10，然后利用兩個完全平方公式之間的關(guān)系求解即可；（2）利用（1）中結(jié)論得出m=5n=?2或m=?2【詳解】解：（1）∵m+n=3，∴m2∴mn=?10，∴(m?n)2∴m?n=±7，∵m>n，∴m?n>0，∴m?n=7；（2）m===(m+n)(m?n)(p+m)，由（1）得m+n=3m?n=7或解得：m=5n=?2或當m=5，n=?2時，∵n+p=?5，∴p=?3，∴m+p=2，∴原式=(5?2)×(5+2)×2=42；當m=?2，n=5時，∵n+p=?5，∴p=?10，∴m+p=?12，∴原式=(?2+5)×(?2?5)×(?12)=252；∴代數(shù)式的值為42或252；故答案為：①7；②42或252．【點睛】題目主要考查因式分解的運用，求代數(shù)式的值及完全平方公式與平方差公式，熟練掌握運算法則進行變換是解題關(guān)鍵．【考點5整式的混合運算】21．（2023·河北·九年級專題練習）已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示（m為正整數(shù)），甲、乙的面積分別為S1，S2．（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）（2）若滿足條件|S1﹣S2|＜n≤2021的整數(shù)n有且只有4個，則m的值為___．【答案】

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1009【分析】（1）先分別計算出面積，作差與0比較大小即可；（2）先計算出|S1﹣S2|，根據(jù)整數(shù)n有且只有4個，列出不等式，根據(jù)m為正整數(shù)求得m的值．【詳解】解：（1）∵S甲＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，S乙＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，∴S甲﹣S乙＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，∵m為正整數(shù)，∴2m﹣1＞0，∴S1﹣S2＞0，∴S1＞S2，故答案為：＞；（2）由（1）得|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1，∵2m﹣1＜n≤2021的整數(shù)n有且只有4個，∴這四個整數(shù)解為2021，2020，2019，2018，∴2017≤2m﹣1＜2018，解得：1009≤m＜1009.5，∵m為正整數(shù)，∴m＝1009，故答案為：1009．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式法則以及一元一次不等式的應用，能夠作差比較大小是解題的關(guān)鍵．22．（2022·廣東·佛山市南海外國語學校三模）先化簡，再求值：(x?y)(2x?y)?(x?y)2?x2【答案】?xy，?2022【分析】根據(jù)多項式乘以多項式運算法則、完全平方公式將原式進行化簡，然后將x=2023?1，【詳解】解：原式＝2＝2＝?xy，當x=2023?1，原式＝?(＝?＝?(2023?1)＝?2022．【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握整式加減乘除混合運算法則以及完全平方公式、平方差公式是解本題的關(guān)鍵．23．（2022·廣西·梧州市第一中學三模）先化簡，再求值：（3a+1）（2a-3）-（6a-5）?（a-4），其中a=-2．【答案】22a-23，-67【分析】先根據(jù)整式混合運算法則進行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：（3a+1）（2a－3）－（6a－5）?（a－4）=6a2－9a+2a－3－（6a2－24a－5a+20）=6a2－9a+2a－3-6a2+24a+5a－20=22a－23當a=－2時，原式=22×（－2）－23=－67．【點睛】本題主要考查了分式的混合運算及其求值，熟練掌握多項式乘多項式法則，是解題的關(guān)鍵．24．（2022·河北·唐山市路北區(qū)教育局中教研二模）在化簡3m（1）若◆表示－，請化簡3（2）當m=?2，n=1時，3m【答案】（1）?m【分析】（1）先去括號，再合并同類項即可；（2）先把m=?2，n=1，再根據(jù)計算結(jié)果推斷即可．【詳解】解：（1）3=3=?（2）由題意得，3即6?24◆?24◆所以◆表示÷．【點晴】本題考查了整式的混合運算，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．25．（2022·廣西河池·模擬預測）先化簡，再求值：?x?2yx?2y+2x3【答案】4y2【分析】先根據(jù)整式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x與y的值代入計算可得．【詳解】解：原式=(?2y)=4y=4y當x=?2，y=1時，原式=4×1=4+4=8．【點睛】本題主要考查整式的混合運算、化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運算順序和運算法則．【考點6完全平方公式、平方差公式的幾何背景】26．