2023年北京市海淀區(qū)清華附中中考數學模擬試卷（3月份）(含答案)

2023年北京市海淀區(qū)清華附中中考數學模擬試卷（3月份）

一、選擇題（共8小題，每題3分）

1.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

□□

A.圓柱B.球C.三棱柱D.長方體

2.故宮又稱紫禁城，位于北京中軸線的中心，占地面積高達720000平方米，在世界宮殿建

筑群中面積最大.請將720000用科學記數法表示應為（）

C.7.2X104D.72X103

3.下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

4.實數a,b,c,d在數軸上對應的點的位置如圖所示，下列結論正確的是（）

A.\a\<\b\B.ad>0C.a+c>0D.d-。>0

5.若正多邊形的一個外角的度數為45°,則這個正多邊形是（）

A.正五邊形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

6.如圖，直線4B〃C￡>,AB平分NE4D若Nl=100°,則N2的度數是（）

7.在一個不透明的袋中有2個紅球和1個白球，這些球除顏色外部相同.攪勻后，隨機從

中摸出一個球.記下顏色后放回袋子中，充分搖勻后，再從中隨機摸出一個球，兩次都

摸到紅球的概率是（）

8.如圖，長方體的體積是100，/,底面一邊長為2,〃.記底面另一邊長為xm,底面的周長

為加，長方體的高為/?〃?.當x在一定范圍內變化時，/和力都隨x的變化而變化，則/

與x,〃與x滿足的函數關系分別是（）

A.一次函數關系，二次函數關系

B.反比例函數關系，二次函數關系

C.反比例函數關系，一次函數關系

D.一次函數關系，反比例函數關系

二、填空題（共8小題，每題3分）

9.如圖所示的網格是正方形網格，是三角形.（填“銳角”“直角”或

10.因式分解—

11.某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了435元，其中籃球的單價比足球的

單價多3元，求籃球的單價和足球的單價.設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，

依題意，可列方程組為.

12.如圖，圓的兩條弦AB,CD相交于點E,且弧弧CB,ZA=40°,則/CEB的度

13.在平面直角坐標系X。），中，直線（A>0）與雙曲線?交于M（為，yi）,N（洶,

力）兩點，則XI?把的值為.

14.如圖，在。ABCO中，延長8至點E,使。E=Z）C,連接BE與4c于點F,則典的

FE

值是____________________.

15.在平面直角坐標系xOy中，已知點（〃-2,“），（〃-1,y2），（"+1，為）在拋物

^y-ax2--2ax-2（。<0）上,若0<"<1,則以,先,力的大小關系為.（用

“V”表示）

16.如圖，雙驕制衣廠在廠房。的周圍租了三幢樓A、8、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之

間均有筆直的公路相連，并且廠房O與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且BOAC

>AB.己知廠房。到每條公路的距離相等.

（1）則點。為△ABC三條的交點（填寫：角平分線或中線或高線）；

（2）如圖設BC=a,AC—b,AB—c,OA—x,OB—y,OC—z,現(xiàn)要用汽車每天接送職

工上下班后，返回廠房停放，那么最短路線長是

A

三、解答題（共9小題，17-22題6分，23-24題8分）

17.（6分）計算：（*）-'+（n-2022）0-3tan30°+|3-712|.

18.（6分）解分式方程：+1=-TT.

x-1x+1

19.（6分）已知關于x的一元二次方程7-（nz+2）x+m+\=Q.

（1）求證：該方程總有兩個實數根；

（2）若該方程兩個實數根的差為2,求機的值.

20.（6分）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成

且經過點C（2,w）.

（1）當機=2時，求一次函數的解析式及點A的坐標；

（2）當x>-l時，對于x的每一個值，函數y=x的值大于一次函數&W0）

的值，求上的取值范圍.

yjk

T16----

：5---

：4---

I

;3一—

歷一

?

H--

二

士

-1—

L，

一

-i

43，-

"r

*m

-

M

-

22.（6分）如圖，在AABC中，AB=AC,以A8為直徑作交BC于點、D,交AC于

點E,過點B作的切線交0。的延長線于點F.

