工程流體力學(xué) 第2版 項目8 邊界層理論基礎(chǔ)

普朗特針對大雷諾數(shù)流動，提出邊界層概念和正確地簡化N-S方程組的方法，使相當(dāng)發(fā)展的理想流體理論有了實際價值。所以邊界層理論被譽為近代流體力學(xué)的重大發(fā)展之一。目前，邊界層理論已廣泛地應(yīng)用于航空、航海、水利、氣象、機械、化工及環(huán)境科學(xué)等方面。本項目主要介紹邊界層理論中最基本的內(nèi)容，包括：邊界層概念，邊界層基本特征及邊界層厚度，邊界層方程，并對平板層流邊界層的計算問題和邊界層分離現(xiàn)象及繞流阻力等進行了分析和討論。項目8邊界層理論基礎(chǔ)

【案例導(dǎo)入】改變世界的科技—特斯拉渦輪機

圖1特斯拉渦輪機

圖2內(nèi)部原理圖主要內(nèi)容任務(wù)1邊界層的概念任務(wù)2邊界層厚度任務(wù)3平面層流邊界層的微分方程任務(wù)5平板上層流邊界層的計算任務(wù)4邊界層的動量積分方程任務(wù)6邊界層分離現(xiàn)象及繞流阻力如圖3所示，假設(shè)一薄平板平行于流速的方向，流體以均勻速度U流過平板。

任務(wù)1邊界層的概念一、邊界層的定義圖3邊界層和外流區(qū)（1）邊界層的定義在雷諾數(shù)較大的流動中，緊靠物體表面，流速受到粘性顯著影響，摩擦剪應(yīng)力不能略去不計，這一極薄層流體，定義為邊界層（附面層）。通常設(shè)定v=0.99U的位置線作為邊界層的外邊界（理論上講應(yīng)伸至無窮遠），U為完全理想流體繞流時物面上的切向速度。（2）邊界層概念提出的意義對大雷諾數(shù)的擾流問題，可將流動區(qū)域劃分為兩部分分別處理，即：①流體粘性影響完全局限在邊界層內(nèi)部，由邊界層理論求解有關(guān)問題：②至于邊界層外面，可借助勢流理論獲得有關(guān)速度、壓強分布，其結(jié)果可作為邊界層內(nèi)流動的外邊界條件。二、邊界層的流動狀態(tài)

在邊界層中由層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯睦字Z數(shù)，稱為臨界雷諾數(shù)，其表達式為：

根據(jù)實驗測定，實際邊界層中存在層流區(qū)、過渡區(qū)和紊流區(qū)，具體如圖4所示。

圖4邊界層的沿程發(fā)展及層內(nèi)流態(tài)變化三、邊界層的特征（1）邊界層為一減速流體薄層，邊界層厚度沿流向增加；（2）在邊界層內(nèi)粘性力和慣性力屬于同一數(shù)量級，均應(yīng)考慮；（3）邊界層內(nèi)也會出現(xiàn)層流及紊流流態(tài)，故有層流邊界層及紊流邊界層；（4）邊界層外表面不是流面，所以有質(zhì)量、能量和動量隨流體由外流區(qū)流進邊界層內(nèi)，邊界層厚度的增加率應(yīng)滿足質(zhì)量、動量和能量守恒定律。任務(wù)2邊界層厚度

一、名義厚度圖5邊界層名義厚度示意圖一、流體靜壓強特性二、位移厚度

如果是不可壓縮流動則上式

如圖6所示圖6邊界層位移厚度示意圖一、流體靜壓強特性

如為不可壓流動

或

一、流體靜壓強特性

如為不可壓流動或

任務(wù)3平面層流邊界層的微分方程層流邊界層的微分方程組為

或

任務(wù)4邊界層的動量積分方程卡門動量積分方程：

一、從邊界層的微分方程出發(fā)建立積分關(guān)系式二、取邊界層控制體微元段建立積分方程也可以從物理上動量方程的概念來推導(dǎo)出動量積分關(guān)系式。取邊界層微元段控制體，如圖7所示。圖7邊界層微元段控制體

控制面bd上無質(zhì)量交換。（1）連續(xù)性方程的積分方程

（2）動量方程的積分方程依據(jù)動量守恒定理，有：

代入連續(xù)性方程的積分方程得：

以上積分關(guān)系式可以改造成更簡單的形式：

任務(wù)5平板上層流邊界層的計算一、平板層流邊界層（1）邊界層內(nèi)的流速分布關(guān)系式

圖8層流邊界層速度分布（2）邊界層內(nèi)的切應(yīng)力分布關(guān)系式圖9層流邊界層阻力分布

如需求流體對平板兩面的總摩擦阻力時，只需將上式乘2即可。

二、平板上的紊流邊界層（1）光滑平板上的紊流邊界層

（2）光滑平板上的混合邊界層

平板混合邊界層的摩阻系數(shù)為：

或

（3）粗糙平板上的紊流邊界層

任務(wù)6邊界層分離現(xiàn)象及繞流阻力在自然界和工程實踐中液體繞過凸形物時，我們常可觀察到物體后面有許多旋渦形成。圖10所示為液體繞圓柱體流動時的情況。這種現(xiàn)象的發(fā)生可以用邊界層的理論加以定性的說明。圖10液體繞圓柱體流動圖11光滑邊界層分離流動如圖11所示。在C點以下，若壓強繼續(xù)增加，就無動能可以變?yōu)閴耗?，因此主流只有離開曲面，以減緩水流擴散，下游液體隨即填補主流所空出的區(qū)域，形成旋渦，這種現(xiàn)象叫做邊界層的分離。C點叫做分離點，CD面叫做分離面。圖12有凸出的銳角的繞流C點的位置與物體形狀、表面粗糙度及液流狀態(tài)均有密切關(guān)系，至今尚無一般方法可以確定。只有當(dāng)固體表面有凸出的銳角時，其分離點往往就在銳角的尖端，如圖12所示。

綜合實例

康達效應(yīng)(CoandaEffect)亦稱附壁作用或柯恩達效應(yīng)。流體(水流或氣流)有離開本來的流動方向，改為隨著凸出的物體表面流動的傾向。當(dāng)流體與它流過的物體表面之間存在表面摩擦?xí)r(也可以說是流體粘性)，只要曲率不大，流體會順著物體表面流動。根據(jù)牛頓第三定律，物體施與流體一個偏轉(zhuǎn)的力，則流體也必定要施與物體一個反向偏轉(zhuǎn)的力。這種力在輕質(zhì)物體上體現(xiàn)得非常