（2022·甘肅·蘭州樹人中學七年級期中）如圖，矩形ABCD的周長是10cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2，那么矩形ABCD的面積是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2【答案】B【分析】設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，根據(jù)題意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy的值．【詳解】解：設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，∵正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周長是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面積為：xy＝4cm2，故選：B．【點睛】本題考查了正方形面積、矩形面積和完全平方公式，恰當?shù)脑O(shè)未知數(shù)，建立方程，設(shè)而不求，只求xy的值是解題關(guān)鍵．27．（2022·福建省廈門第六中學二模）如圖，4塊完全相同的長方形圍成一個正方形，圖中陰影部分的面積可以用不同的代數(shù)式進行表示，由此能驗證的式子是（）A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分的面積可以用大正方形的面積減小正方形的面積，也可以用4個長方形的面積之和，從而得出要驗證的公式．【詳解】解：陰影部分的面積可表示為：a+b2陰影部分的面積也可以表示為：4ab，∴由此能驗證的式子為a+b2故選：D．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，陰影部分可以割成四個長方形的面積和，補成大正方形的面積減去中間小正方形的面積，解此類題目關(guān)鍵在于仔細分析圖形，用不同的方法表示出陰影部分的面積．28．（2022·新疆·伊寧市教育教學研究室一模）如圖1，將邊長為x的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示長方形．這兩個圖能解釋下列哪個等式（）A．x2?2x+1=(x?1)2B．x2【答案】B【分析】利用大正方形的面積減去小正方形的面積得到空白部分的面積，然后根據(jù)面積相等列出等式即可．【詳解】解：由圖可知，圖1的面積為：x2-12，圖2的面積為：（x+1）（x-1），所以x2-1=（x+1）（x-1）．故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示空白部分的面積是解決問題的關(guān)鍵．29．（2022·遼寧大連·一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9個小正方形拼成；第3個圖形由25個小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個圖形比第（n-1）個圖形多用了72個小正方形，則n的值是___________.【答案】10【分析】依次觀察前幾個圖形以及正方形的個數(shù)，進而歸納得到拼成第n個圖形需要(2n?1)2【詳解】第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9=(2×2?1)第3個圖形由25=(2×3?1)……拼成第n?1個圖形需要(2n?3)2拼成第n個圖形需要(2n?1)2(2n?1)2?解得：n=10；故答案為：10．【點睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律探索，根據(jù)圖形得出小正方形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．30．（2022·重慶·一模）閱讀理解：若x滿足9?xx?4=4，求解：設(shè)9?x=a，x?4=b，則9?xx?4=ab=4，∴(9?x)遷移應用：(1)若x滿足(2020?x)2+(x?2022)(2)如圖，點E，G分別是正方形ABCD的邊AD、AB上的點，滿足DE=k，BG=k+1(k為常數(shù)，且k>0)，長方形AEFG的面積是2116，分別以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK【答案】(1)-3(2)5【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)2020?x=a，x?2022=b，可得a2+b2=10（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AE=x?k，AG=x?k?1，可得AE?AG=1，AE?AG=2116；利用題干中的方法可求得AE+AG，利用陰影部分的面積等于正方形GFIH與正方形（1）解：設(shè)a=2020?x，b=x?2022，則：a+b=?2，a2∵(a+b)∴10+2ab=(?2)∴ab=?3．∴2020?x（2）解：設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AE=x?k，AG=x?k?1，∴AE?AG=1．∵長方形AEFG的面積是2116∴AE?AG=21∵(AE?AG)∴AE∵(AE+AG)∴(AE+AG)∴AE+AG=5∴S=AE=AE+AG=5=5【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，完全平方公式的幾何背景，本題是閱讀型題目，利用換元的方法解答是解題的關(guān)鍵．