（1）求證：NA=/B。尸；

（2）若AB=4,OF=1,求AE的長.

23.（8分）在平面直角坐標系xOy中，點（4,2）在拋物線丫=加+公+2（a>0）上.

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）拋物線上兩點P（%1，yi）,Q（X2，"），且4-t<X2<5-t.

①當t=|時，比較力，y2的大小關系，并說明理由：

②若對于芍，M，都有力#以，直接寫出f的取值范圍.

24.（8分）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,過點A作BC的垂線AD,垂足為。，

E為射線OC上一動點（不與點C重合），連接4E,以點4為中心，將線段AE逆時針

旋轉90°得到線段AF,連接BF,與直線A。交于點G.

（1）如圖1,當點E在線段CZ）上時，

①依題意補全圖形；

②求證：點G為8尸的中點.

(2)如圖2,當點E在線段0c的延長線上時，用等式表示AE,BE,AG之間的數量關

系，并證明.

25.在平面直角坐標系xOy中，對于線段AB,點尸和圖形G定義如下：線段48繞點P逆

時針旋轉90°得到線段AE(A和分別是A和8的對應點)，若線段AB和AE均在圖

形G的內部(包括邊界)，則稱圖形G為線段AB關于點P的旋垂閉圖.

(1)如圖，點C(1,0),D(3,0).

①已知圖形G|：半徑為3的。。；

G2：以。為中心且邊長為6的正方形；

G3：以線段0。為邊的等邊三角形.

在Gi，G2,G3中，線段8關于點。的旋垂閉圖是.

②若半徑為5的。。是線段C。關于點0)的旋垂閉圖，求r的取值范圍；

(2)已知長度為4的線段AB在x軸負半軸和原點組成的射線上，若存在點Q(2+“，2

-,使得對半徑為2的上任意一點P,都有線段AB滿足半徑為r的。O是該線

段關于點P的旋垂閉圖，直接寫出r的取值范圍.

yjk

2023年北京市海淀區(qū)清華附中中考數學模擬試卷（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每題3分）

1.□如圖是某□幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.圓柱B.球C.三棱柱D.長方體

【分析】根據一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是寬度相等的長方形，可判斷該幾何

體是柱體，進而根據俯視圖的形狀，可判斷柱體側面形狀，得到答案.

解：由幾何體的主視圖和左視圖都是寬度相等的長方形,

故該幾何體是一個柱體,

又?.?俯視圖是一個圓,

故該幾何體是一個圓柱.

故選：A.

【點評】本題考查的知識點是三視圖，如果有兩個視圖為三角形，該幾何體一定是錐,

如果有兩個矩形，該幾何體一定柱，其底面由第三個視圖的形狀決定.

2.故宮又稱紫禁城，位于北京中軸線的中心，占地面積高達720000平方米，在世界宮殿建

筑群中面積最大.請將720000用科學記數法表示應為（）

C.7.2X104D.72X103

【分析】把一個大于10的數記成“X10"的形式，其中4是整數數位只有一位的數，〃是

正整數，這種記數法叫做科學記數法，由此即可得到答案.

解：將720000用科學記數法表示應為7.2X105.

故選:B.

【點評】本題考查科學記數法，關鍵是掌握用科學記數法表示較大數的方法.

3.下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解.把一個

圖形繞某一點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就

叫做中心對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這

個圖形叫做軸對稱圖形.

解：A.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，掌握軸對稱圖形的關鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與

原圖重合是關鍵.

4.實數a,b,c,4在數軸上對應的點的位置如圖所示，下列結論正確的是（）

ab0cd

A.|a|<|6|B.ad>0C.?+c>0D.d-a>0

【分析】根據實數在數軸上的位置，得出各個數的大小關系，再根據絕對值的大小，判

斷相關代數式的符號.

解：由實數a,b,c,d在數軸上對應的點的位置可知，a<b<0<c<df

/.\a\>\b\,ad<0,〃+cV0,d-a>0,

因此選項。正確，

故選：D.

【點評】本題考查數軸表示數，有理數的四則運算法則，理解符號、絕對值是確定有理

數的必要條件.

5.若正多邊形的一個外角的度數為45°,則這個正多邊形是（）

A.正五邊形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

【分析】根據多邊形的外角和等于360。計算即可.

解：360+45=8（條）,

故答案為：C.

【點評】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°,正多邊形的

每個外角都相等是解題的關鍵.

6.如圖，直線AB〃CZ）,AB平分/EAD若/1=100°,則N2的度數是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根據鄰補角的定義、角平分線的定義及平行線的性質求解即可.

解:VZl=100°,

：.ZEAD=]S0°-Zl=80°,

平分/EAQ,

.?.NEAB=NBAO=1NEAO=40°,

2

'JAB//CD,

：.Z2=ZEAB=40°,

故選：B.

【點評】此題考查了平行線的性質，熟記平行線的性質定理是解題的關鍵.

7.在一個不透明的袋中有2個紅球和1個白球，這些球除顏色外部相同.攪勻后，隨機從

中摸出一個球.記下顏色后放回袋子中，充分搖勻后，再從中隨機摸出一個球，兩次都

摸到紅球的概率是（）

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到紅球

的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案.注意此題屬于放回實驗.

解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有9種等可能結果，其中兩次都摸到紅球的有4種結果,

，兩次都摸到紅球的概率為

y

故選：D.

【點評】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識.注意畫樹狀圖與列表法可以

不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩

步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.

8.如圖，長方體的體積是100m3,底面一邊長為2,〃.記底面另一邊長為xm,底面的周長

為加，長方體的高為/7〃八當x在一定范圍內變化時，/和力都隨x的變化而變化，則/

與x,力與x滿足的函數關系分別是（）

2

A.一次函數關系，二次函數關系

B.反比例函數關系，二次函數關系

C.反比例函數關系，一次函數關系

D.一次函數關系，反比例函數關系

【分析】根據底面的周長公式“底面周長=2（長+寬）“可表示出/與x的關系式，根

據長方體的體積公式“長方體體積=長X寬X高”可表示出〃與x,根據各自的表達式形

式判斷函數類型即可.

解：由底面的周長公式：底面周長=2（長+寬），

可得：1=2（x+2）,

即：Z=2x+4.

???/與x的關系為：一次函數關系.

根據長方體的體積公式：長方體體積=長乂寬X高，

可得：100=2x7/,

x

.?/與X的關系為：反比例函數關系.

故選：D.

【點評】此題考查了函數關系式的綜合應用，涉及到一次函數，二次函數，反比例函數

等知識，熟知函數的相關類型并能夠根據實際問題列出函數關系式是解決本題的關鍵.

二、填空題（共8小題，每題3分）

9.如圖所示的網格是正方形網格，AABC是銳角三角形.（填“銳角”“直角”或“鈍

【分析】根據三邊的長可作判斷.

解：VAB2=32+l2=10,AC2=12+42=17,BC2=32+42=25,

:.AB2+AC2>BC2,

.?.△ABC為銳角三角形，

故答案為：銳角.

【點評】本題考查了三邊的關系，會利用三邊關系確定三角形的形狀：若三角形的三邊

分別為a、b、c,①當”2+戶>?時，Z\ABC為銳角三角形；②當。2+后時;△ABC

為鈍角三角形；③當層+接=Q時，為直角三角形.

10.因式分解"小+2〃吠+〃?=m（JC+1）2.

【分析】提公因式，〃后，再利用完全平方公式進行計算即可.

解：原式=〃？（/+2x+l）

=m（x+1）

故答案為：m（x+l）2.

【點評】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式是的

結構特征是正確解答的前提.

11.某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了435元，其中籃球的單價比足球的

單價多3元，求籃球的單價和足球的單價.設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，

依題意，可列方程組為[x-y=3

-l4x+5y=435—

【分析】根據題意可得等量關系：?4個籃球的花費+5個足球的花費=435元，②籃球

的單價-足球的單價=3元，根據等量關系列出方程組即可.