【考點7因式分解】31．（2022·湖北黃岡·三模）已知a+b＝12，ab＝﹣38，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab【答案】ab（a+b）2，?【分析】先提公因式，再根據(jù)完全平方公式分解，最后將式子的值代入計算．【詳解】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝12，ab＝﹣3∴原式＝﹣38×（12）2＝【點睛】此題考查了多項式因式分解及求值，正確掌握多項式的因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．32．（2022·湖南張家界·二模）閱讀材料：我們知道，兩數(shù)之積大于0，那么這兩數(shù)同號，即ab>0，則a>0b>0或a<0b<0；兩數(shù)之積小于0，那么這兩數(shù)異號，即ab<0，則a>0b>0(1)分解因式：(x+1)2(2)解不等式：(x+1)2【答案】(1)(x+3)(x?1)(2)?3<x<1【分析】（1）運用平方差公式進行因式分解即可；（2）根據(jù)“同號得正，異號得負”列出不等式組求解即可．(1)x+1=（x+1）2-22=[(x+1)+2][(x+1)?2]=(x+1+2)(x+1?2)=(x+3)(x?1)故答案為：(x+3)(x?1)(2)(x+1)2(x(x+1+2)(x+1?2)＜(x+3)(x?1)則有①x+3＜解得：x＜②x+3＞解得：x＞?3x故不等式組的解集為：?3＜【點睛】本題主要考查因式分解-運用公式法，不等式組的解法，解答的關(guān)鍵是熟練運用公式法進行因式分解．33．（2022·廣東廣州·二模）已知M=k?b(1)化簡M；(2)若一次函數(shù)y=kx+b，當x=?3時，函數(shù)圖象與x軸相交；當y=3時，函數(shù)圖象與y軸相交．求M的值．【答案】(1)?2bk?b(2)12；【分析】（1）提取公因式再合并同類項即可；（2）由一次函數(shù)與坐標軸的交點，待定系數(shù)法求得k、b，再求M即可；（1）解：M==k?b=?2b（2）解：由題意得x=?3時y=0，y=3時x=0，代入y=kx+b可得0=?3k+b3=b，解得：k=1k，b代入M可得：M=-2×3×（-2）=12；【點睛】本題考查了因式分解，一次函數(shù)與坐標軸的交點，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．34．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級示范中學校二模）(1)?1(2)下面是小明同學進行因式分解的過程，請認真閱讀并完成相應任務．因式分解：3a+b解：原式=9a=8a2=8a2任務一：填空：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是___________公式；②第三步進行因式分解用到的方法是___________法．任務二：同桌互查時，小明的同桌指出小明因式分解的結(jié)果是錯誤的，具體錯誤是______________________．任務三：小組交流的過程中，大家發(fā)現(xiàn)這個題可以先用公式法進行因式分解，再繼續(xù)完成，請你寫出正確的解答過程．【答案】(1)0(2)

完全平方；提公因式

因式分解不徹底（或a2?【分析】（1）先根據(jù)絕對值的意義，零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，特殊角的三角函數(shù)值進行化簡，然后再進行運算即可；（2）按照給出的解答過程，進行分析解答即可．（1）解：原式=1?1+2?2×1=0．（2）任務一：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是完全平方公式；②第三步進行因式分解用到的方法是提公因式法；任務二：小明因式分解的結(jié)果不徹底，a2任務三：原式=[(3a+b)+(a+3b)][(3a+b)?(a+3b)]=(4a+4b)(2a?2b)=8(a+b)(a?b)故答案為：任務一：①完全平方；②提公因式；任務二：因式分解不徹底（或a2?b2還可以進行因式分解）；任務三：8(a+b)(a?b)．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，因式分解，熟練掌握實數(shù)混合運算法則，平方差公式和完全平方公式，是解題的關(guān)鍵．35．（2022·河北保定·一模）n是正整數(shù)．(1)請用n表示兩個連續(xù)的奇數(shù)為______、______．(2)這兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)嗎？給出理由．【答案】(1)2n＋1；2n－1(2)是；理由見解析【分析】（1）直接用代數(shù)式表示連續(xù)兩個奇數(shù)即可；（2）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)是2n+1和2n-1（n為整數(shù)），得出（2n+1）2-（2n-1）2=4n×2=8n，即可得出結(jié)論．(1)兩個連續(xù)的奇數(shù)之間差2，故答案：2n＋1；2n－1；(2)∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n，n是正整數(shù)，8n是8的倍數(shù)．∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).【點睛】本題考查了平方差公式，有理數(shù)的混合運算等知識點，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【考點8利用添項、拆項進行因式分解】36．（2022·廣西百色·二模）我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法等，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．例如，分組分解法：x2?2xy+y2?4=x2?2xy+y2?4=x?y2【答案】7【分析】根據(jù)拆項法將多項式變形為完全平方式的性質(zhì)，利用平方的非負性求出a、b、c的值即可．【詳解】解：a2a2(a?2)2∴a?2=0,b?2=0,c?3=0，解得a=2,b=2,c=3，∴△ABC的周長為a+b+c=2+2+3=7，故答案為：7．【點睛】此題考查多項式分解因式的方法，掌握分解因式的方法及能依據(jù)多項式的特點選擇恰當?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．37．（2022·廣西柳州·二模）添項、拆項是因式分解中常用的方法，比如分解多項式a2①a2又比如多項式a3②a3仿照以上方法，分解多項式a5【答案】a?1【分析】直接根據(jù)添項、拆項的方法進行因式分解即可．【詳解】解：a===a?1故答案為：a?1【點睛】本題考查添項與拆項法對多項式進行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運用提公因式法，也考查了學生的觀察能力和整體思想．38．（2022·上海·七年級單元測試）閱讀理解：對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成(x+a)2的形式．但對于二次三項式x2+2ax?3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x2+2ax?3a2中先加上一項a2，使它與請利用“配方法”進行因式分解：(1)x2(2)a4【答案】(1)(x?3)(x?5)(2)(【分析】（1）（2）都要如題中舉例，先對整式進行配方，再利用平方差公式進行因式分解，注意（2）中配方時冪的指數(shù)要正確．（1）原式＝x2?8x+16?16+15a＝(x?4)2?1＝（2）a4+a2b【點睛】本題考查了利用完全平方公式進行配方、利用平方差公式進行因式分解，解題中注意整體法的運用．39．（2022·甘肅·甘州中學八年級期中）對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對于二次三項式x2+2ax?3a2x2＝x+a＝（x+3a）（x﹣a）．像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．(1)利用“配方法”分解因式：①a2﹣6a②a4(2)若a+b＝5，ab＝6，求：①a2②a4【答案】(1)①（a+1）（a﹣7）②((2)①13②97【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以對題目中的式子分解因式；（2）根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計算即可；（1）解：利用“配方法”分解因式：①a2﹣6a﹣7＝a2﹣6＝(a?3)2＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4）＝（a+1）（a﹣7）；②a＝a＝(＝(a（2）解：①a2將a+b＝5，ab＝6代入得：原式＝52②a將a2+b原式＝13＝97．【點睛】本題考查了配方法，因式分解和完全平方公式的變形求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．40．（2022·江蘇·九年級課時練習）因式定理：對于多項式f(x)，若f(a)=0，則(x?a)是f(x)的一個因式，并且可以通過添減單項式從f(x)中分離出來．已知f(x)=x(1)填空：當x=1時，f(1)=0，所以(x?1)是f(x)的一個因式．于是f(x)=x3?x2(2)已知關(guān)于x的方程f(x)=0的三個根是一個等腰三角形的三邊長，求實數(shù)k的值．【答案】(1)x(2)4【分析】（1）f（x）兩項結(jié)合后，提取公因式，再提取x?1變形，計算即可求出g（x）；（2）由題易得1是方程f(x)=0的一個根．若1為等腰三角形的腰長，則1也是方程g(x)=x2?4x+k=0的根，代入求得k的值，再求出x的值即為三角形的三邊長，經(jīng)驗證不滿足三角形的三邊關(guān)系；若1為等腰三角形的底邊長，則方程x2?4x+k=0（1）解：∵f（x）＝x3?x2?4x2＋4x＋kx?k＝x2（x?1）?4x（x?1）＋k（x?1）＝（x?1）（x2?4x＋k）＝（x?1）g（x），∴g（x）＝x2?4x＋k．（2）∵f(x)=(x?1)×g(x)=0，∴1是方程f(x)=0的一個根．若1為等腰三角形的腰長，則1也是方程g(x)=x2?4x+k=0的根．把1代入x2?4x+k=0，得k=3．∵方程x2?4x+3=0的兩根為1和3，∴三角形的三邊為1，1，3．∵1+1＜3，不成立；若1為等腰三角形的底邊長，則方程x2?4x+k=0有兩個相等實根．由△=【點睛】本題考查了平方差公式分解因式，方程兩個相同解的情況下，Δ＝0這一條件，綜合應用知識解題．【考點9因式分解的應用】41．