解：設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，由題意得:

fx-y=3

\4x+5y=435

x-y=3

故答案為：，

4x+5y=435

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找

出題目中的等量關系.

12.如圖，圓的兩條弦A8,CD相交于點E,且弧4。=弧。8,/4=40。，則/CEB的度

【分析】根據圓周角定理推論得到NA=NC=40°,由三角形外角的性質即可得到結論.

解：?.?弧4。=弧68,ZA=40°,

.?./4=/C=40°,

二/CEB=/A+/C=80°,

故答案為：80。.

【點評】本題考查了圓周角定理推論，熟記圓周角定理推論是解題的關鍵.

13.在平面直角坐標系X。），中，直線y="（無＞0）與雙曲線■交于M（X],以），N（血,

丫2）兩點，則修?丫2的值為-4.

【分析】聯(lián)立兩個函數表達式得：kx=—9即收-4=0,則修入2=-9，故肛?丁2=丘1冗2

xk

=k=-4,即可求解.

k

解：聯(lián)立兩個函數表達式得：fcv=&,即扇-4=0,

X

4

貝IJXi%2=-丁，

k

點N在直線上，則以="2，

4

故11?丁2=履112=%（）=-4,

k

故答案為：-4.

【點評】本題考查了正比例函數與反比例函數交點坐標的性質，利用根與系數的關系是

本題解題的關鍵.

14.如圖，在。4BCZ）中，延長CD至點E,使。E=￡?C,連接8E與AC于點凡則”的

FE

值是4?

一2一

【分析】在。ABC。中，AB//CD,AB=CD,根據。E=Z)C,可得A8=CD=QE=2CE,

2

再由AB〃C￡>,可得△ABFs^CEF,對應邊成比例即可求得結論.

解：在。A8CO中，AB//CD,AB=CD,

,:DE=DC,

：.AB=CD=DE=—CE,

2

'：AB//CD,

：.△ABF-XCEF,

.BF=AB=1

??麗―瓦下

故答案為：

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，解決本題的關鍵是

掌握相似三角形的判定與性質.

15.在平面直角坐標系xOy中，已知點(〃-2,%)，5-1,>2)，("+1,為)在拋物

2

線y=ax-2ax-2(a<0)±,若0<n<1,則y\,y2,乃的大小關系為也<丫2<丫3.(用

表示)

【分析】求得拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據點到對稱軸的距離的大小判斷即可.

解：；拋物線>=加-2依-2(a<0),

拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-青?=1，

2a

VO<?<1,

A-2<n-2<-1,-\<n-l<0,1<?+1<2,

.?.點(〃-2,%)到對稱軸的距離最大，(n+1,y3)到對稱軸距離最短，

???)4<”<力，

故答案為：>1<)2<力.

【點評】本題考查二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的性

質是解題的關鍵.

16.如圖，雙驕制衣廠在廠房。的周圍租了三幢樓A、B、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之

間均有筆直的公路相連，并且廠房。與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且BOAC

>AB.已知廠房。到每條公路的距離相等.

(1)則點。為△A8C三條角平分線的交點(填寫：角平分線或中線或高線)；

(2)如圖設BC="，AC^b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,現(xiàn)要用汽車每天接送職

工上下班后，返回廠房停放，那么最短路線長是Y+c+b+z.

【分析】(1)利用角平分線的性質定理判斷即可；

(2)首先得出。為△ABC的內心，進而得出△ABO四△EBO(SAS),在△EC。中，y

-X<“-〃推出由-4<0，同理“3-42<0，“3-44<0，“3-"5V0'43-d6V0,即可得

出答案.

解：(1)?.?點。到每條公路的距離相等，

...點0是AABC的角平分線的交點.

故答案為：角平分線；

（2）共有6條線路：d\=x+c+a+z,di—x+b+a+y,cli=y+c+b+z,d^=y+a+b+x,ds=z+b+c+y,

d（,=z+a+c+x,

在C8上截取CE=CA,連接OE,

在△ACO和△EC。中，

，CA=AE

<ZACE=ZEC0）

CO=CO

：./\ACO^/\ECO（SAS）,

：.OA=OE,

在△E8。中，

y-xVa-h推出"3-J]<0,

同理心-42<0,”3-d4V0,-&!<。，da-日6<0,

:@最短，

故答案為：y+c+b+z.

【點評】本題考查了三角形的內切圓和內心，三角形的三邊關系定理：兩邊之和大于第

三邊；以及在同一個三角形內大角對大邊.

三、解答題（共9小題，17-22題6分，23-24題8分）

17.（6分）計算：（^）'1+（n-2022）°-3tan30°+|3-

【分析】利用負整數指數累的意義，零指數幕的意義，特殊角的三角函數值和絕對值的

意義化簡運算即可.

解:原式=2+1-3X亨+2百-3

=3-V3+2^3~3

=V3-

【點評】本題主要考查了實數的運算，負整數指數暴的意義，零指數累的意義，特殊角

的三角函數值和絕對值的意義，正確利用上述法則與性質化簡運算是解題的關鍵.

18.（6分）解分式方程：后一+1＞占.

x-1x+1

【分析】根據解分式方程的步驟解答即可，①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；

④得出結論.

ExX

解：~2~r+14^i'

X-1A1

方程兩邊同乘以（龍+1）（工-1）,得

x+（X+1）（X-1）=x（X-1）,

解得x=a，

當x=2時，（x+1）（x-1）#0,

2

所以分式方程的解為X=《.

2

【點評】本題考查了解分式方程，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使

原方程中的分母為0,所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公

分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解.②將整式方程的解代入最簡公分母，

如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式方程的解.所以解分式方程時，一

定要檢驗.

19.（6分）已知關于x的一元二次方程/-（/M+2）x+m+\—0.

（1）求證：該方程總有兩個實數根；

（2）若該方程兩個實數根的差為2,求加的值.

【分析】（1）先求一元二次方程的根的判別式△,然后再證明△》（）即可；

（2）不妨設方程的兩實數根為X|,必且＞M，則X「X2=2,再利用一元二次方程的

根與系數的關系可得X1+X2,X|X2,進而變形即可求解.

解：（1）關于X的一元二次方程,-（m+2）X+〃?+l=0的根的判別式△=[-（777+2）]2

-4X1X（機+1）—m2+4m+4-4m-4=m2,

不論〃?取任何實數，都有加2》。即△》（）成立；

當△＞（）時，方程有兩個不相等的實數根，

當A=0時，方程有兩個相等的實數根；

故該方程總有兩個實數根；

（2）不妨設方程的兩實數根為xi，且內＞》2，

則X]-X2—2,

22

(xj-x2)=(X1+X2)-4X1X2=4,

又?.?XI+X2="?+2,x\X2—m+\,

(%i-%2)2=(xi+%2)2-4XI%2—(W+2)2-4(w+1)—4,

.".m=2或m--2,

故m的值為2或-2.

【點評】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、完全平方公式以及

直接開平方求解一元二次方程等知識，熟練掌握根的判別式與根與系數的關系的應用是

解答此題的關鍵.

20.(6分)下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成

解：選擇方法一，證明如下:

根據題意，如圖：

A

AB//CF,

：.ZDAE=ZECF

???石是AC的中點，

.\AE=EC.

在△ADE與△CPE中，

<ZAED=ZCEF

<AE=EC，

,ZDAE=ZECF

.?.△ADE絲△CFE(ASA).

：.AD=CF,DE=EF^—DF,

2

?.?。是AB的中點，

：.BD=AD,

:.BD=CF,

???四邊形DBCF是平行四邊形，

：.DF//BC,DF=BC,

J.DE//BC,DE=—BC.

2

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，掌握以上

知識是解題的關鍵.

21.(6分)如圖，一次函數y=fcx+4A(AWO)的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點2,

且經過點C(2,“7).

(1)當m=2時，求一次函數的解析式及點A的坐標；

(2)當x>-l時，對于x的每一個值，函數y=x的值大于一次函數、=丘+必儀工0)

的值，求女的取值范圍.