（2022·浙江·舟山市定海區(qū)第七中學一模）如圖是一個長和寬分別為a、b的長方形，它的周長為14、面積為10，則a2b+ab2的值為_____．【答案】70【分析】直接利用矩形的性質(zhì)結(jié)合因式分解將原式變形得出答案．【詳解】解：∵長寬分別為a，b的長方形的周長為14，面積為10，∴a+b=7，ab=10，∴a2故答案為70．【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．42．（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學校模擬預測）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9時，則各個因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式x3﹣4xy2，取x＝20，y＝5時，寫出一個用上述方法產(chǎn)生的密碼__．【答案】201030（答案不唯一）【分析】對多項式先進行因式分解，再代入求出每個因式的值，最后對因式的值進行排列組合即可得出答案．【詳解】解：x3－4xy2＝x(x2－4y2)，＝x(x－2y)(x＋2y)，當x＝20，y＝5時，x=20，x－2y=10，x＋2y=30，故密碼為：201030．故答案為：201030（答案不唯一）．【點睛】此題考查了因式分解的應用，涉及了提公因式法及平方差公式分解因式，屬于閱讀型的新定義題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀材料得出取密碼的方法．43．（2022·河北唐山·二模）如果兩個多項式有公因式，則稱這兩個多項式為關(guān)聯(lián)多項式，若x2﹣25與（x＋b）2為關(guān)聯(lián)多項式，則b＝___；若（x＋1）（x＋2）與A為關(guān)聯(lián)多項式，且A為一次多項式，當A＋x2﹣6x＋2不含常數(shù)項時，則A為____．【答案】

±5

-2x-2或-x-2【分析】先將x2-25因式分解，再根據(jù)關(guān)聯(lián)多項式的定義分情況求出b；再分A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k兩種情況，根據(jù)不含常數(shù)項．【詳解】解：①∵x2-25=（x+5）（x-5），∴x2-25的公因式為x+5、x-5．∴若x2-25與（x+b）2為關(guān)聯(lián)多形式，則x+b=x+5或x+b=x-5．當x+b=x+5時，b=5．當x+b=x-5時，b=-5．綜上：b=±5．②∵（x+1）（x+2）與A為關(guān)聯(lián)多項式，且A為一次多項式，∴A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k，k為整數(shù)．當A=k（x+1）=kx+k（k為整數(shù)）時，若A+x2-6x+2不含常數(shù)項，則k+2=0，即k=-2．∴A=-2（x+1）=-2x-2．當A=k（x+2）=kx+2k（k為整數(shù)）時，若A+x2-6x+2不含常數(shù)項，則2k+2=0，即k=-1．∴A=-x-2．綜上，A=-2x-2或A=-x-2．故答案為：±5，-2x-2或-x-2．【點睛】本題主要考查多項式、公因式，熟練掌握多項式、公因式的意義是解決本題的關(guān)鍵．44．（2022·河北·育華中學三模）如圖的長方體中，已知高為x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．(1)用x表示圖中S3；(2)求長方體的表面積．【答案】(1)S3＝4x+x2(2)-2x2+16x+32【分析】（1）分別表示長方體的長和寬，可得S3；（2）根據(jù)表面積公式代入可得答案．（1）∵S2＝4x?x2＝x(4?x)，∴長方體的寬=4-x,∵S1＝16?x2＝(4?x)(4+x)∴長方體的長=4+x,∴S3＝x(4+x)＝4x+x2；（2）長方體的表面積=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2=-2x2+16x+32．【點睛】本題考查了長方體，整式的加減，以及因式分解的應用,掌握長方形的面積=長×寬是解題的關(guān)鍵．45．（2022·安徽·合肥市五十中學新校一模）已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a+43=b+32=c+84，且a【答案】△ABC是直角三角形，理由見解析【分析】根據(jù)a+43=b+32=c+84，可以設(shè)a+43=b+32=c+84=k，然后根據(jù)a+【詳解】解：令a+43=b+3∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8，又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3，∴a=5，b=3，c=4，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題考查因式分解的應用、勾股定理的逆定理，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，求出a、b、c的值．【考點10圖形或數(shù)字變化類的規(guī)律探究】46．（2022·重慶南開中學三模）有n個依次排列的整式：第1項是x+1，用第1項乘以x?1，所得之積記為a1，將第1項加上a1+1得到