Xi

【分析】(1)利用待定系數法即可求得函數的解析式，利用X軸上點的坐標特征即可求

得A的坐標；

(2)求得哈y=x,當x=-1時的函數值，然后代入y=kx+4k得-1=-k+4k,即可求

得人.結合圖象即可求得左的取值.

解：(1)把點(2,2)代入、=日+4&得，2=2k+4k,

解得仁得，

.??一次函數的解析式為尸9暫，

令y=0，則當+2=0，

33

解得*=-4,

...A(-4,0)；

(2)當x=-1時，y=x=-1,

把(-1,-1)代入y=kx+4k得-1=-k+4k,

由圖象可知當x>-l時，對于x的每一個值，函數y=x的值大于一次函數(我

W0)的值，％的取值范圍是

【點評】本題考查了待定系數法求函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，一次

函數圖象與系數的關系，數形結合是解題的關鍵.

22.（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作交8C于點￡>,交AC于

點E,過點B作的切線交0D的延長線于點F.

（1）求證：NA=NBOF；

(2)若AB=4,DF=\,求AE的長.

A

【分析】（1）連接A。，根據直徑所對的圓周角是直角可得NAQB=90°,從而利用等

腰三角形的三線合一性質可得然后再利用圓周角定理可得/。08=2

NDAB,即可解答；

（2）連接BE,據直徑所對的圓周角是直角可得/AEB=90°,再利用（1）的結論證明

△EABMBOF,然后利用相似三角形的性質進行計算即可解答.

【解答】（1）證明：連接A。，

A

1AB是。。的直徑,

ZADB=90°

???AB=AC,

，NCAB=2NDAB,

?.*/D0B=2/DAB,

:?/CAB=/BOF；

(2)解:連接BE,

A

〈AB是OO的直徑，

JZAEB=90°

?.?A8=4,

???OB=OD=^AB=2f

2

??,。尸=1,

:.OF=OD+DF=3f

???B尸與。。相切于點8,

AZOBF=90°,

；?NAEB=NOBF=90°,

?:/CAB=/BOF,

：.△EABS^BOF,

.AE=AB

*，BO-OF，

?AE=1

一萬一1，

?人口

?,AE—=8—,

3

：.AE的長為烏.

【點評】本題考查了圓周角定理，切線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定

與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

23.（8分）在平面直角坐標系xOy中，點（4,2）在拋物線y=ox2+bx+2（a>0）上.

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）拋物線上兩點尸（xi，力），Q。2，V2），且/〈K1V/+1,4-r<X2<5-t.

①當t=|時，比較>1，）2的大小關系，并說明理由；

②若對于為，X2,都有w>2,直接寫出，的取值范圍.

【分析】（1）由拋物線解析式可得拋物線與y軸交點坐標，再由拋物線經過（4,2）可

得拋物線對稱軸.

（2）①由可得XI與及的取值范圍，從而可得點尸，。到對稱軸的距離大小關系，

進而求解.

②設點P（xi，y\）關于直線x=2的對稱點為P'（JCO，yi）,由yi#y2可得出金必，制

會必，通過解不等式求解.

解：（1）將x=0代入得y=2,

二拋物線與y軸交點坐標為（0,2）,

又???拋物線經過（4,2）,

拋物線對稱軸為直線x=2.

（2）①：a>0,

，拋物線開口向上,

當f=3時，點2cxic互，—<X2<—.

22222

?'?kl-2|<-^-,■^?<僅2-2|〈卷，

點P到對稱軸距離小于點。到對稱軸距離,

②設點尸（XI，力）關于直線X=2的對稱點為P，（X0,>?））,

則XQ=4-x\t

t<X\<t+l,

**.37<x（）V4-t9

V4-EVx2V5-t,

.??M）Wx2，

當E+lW4-1或5-時，為羊孫

解得或必目.

【點評】本題考查二次函數的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函

數與方程及不等式的關系.

24.（8分）在△ABC中，AB=AC,N54C=90°,過點A作8c的垂線40,垂足為力，

E為射線0c上一動點（不與點C重合），連接4E,以點A為中心，將線段4E逆時針

旋轉90°得到線段AF,連接BF,與直線AD交于點G.

（1）如圖1,當點E在線段CD上時，

①依題意補全圖形；

②求證：點G為8尸的中點.

（2）如圖2,當點E在線段QC的延長線上時，用等式表示AE,BE,AG之間的數量關

系，并證明.

【分析】（1）①根據題意畫圖即可，②由條件可證△然￡9zMCF（SAS）,得到

=/ACF=45°,從而有CF2BC,再通過平行線分線段成比例即可證出G為BF的中點；

（2）由（1）知△ABE且△ACR可得BE=CF,G為B尸的中點仍然成立，設AZ）=C￡>

=x,CE=y,表示出AE,BE,AG即可發(fā)現(xiàn)它們之間的數量關系.

解：（1）①如圖1：

圖1

②如圖，連接CR

工/BAE=NCAF,

在△ABE和△ACb中，

'AB二AC

<NBAE=NCAF，

AE=AF

/.AABE^AACF(SAS),

/.ZABE=ZACF=45°,

VZACB=45°,

AZBCF=45°+45°=90°,

VADIBC,

AZADB=90°,

J.AD//CF,

9

：AB=ACfAD±BCf

；.BD=CD,

：.BG=FG,

，G為BF的中點.

(2)2AE1-4AG2=B￡2.理由如下:

如圖2,連接CF,

由(1)可知：AABE^AACF(SAS),

：.ZBCF=90°,G為8尸的中點仍然成立,

且8E=C尸,

設A￡)=CZ)=x,CE=y,

則BE=CF=2x+y,

???DG=/CF，

?e?AG=--y,

2》

在Rtz\A。七中，由勾股定理可得：AE2=^(x+y)2,

(2x+y)2=4/+4沖+丁2,AG2=-^-y2

/.AE2=2JT+2X)^-)T,BR=

：.2AE2-4AG2=BE2,

【點評】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，等腰三角形的性質，以及勾股定理

等知識，表示出AE,BE,4G的長度是解決問題的關鍵.

25.在平面直角坐標系xOy中，對于線段A8,點P和圖形G定義如下：線段AB繞點P逆

時針旋轉90°得到線段4b(4和9分別是A和B的對應點)，若線段AB和Ab均在圖

形G的內部(包括邊界)，則稱圖形G為線段AB關于點P的旋垂閉圖.

(1)如圖，點C(1,0),D(3,0).

①已知圖形Gi：半徑為3的。0；

G2：以。為中心且邊長為6的正方形；

G3：以線段0。為邊的等邊三角形.

在Gi，G2,G3中，線段C￡＞關于點O的旋垂閉圖是Gi，G2.

②若半徑為5的是線段CO關于點T(f,0)的旋垂閉圖，求f的取值范圍；

(2)已知長度為4的線段48在x軸負半軸和原點組成的射線上，若存在點Q(2+m2

-。)，使得對半徑為2的。。上任意一點P,都有線段AB滿足半徑為r的。。是該線

段關于點P的旋垂閉圖，直接寫出廠的取值范圍.

【分析】(1)①分別在坐標系中畫出G|,G2,G3,再畫出線段C。繞點。逆時針旋轉

90°的線段C'D'即可得到答案；

②如圖1所示，當點7在點C左側，且此時剛好點少落在。。上時，如圖2所示，當點

T在點O右側，且此時剛好點C落在。。上時，求出這兩種臨界情形下，的值，即可得

到答案；

(2)先求出點。在直線y=-x+4上運動；不妨設點A在點8的左側，如圖2-1所示,

連接AQ并延長交OQ于M,點A繞點M逆時針旋轉90°后的對應點為A',在x軸上去

一點E使得AE=AA',由旋轉的性質可得AM=A'M,ZAMA'=90°,則AE=AA'=

MAM,由于點A到上任意一點的距離的最大值是AM,則AE的最大值即為

故只需要OO剛好能夠使得點E在。。上，此時。。的半徑有最小值，最小值為

OA,則只需要找到AQ值最小時;則此時。。半徑有最